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第四章《基本平面图形》提升卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七上·播州期末）下列三个生活中的现象：①用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．如图，线段AB 上有C，D 两点，CD 的长度为1 cm，AB 的长度为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和不可能为(　　)
A．21 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm
3．（2024七上·河北邢台经济开发期末）一条笔直的公路上有A，B，C，D四个村庄，石油公司计划在公路上建设一个加油站，要求加油站到这四个村庄距离之和最小，这样的位置有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4．（2024七上·南明期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（　　）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形
D．以上说法都不正确
5．（2024七上·电白期末）如图，甲、乙两人同时从地出发，甲沿北偏东方向步行前进，乙沿图示方向步行前进.当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（　　）
A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西
6．某中学举行越野赛，学生于早上7时在操场集合，裁判长强调了比赛规则和安全方面的注意事项.出发时，裁判长看了手表刚好是7时20分，此刻时针和分针的夹角为 (　　)
A．90° B．95° C．100° D．105°
7．（2024七上·成安期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　）
A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C
8．（2024七上·拱墅期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索的大小与两个角的类型之间的关系（　　）
A．当时，若为锐角，则为锐角
B．当时，若为钝角，则为钝角
C．当时，若为锐角，则为锐角
D．当时，若为锐角，则为钝角
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2018七上·柳州期末）同一条直线上有若干个点，若构成的射线共有10条，则构成的线段共有　 　条.
10．某街道分布图如图所示，一个居民要从A处前往B处。如果规定只能按从左到右或从上到下的方向行走，那么该居民可选择的不同路线的条数是　 　。
11．如图①，O为直线AB 上一点，作射线OC，使 2：1，将一把直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP 在射线OA 上.将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转(如图②所示)，在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，则t的值为　 　.
12．（2024七上·邵阳期末）如图所示，已知平分平分，平分平分，则　 　．
13．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画　 　条对角线，且把n边形分成 　 　个三角形.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2020六上·上海期末）一个扇形的圆心角60°，半径为12cm，求它的面积．（保留π）
15． 计算(结果用度、分、秒表示)：
（1）
（2）
（3）
（4）
16．（2024七上·宝安期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，线段，点C为线段的中点，在直线上用尺规作出点D，使得，并求的长度．
（1）请将小乐的解答过程补充完整；
（2）请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点D，并求出的长度．
17．（2024七上·南山期中）用尺规完成下列作图保留作图痕迹，不必写作法
（1）如图，作图：已知线段，作一条线段，使它等于
（2）如图，已知，且，作，使；
（3）如图，以点为顶点、射线为一边，作，使．
18．（2023七上·五华期末）已知直线经过点O，，是的平分线．
（1）如图1，若，求；
（2）如图1，若，求；（用含的式子表示）
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论___________（填“成立”或“不成立”）；
（4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，求（2）中的结论是否还成立？试说明理由．
19．阅读下表：
线段 AB上的点数 n（包括A，B两点） 图形 线段总条数 N
3 ∴ C B 3=2+1
4 A- C D B 6=3+2+1
5 A- C D E B 10=4+3+2+1
6 　 　
7 　 　
解答下列问题：
（1）在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数.
（2）请猜测，线段总条数 N 与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系 请写出来.
（3）①如果过每两点可以画一条直线，那么请在如图所示的三组图中分别画直线，并回答问题：
图1中最多可以画　 　条直线；
图2中最多可以画　 　条直线；
图3中最多可以画　 　条直线.
归纳结论：如果平面上有 n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出　 　条直线（用含 n的代数式表示）.
②某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握　 　次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需　 　件礼物.
20．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP=4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线。∠NOQ=4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线。
（1）应用：若∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP>∠POA，则∠BOP=　 　°。
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线。
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线(∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB)。已知∠AOC=120°，则∠POQ= °。
②在①的条件下，若∠AOC=α，∠POQ的度数是否发生变化 若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由。
③如图3，已知∠MON=90°，且OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线(∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON)，请直接写出∠AOC的度数。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】①∵用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上不可以用两点之间，线段最短来解释，∴①不符合题意；
②∵从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设可以用两点之间，线段最短来解释，∴②符合题意；
③∵把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用两点之间，线段最短来解释，∴③符合题意；
综上，符合题意的是②③，
故答案为：C.
【分析】利用线段的性质两点之间线段最短逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： 以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和为3的倍数多1，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和不可能为21cm．
故答案为：A .
【分析】由题意可得以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和为，即可得长度之和为3的倍数多1，即可得到答案.
