资源简介

苏教版选择性必修第一册《3.1 椭圆》2025年单元测试卷（1）
一、单选题
1.已知、是椭圆：的焦点，为上一点，且，则的内切圆半径( )
A. B. C. D.
2.若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为( )
A. B. C. D.
3.韶州大桥是一座独塔双索面钢砣混合梁斜拉桥，具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，如图，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.椭圆：的左、右焦点分别为，，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若且，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知命题：“”，命题：“方程表示椭圆”，则是的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知是椭圆的右焦点，直线与交于，两点，则的周长的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.椭圆经过点，则最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为的直线与相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
10.设，是椭圆：的两个焦点，点在椭圆上，若为直角三角形，则的面积为( )
A. B. 或 C. D. 或
11.设为坐标原点，，为椭圆：的两个焦点，点在上，，则( )
A. B. C. D.
12.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，椭圆上存在两点，使得梯形的高为为该椭圆的半焦距，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
13.已知斜率为的两条直线都与椭圆相切，则这两条直线间的距离等于( )
A. B. C. D.
二、多选题
14.将一个椭圆绕其对称中心旋转，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是( )
A. B. C. D.
15.已知椭圆：，则下列结论正确的是( )
A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 短轴长为 D. 离心率为
16.在平面直角坐标系中，已知，，点满足、的斜率之积为，点的运动轨迹记为下列结论正确的( )
A. 轨迹的方程
B. 存在点使得
C. 点，，则的最小值为
D. 斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
17.已知椭圆：，将绕原点逆时针方向旋转得到椭圆，将所有点的横坐标沿着轴方向、纵坐标沿着轴方向分别伸长到原来的倍得到椭圆，动点、在上，且，则( )
A. ，的四个焦点构成一个正方形
B. 与离心率相等
C. 的方程为
D. 线段的中点始终在直线上
18.某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面如图由半椭圆与半椭圆组成，其中，，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是轴截面与，轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界，，在宝珠珠面上，为等边三角形，则以下命题中正确的是( )
A. 椭圆的离心率是
B. 椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C. 椭圆的焦点在轴上
D. 椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
三、填空题
19.已知直线与椭圆相交于，两点，则 ______．
20.勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆的一个焦点把长轴分成长度分别为，的两段，且，，恰好为一组勾股数，则的一个标准方程为______写出满足条件的一个即可
21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段 ______．
22.已知椭圆：的左焦点为，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为______．
23.已知两定点，，点是直线上的一个动点，则以，为焦点且过点的椭圆的离心率的最大值为______．
24.已知椭圆的离心率为，右焦点为．
求此椭圆的标准方程；
若过点且倾斜角为 的直线与此椭圆相交于、两点，求的值．
四、解答题
25.点是直角坐标平面上的一个动点，点到直线的距离等于它到点的距离．
求动点的轨迹的方程，并判断该轨迹是何种圆锥曲线；
过曲线的焦点作直线交曲线于、两点，试问在什么情况下弦最短说明理由．
26.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知，，试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程精确到．
27.已知椭圆：的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，．
求椭圆的标准方程；
当直线的斜率为时，在轴上是否存在一点异于点，使轴上任意一点到直线与到直线的距离相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
28.已知点为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ若为椭圆上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】椭圆中，，，
则，
，，
，
，，
，
，
，
解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】由椭圆，得，则．
因为点到椭圆一焦点的距离为，
所以由椭圆定义得点到另一焦点到距离为．
故选：．
3.【答案】
【解析】桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，
可得，解得，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】由椭圆的方程：可得，，，
过右焦点作直线轴交椭圆于点，可得，
