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1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的平行
探究点一 空间向量与平行关系
探究点二 利用空间向量证明平行关系
◆
◆
◆
◆
课前预习
课中探究
备课素材
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
【学习目标】
1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与
平面、平面与平面的平行.
2.能分析和解决一些立体几何中有关平行的问题，体会向量方法
与综合几何方法的共性和差异，体会直线的方向向量和平面的法向
量的作用，感悟向量是研究几何问题的有效工具.
知识点 用空间向量描述空间线面的平行关系
设直线，的方向向量分别为，，平面 ， 的法向量分别
为， ，则
平行 关系 对应线面 图形 满足条件
线线 平行 ________________________________________________________
平行 关系 对应线面 图形 满足条件
线面 平行 ______________________________________________________
面面 平行 _______________________________________________________
0
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( )
√
[解析] 若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量
的方向相同或相反.
（2）若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直
线与平面平行.( )
√
[解析] 由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与
平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.
（3）若两条不同直线,的方向向量分别为 ,
,则 .( )
√
[解析] 因为,所以 .
（4）若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.( )
√
[解析] 若两个平面平行，则这两个平面的法向量一定平行.
探究点一 空间向量与平行关系
例1（1）［2025·深圳高二期中］已知直线 的一个方向向量为
，平面 的一个法向量为，则直线 与平
面 的位置关系是( )
A.与 相交 B.
C. D. 或
[解析] 因为，所以 ，
则 或 .故选D.
√
（2）［2025·辽宁点石联盟高二期中］已知平面 的一个法向量为
，平面 的一个法向量为，若 ，
则 ( )
A. B.1 C.2 D.
[解析] 若 ，则，所以，解得 ,
，故 .故选A.
√
（3）［2025·北京通州区高二期中］已知向量 ，
分别是直线，的一个方向向量，若 ，则
___.
6
[解析] 因为，所以，故存在实数 使得 ，则
解得 所以 .
变式 ［2025·大庆一中高二月考］ 已知空间中两条不同的直线， ，
两个不同的平面 ， ，则下列说法中正确的是( )
A.若直线的一个方向向量为，直线 的一个方向向量
为，则
B.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为
，则
C.若平面 ， 的一个法向量分别为， ，
则
D.若平面 经过三个点，， ，向量
是平面 的一个法向量，则
√
[解析] 对于A，易知向量与向量 不平行，
可得与 不平行，故A错误；
对于B，易知，所以 或 ，
故B错误；
对于C，易知两平面的法向量， 不平行，所
以 与 不平行，故C错误；
对于D， ,，则
解得 所以 ，故D正确.故选D.
探究点二 利用空间向量证明平行关系
例2 ［2025·大连滨城高中联盟高二月考］如图，
在四面体中， 平面,, 是
的中点，是的中点，点在棱 上，且
.请建立适当的空间直角坐标系，
证明：平面 .
证明：方法一：以为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意得，
, , , ，
设，因为，所以 ，
即，即, , ，
所以，所以 .
又因为平面的一个法向量为，所以 ，所以
，又因为 平面，所以平面 .
方法二：取的中点，连接，因为为 的中点，所以，
所以 平面，过作，交于 ，
以为原点，,,所在直线分别为轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则， , .
设点的坐标为.因为 ，所以，
所以 .
因为为的中点，所以，又为 的中点，
所以 ，所以 .
又平面的一个法向量为，故，
所以 ，又 平面 ，所以平面 .
变式 如图所示，四边形为矩形， 平面
，，，，分别是，， 的
中点．求证：
（1）平面 ；
证明：如图所示，以为原点，以，， 所在直
线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，
设,,则， ，
，，，
因为，，分别是， ， 的中点，
所以，， ，
所以，易知平面 的一个法向量为 ，
所以，即 .
又 平面，所以平面 .
（2）平面平面 .
证明：因为 ，
所以，所以 ，
又 平面 ，所以平面 .
又，， 平面 ，
所以平面平面 .
