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第二章 机械振动
高中物理选必一 人教版
第1节 简谐运动
01
第2节 简谐运动的描述
02
第3节 简谐运动的回复力和能量
03
第二章 单元复习
第4节 单摆
04
第5节 实验：用单摆测量重力加速度
05
第6节 受迫振动 共振
06
本章思维导图
知识一 简谐运动
知识二 简谐运动的描述
知识三 简谐运动的回复力和能量
知识四 单摆
知识五 实验：用单摆测量重力加速度
知识六 受迫振动 共振
第1节 简谐运动
第二章 简谐运动 单元复习
一、 弹簧振子及其位移—时间图像
例1.弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是(　　)
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球位移最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
D
一、 弹簧振子及其位移—时间图像
解析 平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，A、B错误，D正确；当小球处于平衡位置时，位移是零，在小球位移最大时，加速度最大，C错误．
一、 弹簧振子及其位移—时间图像
对弹簧振子的说明
弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子)，但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大．
一、 弹簧振子及其位移—时间图像
AC
例2.(多选)如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x t图像如图乙所示．则下列说法中正确的是(　　)
A．t2时刻振子在A点
B．t2时刻振子在B点
C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大
D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小
一、 弹簧振子及其位移—时间图像
解析　振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子在A点时有正向最大位移，在B点时有负向最大位移，则t2时刻振子在A点，t4时刻振子在B点，故A正确，B错误；由题图乙可知，在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大，故C正确，D错误．
第2节 简谐运动的描述
第二章 机械振动 单元复习
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
1．振幅、周期和频率
(1)周期和频率
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
(2)全振动的特征
①物理量特征：完成一次全振动时，位移(x)、速度(v)同时与初始状态相同．
②时间特征：历时一个周期T.
③路程特征：为振幅A的4倍．
(3)简谐运动中振幅和位移、路程、周期(频率)的关系
①振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量．在数值上，振幅与振动物体的最大位移的大小相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化．
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
2．简谐运动的对称性和周期性
(1)对称性
①瞬时量的对称性：各物理量关于平衡位置对称．以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点时，位移、速度、加速度的大小均相等．
②过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，如tBC＝tB′C′，如图所示．
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
C
例3.弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10 cm，由B→C运动时间为1 s，则(　　)
A．从B开始经过0.25 s，振子通过的路程是2.5 cm
B．经过两次全振动，振子通过的路程为80 cm
C．该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm
D．振动周期为2 s，振幅为10 cm
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
例4.　(多选)弹簧振子在A、O、B之间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s．则 (　　)
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．振子过O点时计时，3 s内通过的路程为24 cm
　
CD
二、 描述简谐运动的物理量及其关系
解析 A、B之间的距离为8 cm，则振幅是4 cm，故A错误；T＝2 s，f＝0.5 Hz，故B错误；振子完成一次全振动通过的路程是4A，即16 cm,3 s内运动了1.5个周期，故总路程为24 cm，故C、D正确．
三、 简谐运动的表达式
1．简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ)．
2．各物理量的含义
(2)φ表示t＝0时，做简谐运动的物体所处的状态，称为初相位或初相．ωt＋φ代表做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态，叫作相位．
三、 简谐运动的表达式
3．从函数关系式中得到的振动信息
特别提醒：关于相位差Δφ＝φ1－φ2的说明．
(1)取值范围：－π≤Δφ≤π.
(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．
(3)Δφ>0，表示振动1比振动2超前．Δφ<0，表示振动1比振动2滞后．
三、 简谐运动的表达式
CD
三、 简谐运动的表达式
三、 简谐运动的表达式
例6.一半径为10 cm的小球漂浮在水面上时恰好有一半体积浸没在水中.现将小球向下按压5 cm后放手，忽略空气阻力，小球在竖直方向上的运动可视为简谐运动，测得其振动周期为0.4 s.以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，其振动图像如图所示，其中A为振幅.
(1)写出小球位移随时间变化的函数表达式；
(2)小球12 s内所经过的路程和位移各是多少？
三、 简谐运动的表达式
第3节 简谐运动的回复力和能量
第二章 机械运动 单元复习
四、 回复力和加速度
1．简谐运动的回复力
表达式：F＝－kx.
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．
(2)公式F＝－kx中k指的是回复力与位移间的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．
四、 回复力和加速度
2．加速度特点
(2)k的单位：式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m.
四、 回复力和加速度
AD
四、 回复力和加速度
四、 回复力和加速度
例8．一物体在y方向上做简谐运动，其振动图像如图所示，下图中能正确反映振动物体的速度v、回复力F、加速度a随时间变化规律的是
(　　)
A B C D
C
四、 回复力和加速度
解析 在简谐运动中，位移为零时速度最大，位移最大时速度为零，A错误；由简谐运动特征F＝－kx可知，回复力F图像与位移图像的相位相反，B错误，C正确；加速度a随时间变化的规律与回复力F随时间变化的规律相同，D错误．
五、简谐运动的能量
五、简谐运动的能量
B′→O O→B B→O O→B′
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 O→B′ O→B O→B O→B′
回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 B′→O B→O B→O B′→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 B′→O O→B B→O O→B′
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
物理量
变化规律
运动过程
总结：(1)在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反.
