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2025年高三《第三单元函数的概念与性质、指数函数与对数函数》测试卷
一、单选题
1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
2.设函数则( )
A. B. C. D.
3.设，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中是激光器输出的单脉冲能量，是水下潜艇接收到的光脉冲能量，为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积单位：，光斑面积与卫星高度有关若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减满足单位：当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为，则此时大小约为( )
参考数据：
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足关于直线对称，且，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知正实数，满足：，，则的值是( )
A. B. C. D.
10.若函数，在上的最大值为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.我国的通信技术领先世界，技术的数学原理之一是著名的香农公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽赫兹，是信道内所传信号的平均功率瓦，是信道内部的高斯噪声功率瓦，其中叫做信噪比根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从提升至，使得大约增加了，则的值大约为参考数据：( )
A. B. C. D.
12.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法定义：，从右往左计算已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是参考数据：
A. B. C. D.
13.已知函数若关于的方程有个根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题
14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 函数有个零点
B. 当时，
C. 不等式的解集是
D. ，都有
15.已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在定义域上单调递增
D. 若实数，满足，则
16.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是( )
A. 地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级
B. 八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的倍
C. 八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的倍
D.
17.若定义在上的函数同时满足：对，成立对，，，成立则称为“正方和谐函数”下列说法正确的是( )
A. ，是“正方和谐函数”
B. 若为“正方和谐函数”，则
C. 若为“正方和谐函数”，则在上是增函数
D. 若为“正方和谐函数”，则对，成立
三、填空题
18.若函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
19.已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 ．
20.若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有是一个常数，则称在上具有性质．设是在区间上具有性质的函数，且对于任意，都有成立，则的取值范围为 ．
四、解答题
21已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
求函数的解析式；
若，求的取值范围；
若实数，，满足，求的最小值．
22.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
确定函数的解析式；
用定义证明在上是增函数；
解不等式：．
23.近日，火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了模型的训练成本，同时也代表着我国在技术方面的迅速发展和进步．相关数学建模小组通过对某软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为单位：字节的数据时，处理时间单位：秒满足关系式其中，均为常数已知当时，；当时，．
求，的值；
若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间；
若将中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值．
24.若对定义在上的函数，，存在，，使得恒成立，则的图象关于点对称已知函数，且．
证明：函数的图象是中心对称图形；
求的值
当时，求在上的最小值．
25定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“倍型线性函数”．
判断是否为上的“倍型线性函数”，并说明理由
若为上的“倍型线性函数”，求的取值范围
若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“倍型线性函数”，证明：，，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为在定义域上是偶函数，在上单调递减，所以不符合题意
因为是偶函数，在上不单调递增，所以不符合题意
因为在定义域上是偶函数，且在上单调递增，所以符合题意