［素养小结］
证明线、面平行问题的方法：
（1）用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某
一向量是共线向量且直线不在平面内；②证明直线的方向向量可以
用平面内两个不共线向量表示,且直线不在平面内；③证明直线的方
向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
（2）利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
拓展 ［2025·佛山南海中学高二月考］ 如图，
在四棱锥中， 平面 ，
，， ，
.在棱上是否存在一点，使得
平面？若存在，求 的值；若不存在，请
说明理由.
解：如图，在棱上取点，使 ，
连接，,由 平面， 平面,
得，又， ，
则 .
又，则 ，故 .
又,则，即 ,
又,则四边形 为矩形.
又因为 平面 ，所以,,两两垂直，
以为原点，， ，所在直线分别为，， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,, , , .
设, ,
则, .
设平面的法向量为，又,
，则即令 ，则 .
,若平面 ，则 ，
即，则 ，解得，此时 ，
故在棱上存在一点，使得平面 ，此时 .
空间平行关系的向量表示
（1）线线平行
设直线,的方向向量分别为, ,则
，使得, ,
.
（2）线面平行
设直线的方向向量为，平面 的法向量为，
,则 .
（3）面面平行
设平面 , 的法向量分别为, ,则
，使得, ,
.
空间平行关系的解题策略
几何法 向量法
线 线 平 行
线 面 平 行
几何法 向量法
面 面 平 行
续表
例1 已知空间中两个有一条公共边的正方形与正方形 ,
设,分别是,的中点,给出如下结论:; 平面
;;, 为异面直线.其中所有正确结论的序号为
________.
①②③
[解析] 如图所示,设,, ,则
且.
连接，则为 的中点，可得
,则
,故 ，故①正确.
,故, 又 平面， 平面
，所以平面 ,故②③正确,④不正确.
例2 ［2025·绵阳高二期中］如图，在棱长为2的正方体
中，，分别为棱， 的中点.求证：
平面 .
证明：以为原点，，， 所在直线分别为，
， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
由题意得，, ，，
，， ，
.
设平面的法向量为 ，
则即
令，得,， .
，
，又 平面 ,平面 .
例3 如图，在平面内，四边形 是边长为2的正方形，四边形
和四边形都是正方形．将两个正方形分别沿, 折
起，使与重合于点，设直线过点且垂直于正方形 所
在的平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面 同侧，
设 .
当时，在线段上是否存在点，使
平面平面 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
解：以为原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立
空间直角坐标系，则，，，，， ，
假设存在满足题意的点 ，
设,
则 ，
解得，，，即 ，
所以 .
设平面的法向量为， ，
，，
，即
解得
令，则，所以 .
由平面平面，得平面 ，
所以，即，可得 ，
所以在线段上存在点，使平面平面 ，此时 .
练习册
1.已知直线的一个方向向量为,直线 的一个方向向量
为,若,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,,, .
√
2.［2025·北京通州区高二期中］已知直线的一个方向向量与平面
的一个法向量分别为， ，则( )
A. B.
C. 或 D.， 相交但不垂直
[解析] 因为，所以 ，
所以 或 故选C.
√
3.［2025·贵州九师联盟高二联考］若两互相平行的平面 ， 的法
向量分别为，，则实数 的值为( )
A. B.4 C. D.2
[解析] 因为 ，所以平面 ， 的法向量， 共线，所以存在
实数 ，使，即，则
所以 故选A.
√
4.在正方体中，与直线和都垂直， 不
过点，则直线与 的位置关系是( )
A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交
√
[解析] 设正方体 的棱长为1，以为原点，
,,所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系，
如图，则，，， ，，，
所以 ,．
设 ，则可得
又，所以，
所以 ,所以 ．故选B.
5.［2025·达州高二期中］已知平面 的法向量为 .若
，直线平面 ，则直线 的方向向量可以是( )
A. B.
C. D.
[解析] 直线平面 ，设的方向向量为,则 ，即
.对于A, ，不满足题意；
对于B, ，不满足题意；
对于C, ，不满足题意；
对于D, ，满足题意.故选D.