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点.
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点.
五、简谐运动的能量
五、简谐运动的能量
例9　如图所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为坐标原点，建立Ox轴，规定向右为正方向，其简谐运动的周期T＝0.8 s，OM＝ON＝10 cm.当t＝0时刻，将小球由N点静止释放．关于小球的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．从N到O的过程中，弹簧的弹性势能转化为小球的动能
B．从M经O到N的过程中，弹簧振子系统的机械能先增加再减小
C．每次通过同一位置时，速度一定相同
D．小球做简谐运动的位移时间关系为x＝
0.1sin(2.5πt) m
C
五、简谐运动的能量
解析 从N到O的过程中，弹簧形变量减小，弹性势能减小，小球动能增大，根据能量守恒定律，此过程弹簧的弹性势能转化为小球的动能，A正确；从M经O到N的过程中，弹簧振子系统只有弹簧内力做功，系统机械能守恒，B错误；每次通过同一位置时，速度大小相等，但是速度方向有可能不同，C错误；t＝0时刻，将小球由N点静止释放，此时小球位移为0.1 m，而根据x＝0.1sin (2.5πt) m可得t＝0时刻小球位移为0，D错误．
五、简谐运动的能量
C
五、简谐运动的能量
第4节 单摆
第二章 机械运动 单元复习
六、单摆的回复和特点
回复力、向心力、合外力的区别与联系
(1)区别
①回复力：使物体回到平衡位置且指向平衡位置的力；对单摆来说，重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供回复力.
②向心力：使物体做曲线运动且指向圆心的力；对单摆来说，摆线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力.
③合外力：物体所受的合力，它使物体的运动状态发生变化.
(2)联系：回复力、向心力、合外力均为效果力且均为矢量.回复力、向心力一定是变力，合外力可以是恒力，也可以是变力.对单摆来说，回复力与向心力的合力等于合外力.
六、单摆的回复和特点
例11.(多选)关于单摆，下列说法中正确的是(　　)
A.单摆振动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα，其中α是摆线与竖直方向之间的夹角
B.单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力
C.单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零
D.单摆的振动周期在偏角很小的条件下跟振幅无关
AD
六、单摆的回复和特点
解析　单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受重力G和摆线的拉力FT两个力的作用，提供回复力的是重力沿圆弧切线方向的分力mgsinα，而不是重力和摆线拉力的合力，A正确，B错误；摆球在平衡位置时有向心加速度，加速度不为零，C错误；通常情况下单摆的振动不是简谐运动，只有在偏角很小的情况下才可近似看作简谐运动，单摆做简谐运动的条件下，周期与振幅无关，D正确.
六、单摆的回复和特点
例12.(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)
A.t1时刻摆球速度为零，摆球所受的合力为零
B.t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
D
六、单摆的回复和特点
解析　由题图读出t1时刻位移最大，说明此时摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2时刻位移为零，说明此时摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误；t3时刻位移最大，说明此时摆球在最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确；t4时刻位移为零，说明此时摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确.
七、单摆的周期
七、单摆的周期
七、单摆的周期
七、单摆的周期
等效摆长．
图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．
七、单摆的周期
例13.　如图甲，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示．不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是(　　)
A．单摆振动的频率是2 Hz
B．单摆的摆长约为1 m
C．若仅将摆球质量变大，单摆
周期变大
D．t＝1 s时摆球位于平衡位置O，
加速度为零
B
七、单摆的周期
七、单摆的周期
例14.将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力.图甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的A、A′之间来回滑动，A、A′点与O点连线与竖直方向之间夹角相等且都为θ，θ很小.图乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t＝0为滑块从A点开始运动的时刻，g取10 N/kg，试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求：
(1)容器的半径；
(2)小滑块的质量；
(3)滑块运动过程中的最大速度.
七、单摆的周期
七、单摆的周期
第5节 实验：用单摆测量重力加速度
第二章 机械运动 单元复习
八、实验：用单摆测量重力加速度
1．数据处理
八、实验：用单摆测量重力加速度
2．注意事项
(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数．
(2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变．
(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长．
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响．
八、实验：用单摆测量重力加速度
(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆．
(7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时．
(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记．
八、实验：用单摆测量重力加速度
3．误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等．
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小偶然误差，可进行多次测量后取平均值．
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可．
八、实验：用单摆测量重力加速度
例15．在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图甲所示，则摆球直径d＝________cm，再测量摆线长l，则单摆摆长L＝________(用d、l表示)．
八、实验：用单摆测量重力加速度
(2)摆球摆动稳定后，当它到达________(填“最低点”或“最高点”)时启动秒表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3…)，当n＝60时刚好停表．停止计时的秒表如图乙示，其读数为______s，该单摆的周期为T＝______s(周期要求保留3位有效数字)．
乙
八、实验：用单摆测量重力加速度
(3)计算重力加速度测量值的表达式为g＝________(用T、L表示)，如果测量值小于真实值，可能原因是________．
A．将摆球经过最低点的次数n记少了
B．计时开始时，秒表启动稍晚
C．将摆线长当成了摆长
D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长
八、实验：用单摆测量重力加速度
(4)正确测量不同摆长L及相应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与L的关系图线，如图丙所示．由图线计算出重力加速度的大小g＝__________ m/s2.(保留3位有效数字，计算时π2取9.86)
八、实验：用单摆测量重力加速度
例16.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时，且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得悬挂摆球后的摆线长为l，再用游标卡尺测得摆球的直径为d.
