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2025年高三《第二单元一元二次函数、方程和不等式》测试卷
一、单选题
1.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
2.若，，，，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
3.若关于的不等式的解集为，则的值为 ( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知正实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区阴影部分和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为( )
A. B. C. D.
7.关于的不等式的解集中，恰有个整数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的不等式的解集为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
9.已知实数，，且，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知，是实数，且满足，则( )
A. B.
C. D.
11.刘老师沿着某公园的环形道周长大于按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为( )
A. B. C. D.
12.设，若，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
13.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
14.已知，则( )
A. B.
C. D.
15.设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家提出了“均值”，即，其中为有理数．下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
16.已知不等式的解集是，则下列命题中真命题的是( )
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则．
17.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．以下判断正确的是( )
A. 该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
B. 该单位每月最低可获利元
C. 该单位每月不获利也不亏损
D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损
三、填空题
18.已知不等式的解集为，若关于的不等式的解集非空，则的最小值是 ．
19.若，且，则的最小值为 ，的最大值为 ．
20.设为实数中最大的数．若，则的最小值为 ．
四、解答题
21已知都是正实数，比较与的大小；
已知实数，满足：，，求的取值范围．
22.已知函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
解关于的不等式．
23.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米．
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，试求的取值范围．
24.设函数．
若不等式的解集，求，的值；
若，
，，求的最小值；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
25.数控机床，简称机床是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和单位：万元与使用时间，单位：年之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用．
写出与之间的函数关系式；
从第几年开始，该机床开始盈利？
该机床使用过程中，已知年平均折旧率为固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．总获利盈利额机床剩余价值
参考数据：，，，，
答案和解析
1.【答案】
【解析】，解得，
所以解集为．
2.【答案】
【解析】当，时，满足，
但，，故A，B错误；
因，，由不等式性质得，C正确；
当时，不成立，排除，
故本题选C
3.【答案】
【解析】不等式的解集为，
方程的两根为和，
，解得，
，
故选B．
4.【答案】
【解析】关于的不等式的解集为，
不等式恒成立，
当，即时，不等式化为，解得，不是对任意恒成立；
当时，即时，
对，要使恒成立，
则，且，
化简得：，
解得或，
又，
，
综上，实数的取值范围是．
故选B．
5.【答案】
【解析】由条件知，
，
当且仅当时取等号．
故选：
6.【答案】
【解析】设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当的长度为时，整个项目占地面积最小．
故选：．
7.【答案】
【解析】关于的不等式，
不等式可化为，
当时，得，此时解集中的整数为，，，
则，
当时，得，此时解集中的整数为，，，
则，
当时，不等式的解集为，不符合题意．
故的取值范围是．
故选：．
8.【答案】
【解析】
不等式的解集为，
故，为对应方程的两个根，
根据韦达定理，可得：，，
那么：，
，
，
即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】，
，且，为正数，
当且仅当，即时，
若不等式对任意实数恒成立，
则对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】对于：由于，所以，
又函数在单调递增，
则，故选项A错误．
对于：由于，所以，
由于幂函数 在 为增函数，
所以，故选项B错误．
对于：由，结合基本不等式当且仅当时取等号可得正确，
故C选项正确；
对于：由可知，由同向不等式相加的性质可得，
可得，故选项D错误．
故选C．
11.【答案】
【解析】设公园的环形道的周长为，刘老师总共跑的圈数为，，
则由题意，所以，
所以，因为，所以，又，所以，
即刘老师总共跑的圈数为．
故选：
12.【答案】
【解析】因为，
若，
可得，
所以只需要
设，则，
令，可得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为．
故选：．
13.【答案】
【解析】方程的 ，方程有两个实根，
．
当时，恒成立，
恒成立，且函数对称轴为，
，整理得，
当时，不等式恒成立，当时，不等式两边同时平方可得，即
综上所述，；
当时，，即恒成立，
若，则函数的最小值为，
恒成立，即，解得，
即；
若，则函数的最小值为，
恒成立，即，解得，
即，
综所述，，
综上所述，的取值范围是，
故选A．
14.【答案】
【解析】，
对于，，则， A正确；
对于，取，满足，而， B错误；
对于，，因此， C正确；
对于，，取，满足，而， D错误．
故选：
15.【答案】
【解析】对于选项，，
当且仅当时，等号成立，故A正确
对于选项，，
当且仅当时，等号成立，故B错误
对于选项，
，
当且仅当时，等号成立，故C正确
对于选项，当时，由可知，，故D错误．
故选：．
16.【答案】
【解析】由题意，，则，，，
，所以A正确；
对于：，
当且仅当，即时等号成立，所以B正确；
对于：由根与系数的关系，知，所以C错误；
对于：由根与系数的关系，知，，
则，解得，所以D正确；
故选ABD．
17.【答案】
【解析】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时，能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元．
设该单位每月获利为，
则
，
因为，所以当时，有最大值元．
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．
故选AD．
18.【答案】
【解析】不等式可化为，即，
解得，
即不等式的解集为，
所以，，
所以不等式可化为，即，
所以不等式的解集非空，
所以，
解得，
所以的最小值是．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】由，得，，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
，
当且仅当，即，时，等号成立，
即的最大值为．
故答案为；．
20.【答案】
【解析】设，
则，，，
因为，
当时，只需考虑，，
又因为，，
两式相乘得，可得，当且仅当时取等号，
当时，，只需考虑，，
两式相乘得，
则，当且仅当时取等号，
因为，故，综上所述，的最小值为．
故答案为：．
21.【解析】
，
因为 都是正实数，所以 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立．
设 ，，，
则 ，
解得 ， ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，
所以 的取值范围为 ．
22.【解析】由不等式的解集为，
当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去；
当时，即时，不等式可化为，
要使得不等式的解集为，
则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围为
由不等式，可得，
当时，即时，不等式即为，解得，解集为；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为或；
当时，即时，不等式可化为，
因为，所以不等式的解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或．
23.【解析】设甲工程队的总造价为元，
则，，
，
当且仅当，即时等号成立，
当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元
由题意可得，对任意的恒成立，
即有，
即在恒成立，
又，
当且仅当即时等号成立，
，
又，的取值范围为．
24.【解析】由的解集是知，是方程的两根，
由根与系数的关系可得，解得；
由得，
，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值是．
不等式在上恒成立，则在上恒成立，
即恒成立，，
解得，
实数的取值范围是．
25.【解析】由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得：

令，即，即，
对于方程，由求根公式可得，
又，则，
，
所以不等式的解为，
且，所以从第年开始盈利
第一方案：对于，对称轴为，
当时，万元，
此时机床剩余价值为，
总获利为万元；
第二方案：年平均盈利额为 ，
其中，
当且仅当时，即时，等号成立，
且，则或，
当时，万元，
当时，万元，
所以时，年平均盈利额最大，此时盈利额万元，
机床剩余价值为万元，
总获利为万元，
因为，所以第一方案较为合理．
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