√
6.（多选题）［2025·朔州怀仁一中高二月考］ 若平面 ， 平行，
则下列可以是这两个平面的法向量的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
√
√
[解析] 对于A， ，则两个法向量平行，故A正确；
对于B，不存在实数 使得 ，则两个法向量不平行，故B错误；
对于C，，则两个法向量平行，故C正确；
对于D， ，则两个法向量平行，故D正确.故选 .
7.已知直线,的方向向量分别为和 ，
若，则 ____.
[解析] 因为，所以，即 ，
所以解得
8.如图，在四棱台中，底面 是边长为2的正
方形， 平面，，，为 的中点，
则与平面 的位置关系为______.
平行
[解析] 因为底面 是边长为2的正方形，
平面，所以，， 两两垂直.
以为原点，,, 所在直线分别为轴、轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接.
在四棱台 中，
，
为的中点，故, , ,,
则, ,所以，即，
又 平面， 平面，故平面 .
9.（13分）在直四棱柱中，底面 为等腰梯
形，，，，，是棱 的中点.
试用向量的方法证明：平面平面 .
证明：因为底面为等腰梯形，， ，
，是棱的中点，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以，所以 为正三角形，
所以 .
取的中点，连接，则，所以 .
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系 ，
如图，则，， ，
，， ，
所以，， ，
，所以，，所以， .
因为， 平面， 平面
，所以平面 .
因为， 平面， 平面 ，
所以平面 .
又，, 平面 ，
所以平面平面 .
10.若平面 的一个法向量为， ，
，且平面 与平面 不重合，则( )
A.平面平面
B.平面 平面
C.平面 与平面 相交但不垂直
D.以上均有可能
√
[解析] 设平面的法向量为 ,则
取，则，，即，则，
又平面 与平面不重合，所以平面平面 .故选A.
11.（多选题） 如图，在正方体
中，，，， 均是所在
棱的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B.平面
C.平面平面
D.
√
√
√
[解析] 依题意，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，
如图所示,不妨设正方体的棱长为2，
则 , ,,,,
, ,,所以 ,
，所以 ，
即，故，故A正确；
, ，设平面的法向量为
，则即
令 ，则,，所以，所以
，
即，又 平面 ，所以
平面，故B正确；
, ，设平面 的法向量为
，则 即
令，则 ,，所以 ，所以
，即，所以平面 平面，故C正确；
因为 , ,所以和 不平行，故D错误.故选 .
12.如图，在直三棱柱中，， ，
，.若在棱上存在点，使得平面 ，则
__．
[解析] 因为，， ，所以
，所以 ，则在直三棱柱
中，，，两两垂直，以 为
原点，以，，所在直线分别为轴、
轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，， ，
设，则，
，.
设平面的法向量为 ，则
即 令，则，
若平面 ，则，所以.
由在 上得，即 ，
由①②可得，，即为的中点，故 ．
13.［2025·承德高二期中］如图，在棱长为3的正方
体中，点在 上，且
，点在上，且 ，若平面
上存在一点，平面上存在一点 ，
使得平面平面，则一个满足条件的点
的坐标为______________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为平面平面， 平面，
所以平面.由题知 ，
,
，所以 ，，
设，平面 的法向量为，
则即 令，则，
又 ，所以
，即 .令，则，故点 .
14.（15分）在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形，
， 平面，，， ，
，，且是的中点．求证：平面 ．
证明：方法一：如图①,取的中点 ，
连接，.在中，是 的中点，
是的中点，, ，
又,， 且，
四边形为平行四边形，则 ，
又 平面， 平面，平面 ．
方法二：以为原点，分别以，， 所在直线为轴、轴、 轴，
建立如图②所示的空间直角坐标系 ．
，,, ，
,，，
，，，，
， .
设平面的法向量是 ,则取，得
,3, ．又， ，
又 平面，平面
15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为
矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，
在阳马中， 平面，底面 是正
方形，与交于点，，分别为， 的中点，
点满足，， ，若
平面，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为 平面，， 平面 ，
所以，，又底面 是正方形，所以
，则，，两两垂直.