3．【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设加油站为，距离之和为，
①当在之间时，，
即点与点重合时，有最小值；
②当在之间时，，
即点在的任何位置，的值都为；
③当在之间时，，
即点与点重合时，有最小值；
综上可知，当点在的任何位置（包括点和点），加油站到这四个村庄距离之和最小，
即这样的位置有无数个，
故选：D．
【分析】本题考查线段的和与差，以及数形结合思想和分类讨论思想的应用，分在之间，在之间和在之间，三种情况讨论，结合线段和差关系，确定出摆摊位置到四个车站的距离和，进而得出结论．
4．【答案】C
【知识点】平面图形的初步认识；多边形的对角线
【解析】【解答】A、∵由图形可得剪掉一个角后所得的多边形为六边形，∴A不正确，不符合题意；
B、∵从这个多边形的顶点出发，最多可以画6-3=3条对角线，∴B不正确，不符合题意；
C、∵从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，∴C正确，符合题意；
D、∵C选项正确，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】结合图形，再利用多边形的性质及多边形对角线的性质逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；方位角
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意得：∠BAD＝48°，
∵∠BAC＝102°，
∴∠CAE＝180° 102° 48°＝30°，
∴此时乙位于A地的南偏东30°．
故答案为：B．
【分析】结合图形利用角的运算求出∠CAE＝180° 102° 48°＝30°，即可得到乙位于A地的南偏东30°，从而得解.
6．【答案】C
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：由题意得时针一分钟走：，
4与7所组成的夹角为：，
∴时针和分针的夹角为：，
故答案为：C
【分析】根据题意求出时针一分钟走的度数，进而求出4与7所组成的夹角，从而进行角的运算即可得到时针和分针的夹角。
7．【答案】B
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠A＝48°15'＝48°+＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝48.15°，
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大．
故选：B．
【分析】本题考查了度分秒的单位转化，根据1°＝60'，1'＝60″，将48°15'，48.3°，48.15°的单位统一，再进行大小的比较，即可得到答案．
8．【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：
当 时，
又 为锐角，
为锐角，
故选项A正确，
为钝角，
可能是锐角也可能是钝角，故选项B不正确；
当 时，
又· 为锐角，
可能是锐角也可能是钝角，
故选项C，选项D不正确.
故答案为： A.
【分析】根据 当 时，则 由 为锐角得( 进而得
由此可对选项A进行判断；根据 为钝角得 进而得到 由此可对选项B进行判断；当 时，则 根据 为锐角得
进而得( 据此可对选项C，选项D进行判断，综上所述即可得出答案.
9．【答案】10
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：∵同一直线上有若干个点，构成的射线共有10条，∴这条直线上共有5个点，∴构成的线段条数： =10，故答案为：10．
【分析】根据以直线上的一个点为端点的射线有两条，由同一直线上有若干个点，构成的射线共有10条，得出这条直线上共有5个点，根据直线上有n个点的时候共有线段的总数是，然后将n=5代入即可算出答案。
10．【答案】40
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：如图所示，
从A处开始先向右至E处再往下到达B处可选择的不同路线有5条；从A处开始先向右至D处再往下到达B处可选择的不同路线有9条；从A处开始先向右至C处再往下到达B处可选择的不同路线有13条；从A处开始先向下至F处再往右到达B处可选择的不同路线有13条.
综上所述，共有40条不同路线.
故答案为：40.
【分析】考虑从点A出发，经过不同的点到达点B的可能路线，可分点A经过点E，经过点D，经过点C，经过点E再到达点B下的不同路线进行讨论.
11．【答案】6或42
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】 解：过点O作直线DE平分∠AOC，如图：
∵∠AOC：∠BOC=2：1，
且∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，
∵DE平分∠AOC，
∴∠AOE=60°
∴∠BOD=∠AOE=60°，
当OQ与OD重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC．
当OQ与OE重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC．
故答案为：6或42．
【分析】过点O作直线DE平分∠AOC，根据∠AOC=120°，以及DE平分∠AOC，得出∠BOD=∠AOE=60°，当OQ与OD重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，当OQ与OE重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，分开计算求值即可.
12．【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】∵平分，∠AOB=128°，
∴∠AOC1=×128°=64°；
∵OC2平分，
∴∠AOC2=×64°=32°；
∵平分
∴∠AOC3=×32°=16°；
∵OC4平分，
∴∠AOC4=×16°=8°；
故答案为：8°.