因为 是奇函数，所以不符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】函数，
，
，
．
故选C．
3.【答案】
【解析】因为函数在上单调递增，且，所以，即，
因为函数在上单调递减，且，所以，即；
因为函数在上单调递增，且，所以，即；
所以．
故选B．
4.【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，
故选A．
5.【答案】
【解析】
由题意，的定义域为，关于原点对称，
且，
函数是奇函数，
函数的图象关于原点对称，排除，；
当时，，，，排除．
故选C．
6.【答案】
【解析】
因为，所以，
因此，．
7.【答案】
【解析】，
，，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】根据题意，函数满足关于直线对称，则为偶函数，
函数满足，则有，
即函数是周期为的周期函数，
则，
又由当时，，则，
故，
故选：．
9.【答案】
【解析】由 ， 即，
即，可得，
由，可得，
令，
则，，
易知，在上单调递增，
故在上单调递增，
故，所以．
故选：．
10.【答案】
【解析】函数，
时，函数是增函数；
函数是增函数，
因为，，所以的取值范围为：．
故选：．
11.【答案】
【解析】依题意，，
即，
则，
因为，
所以，
所以的值大约，
故选C．
12.【答案】
【解析】因为，
所以，
因为，
所以，
故选C．
13.【答案】
【解析】作出函数图像如图所示：
令，则可化为，
若有个根，
结合图像可知方程在上有个不相等的实根，
不妨设，，
则解得，
故，
故选：．
14.【答案】
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以对于，，，，因此有三个零点；故A错误；
对于，取，则，所以；故B正确；
对于，不等式，
当时，，解得，
当时，无解，
所以的解集是 ，故C正确；
对于，当时，，
由是定义在上的奇函数，所以的值域为，
所以，，都有，，故D正确．
故选BCD．
15.【答案】
【解析】因为，即，则，
所以函数的定义域为，
所以，故A正确；
对于选项，又因为
，所以函数的图象关于点对称，故B正确；
对于选项，对于函数，该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，
当时，内层函数，，故为减函数，外层函数为增函数，
所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，故函数在上为减函数，
故函数在上为减函数，故C不正确；
对于选项，因为实数，满足，
则，可得，即，故D正确．
16.【答案】
【解析】对于，当时，由题意得，
解得，即地震里氏震级为七级，选项A正确
对于，八级地震即时，由，
解得，所以，选项B错误
对于，六级地震即时，由，
解得，所以，
即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的倍，选项C正确
对于，由题意得，则，选项D正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】对于，函数，，显然满足条件．
对，，，
函数在区间上是“正方和谐函数”，故A正确；
对于，因为为“正方和谐函数”，
则取，得，即，
又由，得，故B正确
对于，因为，则，
所以，
故有故C错误
对于，由可得函数的最大值为
当时，
当时，，，
类似中结论，
当时，，
假设当时，有成立，其中，，
那么当时，，
故对于任意时，有成立，其中，，
故对，成立，
当时，．
所以，若为“正方和谐函数”，则对，成立，
故D正确．
18.【答案】
【解析】由函数的定义域是，可得，解得，
再由，解得或，
综上，可得函数的定义域为
故答案为：
19.【答案】
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，
则在递减，且，
则当或时，；当或时，，
因为，
则当时，，则，解得
当时，，则，解得．
综上，不等式的解集为
20.【答案】
【解析】由得，
由题意知在区间上单调递增．
时，在区间上单调递增，符合题意；
时，在区间上单调递增，
若在区间上单调递增，则，即对恒成立，
所以成立，故，即；
时，对恒成立，此时，
函数由，复合而成，在上单调递增且，
而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若在上单调递增，则，即．
综合可知的取值范围为．
故答案为：
21. 【解析】：幂函数是偶函数，且在上单调递增，
，且 为正偶数，
，，故．
，，，
即，求得．
故的取值范围为．
若实数，满足，，即，
则
，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为．
22.【解析】在上为奇函数，且
有，解得
此时为奇函数，
故；
证明：任取，
则
而，且，即，
，即，故在上是增函数．
解：，又在上是增函数
，解得
不等式的解集为
23.【解析】由题意得，
故
两式相减可得，
故，
故．
由可知，
当时，，
故所需的处理时间为秒
，
当且仅当时取等号，
故所需的总处理时间的最小值为秒
24.【解析】证明：的定义域为，
设，
因为，，
所以，
所以函数的图象关于点对称，
故函数的图象是中心对称图形；
解：由可知，，都有成立，
又，所以
；
，，且，
，
因为，
所以，
又，
所以，
则，
因为，
所以，即，
所以在上单调递增，
故在上的最小值为．
25.【解析】不是上的“倍型线性函数”，
理由如下：假设是上的“倍型线性函数”，
则，，，
不妨令，则，即，
取，，则，，
因为，所以，
与矛盾，从而假设不成立，
故不是上的“倍型线性函数”；
因为为上的“倍型线性函数”，
所以，，，
整理得，
当时，上式显然成立，
当时，上式等价于，
则，
由，，得，
从而，
综上所述，的取值范围为；
证明：因为是定义域为的偶函数，
所以，
又是定义域上的“倍型线性函数”，
所以，，，
当时，显然成立，
当时，不妨设，
由，，可得；
若，则由，
可得；
若，
因为是偶函数，所以，
则
．
综上所述，．
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