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赣州市赣县中学2025年秋学期补习班开学考
数学试卷
一、单选题
1．设集合{是小于10的自然数}，，，则（ ）
A． B．
C． D．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
4．若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
5．已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数的最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项中正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若是奇函数，当时，，则时，
D．与表示同一函数
10．已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（ ）
A．
B．若，则或
C．若，则
D．，当时，
11．已知函数则（ ）
A．， B．函数只有2个零点
C．直线与的图象有3个交点 D．，
三、填空题
12．已知函数，其中为正实数，则 ．
13．已知集合，集合.若，则实数的取值范围为 .
14．已知幂函数是偶函数，则 ，设，若对于任意，，则实数的最大值为 .
四、解答题
15．已知二次函数．
(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
(2)解关于的不等式（其中）．
16．已知数列满足，且．
(1)求的值；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且．
(1)求A；
(2)设D为的中点，若，且，求的面积．
18．由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.
(1)求证：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值.
19．已知函数.
(1)当时，，求的最大值；
(2)证明：曲线的图象是轴对称图形；
(3)若，求的取值范围.
赣州市赣县中学2025年秋学期补习班开学考
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A C C B A C A AC ABD ABD
8．A
【详解】因为，所以①，
则函数的图象关于点对称．
因为为偶函数，所以②，
则函数的图象关于直线对称．
由①②得，则，故的周期为4，
所以．
由，令，得，即③．
已知，由函数的图象关于直线对称，得．
又函数的图象关于点对称，得，
所以，即，所以④．
联立③④解得，故当时，．
由的图象关于点对称，
可得．
11．ABD
【详解】对于A：当时，，当时，，
所以成立，即选项A正确；
作出的图象（如图所示），

由图象，得与的图象关于轴对称，且与有交点，
即，，即选项D正确；
对于C：由图象，得直线与的图象只有2个交点，
即选项C错误；
对于B：的零点个数等于
的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图与的图象的交点个数为2，即选项B正确．
12．
13．
14． －2 －1
【详解】由已知幂函数是偶函数，则有，解得或，
又，则指数须为偶数，所以.
所以，则，
不等式可化为，令，
则，时取等号，不等式变为.
当时，不等式不成立；
当时，令二次函数，其对称轴为，，
要使在时恒成立，
则且，解得，所以的最大值为.
15．(1) (2)答案见解析
【详解】（1）不等式，
当时，恒成立，而，
当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围是.
（2）不等式，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，解得或；
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
16．(1)，； (2)证明见解析，； (3)
【详解】（1），，；
（2），∴，，
即，又，
∴数列是等差数列，且该数列首项为，公差为，
∴，，∴．
（3）①
①－②得：，
∴．
17．(1) (2)
【详解】（1）由条件及正弦定理得，
整理得，所以．
所以，即．
又A为锐角，．所以，故．
（2）在中由余弦定理得，即①
在中由余弦定理得②
由①②消去a，得，即．
因为，所以，
所以．
18．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）如图所示，取中点，连接，，
则由题意且，故四边形是平行四边形，
所以且，故且，
所以四边形是平行四边形，则.
又平面平面，所以平面.
（2）由题意可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意.
又，
，
，
即，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
所以，则，取，则.
设与平面所成角，
则，
所以与平面所成角的正弦值为.
19．(1) (2)证明见解析 (3)
【详解】（1）的定义域为，
由于，即，
由于，故
由于故，当且仅当取到等号，
因此，故，
故
（2）的定义域为，关于对称，
任意的，则，
故，
故的图象是轴对称图形，且关于对称，
（3）
令，则，
记，，
当时，，故，
此时在上单调递减，
故，符合题意，
当时，令，则，
故当时，在单调递增，
当，在单调递减，
故，
由于，故，不符合，故舍去，
综上可得
答案第1页，共2页赣县中学2024年春学期高一数学周测六
数学答题卡
姓名： 考号： 班级： 考场： 准考证号填涂区
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1 2 3 4
5 6 7 8
一、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9 10 11
二、填空题（共15分）
(
12
13
14
三、计算题（共77分）
1
5
.
（13分）
)
(
16.
（15分）
)
(
18.
（17分）
) (
19.
（17分）
) (
17.
（15分）
)

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