【分析】利用角平分线的定义及计算方法分析求出∠AOC1，∠AOC2，∠AOC3和∠AOC4的度数即可.
13．【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
14．【答案】解：由扇形面积公式得：S＝=＝24π（cm2），
答：扇形的面积为24πcm2。
【知识点】扇形的面积
【解析】【分析】扇形圆心角度数是360°的几分之几，扇形的面积就占所在圆面积的几分之几，所以用所在圆面积乘圆心角度数占360°的分率即可求出扇形面积。
15．【答案】（1）原式=57°62'65"=58°3'5".
（2）原式=131°85'-55°43'=76°42'.
（3）原式=58°45'+70°18'=128°63'=129°3'.
（4）原式=180°—(35°47'+56°30')=179°60'—92°17'=87°43'
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【分析】秒与秒相加，分与份相加，度与度相加，1°＝60'，1'=60″进行计算即可.
16．【答案】（1）解：补充完整后的解答过程如下：
如图为所作图形，，
，点C为线段的中点，
，
；
（2）解：如图，在A点左侧作，则，
因此点D即为所求，
，点C为线段的中点，
，
，
．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由题意易得BD=2AB=8，由中点定义可得CB=AB=2，然后根据CD=CB+BD可算出答案；
（2） 在A点左侧作AD=AB，则BD=AB+AD=2AB， 因此点D即为所求， 由中点定义可得AC=AB=2，然后根据CD=AC+AD可算出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，，即为所求．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）先作出线段AB，再以点B为端点作出线段BC，即可得到线段a+b；
（2）先作出，再以的一边为边作出，即可得到；
（3）利用作已知角的方法及步骤分析求解即可.
18．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（3）成立
（4）解：（2）中的结论不成立，，
理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（4）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立；
（4）解：（2）中的结论不成立，，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：
15=5+4+3+2+1；
21=6+5+4+3+2+1；
（2）解：
（3）3；6；10 "(n-1)；1225；2；450
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】（3）①图形如下：
根据图形得：
第1中最多可以画3条直线；
第2中最多可以画6条直线；
第3中最多可以画10条直线；
故答案为：3；6；10；
归纳结论：由①可知：平面上有3个点时，最多可画直线 条，
平面上有4个点时，最多可画直线1 条，
平面上有5个点时，最多可画直线1 条，
……
所以平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在1条直线上，
那么最多可以画 条直线，
故答案为：
② 某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手，互赠礼物为： 件，
故答案为： 1225， 2450.
【分析】（1）画出图形并数出线段条数即可；
（2）根据（1）中结果得到规律即可；
（3）① 根据两点确定一条直线画出直线，观察后即可解答问题；
归纳结论：根据上面得到的规律用代数式表示即可；
② 将 代入可求得握手次数，送礼物时是双向的，因此是握手次数的2倍，由此即可求解.
20．【答案】（1）40
（2）解：①135°；
②不变.计算过程如下：
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线，
∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB，
∴
∴
.
③90°.
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，即2∠AOP+∠AOP=60°，
∴∠AOP=20°．
∴∠BOP=40°．
故答案为：40.
（2）解：①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线(∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB)，∴∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ.
∵∠AOC=120°，所以∠BOC=60°，
∴∠AOP=30°，∠BOQ=15°，
∴∠COP=90°，∠COQ=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=135°；
故答案为：135
③设∠MOC=α，
∵∠MON=90°，∴.
∵OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线，∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON，
∴∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON=180°，
∴
∴α=67.5°，所以∠MOC=67.5°，∠MOA=22.5°，
∴∠AOC=∠MOC+∠MOA=90°.
【分析】（1）根据题意可得：∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根据∠AOC=120°，得出∠AOP=90°，∠BOQ=45°，再求解即可； ②不变，根据题意得出，， 再代入即可得出答案；
（3） 设∠MOC=α，则∠NOC=90°-α，根据题意得出∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，列出方程
求得∠MOC=67.5°，∠MOA=22.5°，进而得出答案．
1 / 1第四章《基本平面图形》提升卷—北师大版数学七（上）单元分层测
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024七上·播州期末）下列三个生活中的现象：①用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】①∵用两颗钉子就可以把一根木条固定在墙上不可以用两点之间，线段最短来解释，∴①不符合题意；
②∵从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设可以用两点之间，线段最短来解释，∴②符合题意；
③∵把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用两点之间，线段最短来解释，∴③符合题意；
综上，符合题意的是②③，
故答案为：C.