(1)该单摆的摆长为　　　　.
(2)该单摆的周期为　　　　.
(3)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝　　　　　　　　.
八、实验：用单摆测量重力加速度
(4)实验结束后，某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大，其原因可能是下述原因中的　　　　.
A.单摆的悬点未固定紧，摆动中出现松动，使摆线增长了
B.把第n次经过最低点误记为第(n＋1)次
C.以摆线长作为摆长来计算
D.以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算
BD
八、实验：用单摆测量重力加速度
八、实验：用单摆测量重力加速度
(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示　　　　.
(2)Ic的国际单位为　　　　，由拟合直线得到Ic的值为　　　　(保留到小数点后两位).
(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值　　　　(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
T2r
kg·m2
0.17
不变
第6节 受迫振动 共振
第二章 机械运动 单元复习
九、受迫振动
1．简谐运动、阻尼振动与受迫振动的比较
振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
振动图像 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
九、受迫振动
九、受迫振动
特别提醒：(1)阻尼振动的频率．阻尼振动中振幅虽逐渐减小，但振动频率不会变化，此频率称为固有频率，由振动系统决定．
(2)阻尼振动与简谐运动的关系．实际的振动都会受到阻力的作用，属于阻尼振动．当阻力很小时，可认为是简谐运动．
B
九、受迫振动
例18.下列振动中属于受迫振动的是(　　)
A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动
B.打点计时器接通电源后，振针的振动
C.小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D.弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
九、碰撞模型拓展
解析　敲击后的钟不再受驱动力，其振动不属于受迫振动，A错误；电磁式打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动，振动频率等于交流电的频率，B正确；小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动属于自由振动，不属于受迫振动，C错误；弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动，不受驱动力，不属于受迫振动，D错误.
A
九、受迫振动
例20.如图所示是一单摆做阻尼振动的x-t图像，则此单摆的摆球在图中P与N时刻的(　　)
A．速率vP>vN
B．重力势能EpPC．机械能EPD．受到的拉力FP＝FN
九、碰撞模型拓展
解析 由图可知，P点位移到此次振动位移的最大值之间的差值要比N点位移到此次振动位移的最大值之间的差值要大，故P点到此次振动位移最大值过程中，增加的重力势能更多，增加的重力势能都是动能转化而来，故P点具有的动能更多，故P点的速率大于N点的速率，A正确；由图可知，P、N点的位移大小相同，故两点对应的高度相同，故两点的重力势能相同，B错误；
十、共振
1.发生共振的条件
驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小.当驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅最大，发生共振.
说明：共振是物体做受迫振动时的一种特殊情况.
十、共振
2.对共振条件的理解
(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅有增大的趋势.当驱动力的频率等于物体的固有频率时，在一个振动周期内，驱动力的方向始终与物体运动的方向相同，物体振动的振幅趋于无穷大；但因为有阻尼作用，实际振幅不是无穷大，但达到一个最大值.
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加.
十、共振
3.共振的应用和防止
(1)应用：在应用共振时，使驱动力频率接近或等于振动系统的固有频率.如：共振筛、地震仪、超声工具、共振转速计等.
(2)防止：在防止共振时，使驱动力的频率与系统的固有频率相差越大越好.如：部队过桥应便步走，火车过桥要按设计要求的速度通过，建筑的设计施工、机器设备的设计、制造、安装都要考虑防止共振产生的危害等.
十、共振
例21.(多选)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种方法，如图甲、乙所示．则(　　)
AD
十、共振
A．针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B．随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C．打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D．稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
　
十、共振
解析 根据共振的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，A正确； 当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振，此时树干的振幅最大，则随着振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，B错误；打击结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干频率不同，C错误；树干在振动器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同，D正确．
B
十、共振
例22.如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为9Hz，乙弹簧振子的固有频率为72Hz，当支架在受到沿竖直方向且频率为9Hz的驱动力做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是(　)
A.甲的振幅较大，且振动频率为18 Hz
B.甲的振幅较大，且振动频率为9 Hz
C.乙的振幅较大，且振动频率为9 Hz
D.乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz
十、共振
解析　因为甲的固有频率等于驱动力的频率，根据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，故B正确.

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