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2025年高三《第四单元导数及其应用》测试卷
一、单选题
1.设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
4.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径已知每出售的液体材料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是( )
A. 有极小值点，没有极大值点 B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点 D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
6.已知函数，若在时总成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理．罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件在闭区间上连续；在开区间内可导；那么至少存在一个使得已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.若二次函数的图象与曲线：存在公共切线，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.在同一平面直角坐标系中，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，则
A. 函数的最小值为 B. 函数的最小值为
C. 函数的最小值为 D. 函数的最小值为
12.已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.已知函数，下列说法中正确的有( )
A. 函数 的极大值为，极小值为
B. 若函数在上单调递减，则
C. 当时，函数的最大值为，最小值为
D. 若方程有个不同的解，则
14.已知，则( )
A. 的定义域是
B. 函数在上为减函数
C. 若直线和的图象有交点，则
D.
15.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 若过点可以作曲线的两条切线，则
B. 若在上恒成立，则实数的取值范围为
C. 若在上恒成立，则
D. 若函数有且只有一个零点，则实数的范围为
16.已知函数，，下列结论正确的是 ( )
A. 函数在上单调递减
B. 若，分别是曲线和上的动点，则的最小值为
C. 函数的最小值为
D. 若对恒成立，则
17.已知函数，下列选项正确的是
A. 是函数的零点
B. 函数仅有一个极小值
C. 若，且，则
D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题
18.曲线的一条切线为，则__________．
19.定义在上的函数满足，的导函数，且对恒成立，则的取值范围是
20.已知点，，定义为，的“镜像距离”若点，在曲线上，且的最小值为，则实数的值为 ．
四、解答题
21.已知函数，为的导函数，且，．
求的解析式；
设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
22．已知函数
若曲线在点处的切线方程为，求和的值
讨论的单调性．
23.如图，一个面积为平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒如图设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边，的长分别为厘米和厘米，其中．
当，求纸盒侧面积的最大值；
试确定以，，的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
24.英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中为自然对数的底数，以上公式称为泰勒公式设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
证明：；
设，证明：；
设，若是的极小值点，求实数的取值范围．
25.已知函数．
求函数的单调区间；
当时，若，求证：；
求证：对于任意都有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】依题意，在上恒成立，
记，则在上恒成立，
所以在上单调递增，所以只需，解得，
故选：．
2.【答案】
【解析】设，
则，
因为对任意，，
所以对任意，，
即函数在上单调递增，
因为，
所以，
因为函数单调递增，
由得，
即的解集为．
故选B．
3.【答案】
【解析】由，得，则，
所以，
故，所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】由题意可知，每瓶液体材料的利润是
，，
所以，
令，得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当每瓶液体材料的利润最大时，．
5.【答案】
【解析】由题设，，则，
又直线与曲线相切于两点且横坐标为且，
所以的两个零点为，
由图知：存在使，
综上，有三个不同零点，
由图：上，上，上，上，
所以在上递减，上递增，上递减，上递增．
故至少有两个极小值点和一个极大值点．
故选：．
6.【答案】
【解析】当时，显然恒成立；
当时，即为，设，
则，设，
，
函数在上为增函数，
当时，，故函数在上为增函数，
，即成立；
当时，，，故存在，使得，
当时，，单调递减，则，即，不符题意；
综上所述，实数的取值范围为．
故选：．
7.【答案】
【解析】
设，，
则，
设，，则，
当，解得，当，解得，
所以函数在单调递减，在单调递增，
，
则的最小值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】依题意设在区间内的零点为，则有，
由罗尔中值定理可知，存在，使，
同理，由及罗尔中值定理可知，
存在，使，
故在上至少有两个不等实根，
令，
则，显然在上单调递增，
当，时，，此时在上单调递增，
故在上至多只有一个实根，
同理可知，当，时，，此时在上单调递减，
故在上至多只有一个实根，
当时，令，可得，
易知，且在上单调递减，在单调递增，
故当且时，，
又，
故，
则由零点存在性定理知，
故．
故选：．
9.【答案】
【解析】设切点为，，，
点处的切线斜率，
则过点的切线方程为，
又切线过点，所以，化简得，
过点可以作三条直线与曲线相切，
方程有三个不等实根，
令，求导得到，
令，解得，，
则当时，，在上单调递减，且时，，
当时，，在上单调递增，且，，
当时，，在上单调递减，且时，，
如图所示，

故，即．
故选：．
10.【答案】
【解析】设公切线与的图象切于点，
与曲线：切于点，
，
化简可得，，得或，
，且，，则，即，
由得，
设，则，
在上递增，在上递减，
，
实数的取值范围为，
故选：．
11.【答案】
【解析】由图可知，两个函数图象都在轴上方，则，函数单调递增，
因此实线为的图象，虚线为的图象，，
对于，，在上单调递增，无最小值，故A错误；
对于，，由图知，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值，故B错误；
对于，，由图知，
函数在上单调递增，无最小值，故C错误；
对于，，，
由图知，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，函数取得最小值，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】因为，所以．