【分析】利用线段的性质两点之间线段最短逐项分析判断即可.
2．如图，线段AB 上有C，D 两点，CD 的长度为1 cm，AB 的长度为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和不可能为(　　)
A．21 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm
【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： 以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和为3的倍数多1，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和不可能为21cm．
故答案为：A .
【分析】由题意可得以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和为，即可得长度之和为3的倍数多1，即可得到答案.
3．（2024七上·河北邢台经济开发期末）一条笔直的公路上有A，B，C，D四个村庄，石油公司计划在公路上建设一个加油站，要求加油站到这四个村庄距离之和最小，这样的位置有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设加油站为，距离之和为，
①当在之间时，，
即点与点重合时，有最小值；
②当在之间时，，
即点在的任何位置，的值都为；
③当在之间时，，
即点与点重合时，有最小值；
综上可知，当点在的任何位置（包括点和点），加油站到这四个村庄距离之和最小，
即这样的位置有无数个，
故选：D．
【分析】本题考查线段的和与差，以及数形结合思想和分类讨论思想的应用，分在之间，在之间和在之间，三种情况讨论，结合线段和差关系，确定出摆摊位置到四个车站的距离和，进而得出结论．
4．（2024七上·南明期末）在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是（　　）
A．这个多边形是一个五边形
B．从这个多边形的顶点出发，最多可以画4条对角线
C．从顶点出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形
D．以上说法都不正确
【答案】C
【知识点】平面图形的初步认识；多边形的对角线
【解析】【解答】A、∵由图形可得剪掉一个角后所得的多边形为六边形，∴A不正确，不符合题意；
B、∵从这个多边形的顶点出发，最多可以画6-3=3条对角线，∴B不正确，不符合题意；
C、∵从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成了4个三角形，∴C正确，符合题意；
D、∵C选项正确，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】结合图形，再利用多边形的性质及多边形对角线的性质逐项分析判断即可.
5．（2024七上·电白期末）如图，甲、乙两人同时从地出发，甲沿北偏东方向步行前进，乙沿图示方向步行前进.当甲到达地，乙到达地时，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（　　）
A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西
【答案】B
【知识点】角的运算；方位角
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意得：∠BAD＝48°，
∵∠BAC＝102°，
∴∠CAE＝180° 102° 48°＝30°，
∴此时乙位于A地的南偏东30°．
故答案为：B．
【分析】结合图形利用角的运算求出∠CAE＝180° 102° 48°＝30°，即可得到乙位于A地的南偏东30°，从而得解.
6．某中学举行越野赛，学生于早上7时在操场集合，裁判长强调了比赛规则和安全方面的注意事项.出发时，裁判长看了手表刚好是7时20分，此刻时针和分针的夹角为 (　　)
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】C
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：由题意得时针一分钟走：，
4与7所组成的夹角为：，
∴时针和分针的夹角为：，
故答案为：C
【分析】根据题意求出时针一分钟走的度数，进而求出4与7所组成的夹角，从而进行角的运算即可得到时针和分针的夹角。
7．（2024七上·成安期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是，我应该最大!”∠B说：“我是48.3°，我应该最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我应该和∠A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（　　）
A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C
【答案】B
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵∠A＝48°15'＝48°+＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝48.15°，
∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大．
故选：B．
【分析】本题考查了度分秒的单位转化，根据1°＝60'，1'＝60″，将48°15'，48.3°，48.15°的单位统一，再进行大小的比较，即可得到答案．
8．（2024七上·拱墅期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索的大小与两个角的类型之间的关系（　　）
A．当时，若为锐角，则为锐角
B．当时，若为钝角，则为钝角
C．当时，若为锐角，则为锐角
D．当时，若为锐角，则为钝角
【答案】A
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：
当 时，
又 为锐角，
为锐角，
故选项A正确，
为钝角，
可能是锐角也可能是钝角，故选项B不正确；
当 时，
又· 为锐角，
可能是锐角也可能是钝角，
故选项C，选项D不正确.
故答案为： A.
【分析】根据 当 时，则 由 为锐角得( 进而得
由此可对选项A进行判断；根据 为钝角得 进而得到 由此可对选项B进行判断；当 时，则 根据 为锐角得
进而得( 据此可对选项C，选项D进行判断，综上所述即可得出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2018七上·柳州期末）同一条直线上有若干个点，若构成的射线共有10条，则构成的线段共有　 　条.