即，由椭圆的定义可知．
故选：．
5.【答案】
【解析】由，可得为的中点，
设，，代入椭圆方程，
得，，两式相减得，
，又，，
，即，
而，则，
又，联立解得，，
椭圆的方程为．
故选：．
6.【答案】
【解析】曲线表示椭圆，则，解得且，
故命题：“”是命题：“曲线表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：．
7.【答案】
【解析】记椭圆：右焦点，
则四边形为平行四边形如图所示，
的周长等于，
因为，所以周长等于，
又，不在轴上，所以，
故的周长的取值范围为，．
故选：．
8.【答案】
【解析】椭圆经过点，
可得，
所以，
当且仅当，，即，时取等号．
故选：．
9.【答案】
【解析】由过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，
可得椭圆过点，代入方程得．
设，，则，，
两式作差得：，
因为恰好是的中点，所以，，又因为直线斜率为，
所以，将它们代入上式得，
则联立方程解得．
所以椭圆上一点到的距离的最大值为．
故选：．
10.【答案】
【解析】由椭圆方程可得，，所以，
当或为直角时，则或，
此时；
当为直角时，则，
即，
由椭圆的定义可得，，
可得，
所以，
所以的面积为或．
故选：．
11.【答案】
【解析】根据题意可得，，，
设，，与点在上，，
，又，
解得，
，
，
，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边，
作于点，则，因为梯形的高为，所以，
在中，，则即，
设，则，在，
即，
解得，同理，
又，所以，即，
所以．
故选：．
13.【答案】
【解析】设两直线的方程为，
代入椭圆方程得，整理得，
斜率为的两条直线都与椭圆相切，
，解得，，
两条切线的方程为，
这两条直线间的距离等于．
故选：．
14.【答案】
【解析】椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，
，即，
对于，，，故，故，故A正确，
对于，，，故，故，故B错误，
对于，，，故，故，故C正确，
对于，，，故，故，故D错误．
故选：．
15.【答案】
【解析】椭圆：，即，
可得，，，
所以、不正确；C正确；D正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，由已知设点的坐标为，由题意知
，
化简得点的轨迹方程为，故A正确；
对于，由椭圆方程知，，，，
若，则点在以线段为直径的圆上，
以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆外，
所以椭圆上不存在满足，B错误；
对于，由设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义为，
所以，所以，
当且仅当为的延长线与椭圆的交点时，等号成立．故C正确．
对于，设，，因为点为的中点，
所以设，因为，在椭圆上，
所以，两式相减得，
，即，
所以，所以，
则直线的斜率为，故D正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】选项，：的焦点坐标为，
由题意得：，故焦点坐标为，
故C，的四个焦点构成一个正方形，A正确；
选项，的离心率为，
设上的点对应的上的点的坐标为，
则，故，将其代入：中，得到，
故C：，C错误；
则离心率为，与离心率相等，B正确；
选项，设，，则，
两式相减得，
即，
其中，
因为，所以，
故，解得，
线段的中点始终在直线上，D正确．
故选：．
18.【答案】
【解析】由，可得半椭圆的焦点在轴上，
即为右焦点，则半椭圆的焦点在轴上，且，
由宝珠的轴截面以曲线为边界，是一个圆，半径，
可得，即有，
等边三角形可得，
由题意可得，
即有，，即，，
可得椭圆的离心率是，故A正确；
由椭圆的离心率为，故B错误；
椭圆的焦点在轴上，故C正确；
椭圆的长、短轴之比为：，椭圆的长、短轴之比为：，
，故D错误；
故选：．
19.【答案】
【解析】设，，
把代入椭圆方程椭圆，化为，
，
，，
，
故答案为：．
20.【答案】或或或答案不唯一，写出一个即可
【解析】含的勾股数有，，不妨令，则有或，
解得或，当，时，；当，时，．
故椭圆的标准方程为或或或．
故答案为：或或或答案不唯一，写出一个即可．
21.【答案】
【解析】因为椭圆，因为，
所以点的横坐标为，
可得，
所以，，
把代入求得纵坐标为，即．
故答案为：．
22.【答案】
【解析】取椭圆的右焦点，连接，，
由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，则，，
，而，所以，所以，
在中，，
解得：，
故答案为：．
23.【答案】
【解析】点，，
，为焦点的椭圆的焦距，即，
又以，为焦点且过点的椭圆的长轴长，
当最小时，最小，此时椭圆的离心率最大．
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
连接，交直线于，
点是直线上的一个动点，
，
即的最小值为，
当与重合时，取得最小值，最小值为，
椭圆的离心率的最大值为．
故答案为：．
24.【解析】由于右焦点为，则，
离心率为，则有，即有，
，
则椭圆的标准方程为：；
过点且倾斜角为的直线为：，
联立椭圆方程，消去，得，
解得，或，
则交点分别为，
则．
25.【解析】设点，
因为点到直线的距离等于它到点的距离．
所以，
化简得，
所以动点的轨迹为抛物线．
由可知抛物线的焦点坐标为，
设过曲线的焦点作直线方程为：，，
联立，得，
，，
所以
，
当时，，
即当直线为时，．
26. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为．
在中，．
由椭圆的性质知，，
所以；
．
所以，所求的椭圆方程为．
27.【解析】设椭圆的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
由可得：，
根据题意可设直线：，，，，
联立方程，消去得，
则，
可得，
由题意可知轴为直线与直线的对称轴，则，
可得，
因为，可得，
整理得，
将代入得：，解得，
所以存在点，使轴上任意一点到直线与到直线的距离相等，此时．
28. 【解析】Ⅰ由题意可得，椭圆上任意一点到点的最大值为，最小值为，
则，，解得，，
所以，
故椭圆的标准方程为；
Ⅱ由Ⅰ可知，点为椭圆的左焦点，
由椭圆的定义可知，，
设，
因为点在圆外，
则，所以，
所以在中，，
则，
由圆的性质可得，四边形的面积为，其中，
则，
令，
故，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
所以当时，取得极大值，即最大值，
此时，
故四边形面积的最大值为．
第1页，共18页

展开更多......

收起↑