因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线方程为．
设过点的直线与曲线相切于点．
因为，所以，
因此直线的方程为，
而直线过点，所以，
即，
因此直线的方程为．
又因为曲线在点处的切线与直线重合，所以，因此且，
所以把，代入得．
令，则，
因此当时，；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，所以函数有唯一的零点，因此方程有唯一的解，即实数的值为．故选：．
13.【答案】
【解析】定义域为，，
令，得或，由，得或，由，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，故B正确
，故 A正确
，
，
所以当时，最大值为，最小值为，故C不正确
根据函数的最值以及单调性，且方程有个不同的解，则，故D正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】因为，
对于，由题有，解得，故A选项正确；
对于，，
令，
则，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，当时，当时，
则在上单调递减，在上单调递增，故B选项正确；
对于，由知在上单调递减，在上单调递增，
所以，
若直线和的图象有交点，则，故C选项错误；
对于，由中的分析，，代入得，
即，故D选项正确．
故选ABD．
15.【答案】
【解析】对于选项A，画出曲线的图象，
根据图可判定点在曲线下方和轴上才可以作出两条切线，故，故A正确
对于选项B，在上恒成立，等价于在上恒在上方，
设的切点坐标为，其切线方程为，
对应的切线经过坐标原点，将代入解得，
其切线的斜率，故实数的取值范围为，故B正确
对于选项C，若在上恒成立，
则在上恒成立，即，，
设，，
令，解得，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以，所以，故C正确
对于，利用选项的过程，
画出函数的图像可知或，有且只有一个零点，故 D错误．
故选ABC．
16.【答案】
【解析】函数，定义域为，
其导函数显然单调递增，
当时，
所以函数在上单调递减，故A正确；
函数和的图像关于直线对称，
结合图像可知，当直线与垂直，且，处两函数图像的切线平行于时，最小，
，得，，
，得，，
此时，故B正确；
当时，，
当时，，
故存在唯一使得，且，
当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，
，故 C错误；
对恒成立，
即对恒成立，
设函数，显然单调递增，
则原不等式等价于，
所以对恒成立，
即对恒成立，
设，，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以时，取得极小值，也是最小值，，
，即，故D正确．
故选ABD．
17.【答案】
【解析】对于，当时，，故A正确；
对于，当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增，，
且当时，；
当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增，，
则的大致图像如图：
所以，函数的极小值为和，故B错误
对于，若，且，
则，两边取对数可得，
设，，
则，且，
不妨设，，
易得，
所以在上单调递增，
则，则，即，
又，则，
又，，
易得当时，单调递增，
所以，所以，故C正确；
对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根，
关于的方程有两个不相等的实数根，
关于的方程有一个非零的实数根，
函数与图像有一个公共点，且，
由图像易知或或，
从而的取值集合为，故D错误．
故选AC．
18.【答案】．
【解析】，令，则，切点代入直线得．
19.【答案】
【解析】设，
则故函数在上单调递增，
所以，
故．
设，
则在上单调递减，
所以，
则，
所以．
故的取值范围是．
故答案为．
20.【答案】
【解析】定义，
即为点，之间的距离，
若点，在曲线上，
则点所在曲线为关于对称的曲线上，
由的最小值为，
可得曲线与其关于对称的曲线上的点的最短距离为，
则由对称性可得曲线上的点到直线的最小距离为，
令，则，
令，解得，
此时切点为，
则，解得或，
由图易知直线须在曲线上方，即，即，
故实数的值为：．
故答案为：．
21.【解析】因为，所以，
所以，解得，
所以；
因为，所以，
则在点处的切线的斜率为．
所以在点处的切线方程为，
令，得，令，得，
所以，
易知，函数为偶函数，
不妨设，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，的取得最小值，最小值为．
22.【解析】函数定义域为，
因为 ，所以 ．
由 ，
得曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
根据已知条件该处切线方程，
则 ，解得 ，
故，
．
若 ，则当 时， ，当 时， ；
若 ，则当 时， ，
当 时， ；
若 ，则 在 上恒成立；
若 ，则当 时， ，当 时， ．
综上所述，
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
23. 【解析】：当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为
所以纸盒的侧面积，其中
令，得， 所以当时，，可知在区间上单调递增，
当时，，可知在区间上都单调递减，
的最大值为，
所以当时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米．
纸盒的体积，其中，，且
因为，
当且仅当以时取等号， 所以，
记，， 则，
令，得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
由上表可知，的极大值是，也是最大值．
所以当，且时，纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．
24.【解析】证明：设 ，则 ．
当 时， ：当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因此， ，即 ．
证明：由泰勒公式知 ，
于是 ，
由得
所以
即 ．
解： ，则
由基本不等式知， ，当且仅当 时等号成立．
所以当 时， ，所以 在 上单调递增．
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因此， 是 的极小值点．
下面证明：当 时， 不是 的极小值点．
当 时， ，
又因为 是 上的偶函数，且 在 上单调递增这是因为当 时，令，
所以当 时， ．
因此， 在 上单调递减．
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
因此， 是 的极大值点，不是 的极小值点．
综上，实数 的取值范围是 ．
25.【解析】函数的定义域是
由已知得，．
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
当时，当时，，单调递增
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
当时，
由知，函数在单调递增且
令
，，
令，从而
所以恒成立，
设，
证明：由知：时
即
故在时恒成立
所以
．
相加得：．
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