【答案】10
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：∵同一直线上有若干个点，构成的射线共有10条，∴这条直线上共有5个点，∴构成的线段条数： =10，故答案为：10．
【分析】根据以直线上的一个点为端点的射线有两条，由同一直线上有若干个点，构成的射线共有10条，得出这条直线上共有5个点，根据直线上有n个点的时候共有线段的总数是，然后将n=5代入即可算出答案。
10．某街道分布图如图所示，一个居民要从A处前往B处。如果规定只能按从左到右或从上到下的方向行走，那么该居民可选择的不同路线的条数是　 　。
【答案】40
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：如图所示，
从A处开始先向右至E处再往下到达B处可选择的不同路线有5条；从A处开始先向右至D处再往下到达B处可选择的不同路线有9条；从A处开始先向右至C处再往下到达B处可选择的不同路线有13条；从A处开始先向下至F处再往右到达B处可选择的不同路线有13条.
综上所述，共有40条不同路线.
故答案为：40.
【分析】考虑从点A出发，经过不同的点到达点B的可能路线，可分点A经过点E，经过点D，经过点C，经过点E再到达点B下的不同路线进行讨论.
11．如图①，O为直线AB 上一点，作射线OC，使 2：1，将一把直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP 在射线OA 上.将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转(如图②所示)，在旋转一周的过程中，第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，则t的值为　 　.
【答案】6或42
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】 解：过点O作直线DE平分∠AOC，如图：
∵∠AOC：∠BOC=2：1，
且∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，
∵DE平分∠AOC，
∴∠AOE=60°
∴∠BOD=∠AOE=60°，
当OQ与OD重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC．
当OQ与OE重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC．
故答案为：6或42．
【分析】过点O作直线DE平分∠AOC，根据∠AOC=120°，以及DE平分∠AOC，得出∠BOD=∠AOE=60°，当OQ与OD重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，当OQ与OE重合时，OQ所在直线恰好平分∠AOC，分开计算求值即可.
12．（2024七上·邵阳期末）如图所示，已知平分平分，平分平分，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】∵平分，∠AOB=128°，
∴∠AOC1=×128°=64°；
∵OC2平分，
∴∠AOC2=×64°=32°；
∵平分
∴∠AOC3=×32°=16°；
∵OC4平分，
∴∠AOC4=×16°=8°；
故答案为：8°.
【分析】利用角平分线的定义及计算方法分析求出∠AOC1，∠AOC2，∠AOC3和∠AOC4的度数即可.
13．（2020八上·思茅期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画　 　条对角线，且把n边形分成 　 　个三角形.
【答案】；
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形
故答案为： ， .
【分析】根据四边形可以 条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引 条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引 条对角线，被分成 个三角形.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2020六上·上海期末）一个扇形的圆心角60°，半径为12cm，求它的面积．（保留π）
【答案】解：由扇形面积公式得：S＝=＝24π（cm2），
答：扇形的面积为24πcm2。
【知识点】扇形的面积
【解析】【分析】扇形圆心角度数是360°的几分之几，扇形的面积就占所在圆面积的几分之几，所以用所在圆面积乘圆心角度数占360°的分率即可求出扇形面积。
15． 计算(结果用度、分、秒表示)：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）原式=57°62'65"=58°3'5".
（2）原式=131°85'-55°43'=76°42'.
（3）原式=58°45'+70°18'=128°63'=129°3'.
（4）原式=180°—(35°47'+56°30')=179°60'—92°17'=87°43'
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【分析】秒与秒相加，分与份相加，度与度相加，1°＝60'，1'=60″进行计算即可.
16．（2024七上·宝安期末）如图，点A、B、C在同一条直线上，线段，点C为线段的中点，在直线上用尺规作出点D，使得，并求的长度．
（1）请将小乐的解答过程补充完整；
（2）请在备用图中用尺规作出其它满足条件的点D，并求出的长度．
【答案】（1）解：补充完整后的解答过程如下：
如图为所作图形，，
，点C为线段的中点，
，
；
（2）解：如图，在A点左侧作，则，
因此点D即为所求，
，点C为线段的中点，
，
，
．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由题意易得BD=2AB=8，由中点定义可得CB=AB=2，然后根据CD=CB+BD可算出答案；
（2） 在A点左侧作AD=AB，则BD=AB+AD=2AB， 因此点D即为所求， 由中点定义可得AC=AB=2，然后根据CD=AC+AD可算出答案.
17．（2024七上·南山期中）用尺规完成下列作图保留作图痕迹，不必写作法
（1）如图，作图：已知线段，作一条线段，使它等于
（2）如图，已知，且，作，使；
（3）如图，以点为顶点、射线为一边，作，使．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，，即为所求．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）先作出线段AB，再以点B为端点作出线段BC，即可得到线段a+b；
（2）先作出，再以的一边为边作出，即可得到；
（3）利用作已知角的方法及步骤分析求解即可.
18．（2023七上·五华期末）已知直线经过点O，，是的平分线．
（1）如图1，若，求；
（2）如图1，若，求；（用含的式子表示）
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论___________（填“成立”或“不成立”）；
（4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，求（2）中的结论是否还成立？试说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（3）成立
（4）解：（2）中的结论不成立，，
理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（4）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立；
（4）解：（2）中的结论不成立，，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
19．阅读下表：
线段 AB上的点数 n（包括A，B两点） 图形 线段总条数 N
3 ∴ C B 3=2+1
4 A- C D B 6=3+2+1
5 A- C D E B 10=4+3+2+1
6 　 　
7 　 　
解答下列问题：
（1）在表中空白处分别画出图形，写出线段总条数.
（2）请猜测，线段总条数 N 与线段上的点数n（包括线段的两个端点）有什么关系 请写出来.
（3）①如果过每两点可以画一条直线，那么请在如图所示的三组图中分别画直线，并回答问题：
图1中最多可以画　 　条直线；
图2中最多可以画　 　条直线；
图3中最多可以画　 　条直线.
归纳结论：如果平面上有 n（n≥3）个点，且每3个点均不在一条直线上，那么最多可以画出　 　条直线（用含 n的代数式表示）.
②某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握一次手问好，则共握　 　次手；最后，每两个人要互赠礼物留念，则共需　 　件礼物.
【答案】（1）解：
15=5+4+3+2+1；
21=6+5+4+3+2+1；
（2）解：
（3）3；6；10 "(n-1)；1225；2；450
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】（3）①图形如下：
根据图形得：
第1中最多可以画3条直线；
第2中最多可以画6条直线；
第3中最多可以画10条直线；
故答案为：3；6；10；
归纳结论：由①可知：平面上有3个点时，最多可画直线 条，
平面上有4个点时，最多可画直线1 条，
平面上有5个点时，最多可画直线1 条，
……
所以平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在1条直线上，
那么最多可以画 条直线，
故答案为：
② 某班50名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握 次手，互赠礼物为： 件，
故答案为： 1225， 2450.
【分析】（1）画出图形并数出线段条数即可；
（2）根据（1）中结果得到规律即可；
（3）① 根据两点确定一条直线画出直线，观察后即可解答问题；
归纳结论：根据上面得到的规律用代数式表示即可；
② 将 代入可求得握手次数，送礼物时是双向的，因此是握手次数的2倍，由此即可求解.
20．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP=4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线。∠NOQ=4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线。
（1）应用：若∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP>∠POA，则∠BOP=　 　°。
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线。
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线(∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB)。已知∠AOC=120°，则∠POQ= °。
②在①的条件下，若∠AOC=α，∠POQ的度数是否发生变化 若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由。
③如图3，已知∠MON=90°，且OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线(∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON)，请直接写出∠AOC的度数。
【答案】（1）40
（2）解：①135°；
②不变.计算过程如下：
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线，
∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB，
∴
∴
.
③90°.
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，即2∠AOP+∠AOP=60°，
∴∠AOP=20°．
∴∠BOP=40°．
故答案为：40.
（2）解：①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线(∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB)，∴∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ.
∵∠AOC=120°，所以∠BOC=60°，
∴∠AOP=30°，∠BOQ=15°，
∴∠COP=90°，∠COQ=45°，
∴∠POQ=∠POC+∠COQ=135°；
故答案为：135
③设∠MOC=α，
∵∠MON=90°，∴.
∵OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的3倍分线，∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON，
∴∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON=180°，
∴
∴α=67.5°，所以∠MOC=67.5°，∠MOA=22.5°，
∴∠AOC=∠MOC+∠MOA=90°.
【分析】（1）根据题意可得：∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根据∠AOC=120°，得出∠AOP=90°，∠BOQ=45°，再求解即可； ②不变，根据题意得出，， 再代入即可得出答案；
（3） 设∠MOC=α，则∠NOC=90°-α，根据题意得出∠COM=3∠AOM，∠BON=3∠CON，列出方程
求得∠MOC=67.5°，∠MOA=22.5°，进而得出答案．
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