以为原点， ，，所在直线分别为，， 轴
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，所以，.
设平面 的法向量为，
则 令，得.
设 ，则，
因为平面，所以 ，
即，
解得，故 ，所以 .故选B.
16.（15分）如图，在正三棱柱 中，
,,是的中点，在 上，且
，点在 上，且
.是否存在实数 ，使得
解：假设存在实数 ,使得.如图，取的中点，连接 ，
可得，又在正三棱柱中，平面 平面
,平面 平面, 平面，所以
平面 .
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
以为原点，，,的方向分别为轴、 轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，, ,
,,连接,则 ,
, .
因为 ,
所以 .
若
,即
方程组无解，故不存在实数 ,使得 .
快速核答案（导学案）
课前预习 知识点 ,,,0,,
【诊断分析】（1）√（2）√（3）√（4）√
课中探究 例1.（1）D （2）A （3）6 变式.D
例2.证明略 变式.证明略 拓展.存在，.
快速核答案（练习册）
1.B 2.C 3.A 4.B 5.D 6.ACD 7. 8.平行
9.证明略 10.A 11.ABC 12. 13.（答案不唯一）14.证明略
15.B 16.不存在第2课时　空间中直线、平面的平行
1.已知直线l1的一个方向向量为v1=(1,2,3),直线l2的一个方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[2025·北京通州区高二期中] 已知直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量分别为a=(1,0,-1),u=(2,-3,2),则 (　 )
A.l∥α
B.l⊥α
C.l∥α或l α
D.l,α相交但不垂直
3.[2025·贵州九师联盟高二联考] 若两互相平行的平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,-2),b=(2,m,4),则实数m的值为 (　 )
A.-4 B.4
C.-2 D.2
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,PQ不过点B,则直线PQ与BD1的位置关系是 (　 )
A.异面
B.平行
C.垂直不相交
D.垂直且相交
5.[2025·达州高二期中] 已知平面α的法向量为m=(t,1,t+1).若 t∈R,直线l∥平面α,则直线l的方向向量可以是 (　 )
A.n1=(1,-1,1) B.n2=(-1,1,-1)
C.n3=(-1,1,1) D.n4=(1,1,-1)
6.(多选题)[2025·朔州怀仁一中高二月考] 若平面α,β平行,则下列可以是这两个平面的法向量的是 (　 )
A.n1=(1,2,0),n2=(2,4,0)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,0,1),n2=(-2,0,-2)
D.n1=(0,1,0),n2=(0,-1,0)
7.已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k=　　　　.
8.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,DD1⊥平面ABCD,AB=2A1B1,DD1=1,P为AB的中点,则D1P与平面BCC1B1的位置关系为　　　　.
9.(13分)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.试用向量的方法证明:平面AA1D1D∥平面FCC1.
10.若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1),=(1,0,-2),=(1,1,1),且平面α与平面ABC不重合,则 (　 )
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α与平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
11.(多选题) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,
则下列说法正确的是 (　 )
A.B1G∥DM
B.B1G∥平面A1EF
C.平面BDM∥平面A1EF
D.B1G∥A1F
12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.若在棱AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则=　　　　.
13.[2025·承德高二期中] 如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在BD上,且BE=BD,点F在CB1上,且CF=CB1,若平面ADD1A1上存在一点G,平面ABCD上存在一点K,使得平面B1GK∥平面DEF,则一个满足条件的点G的坐标为　　　　.
14.(15分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=,EF=1,BC=,且M是BD的中点.求证:EM∥平面ADF.
15.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,E,F分别为PD,PB的中点,点G满足=λ(0<λ<1),PA=4,AB=2,若OG∥平面CEF,则λ= (　 )
A. B.
C. D.
16.(15分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=3,M是AB的中点,N在AA1上,且AN=2NA1,点P在B1N上,且=λ(0≤λ≤1).是否存在实数λ,使得MP∥BC1 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.第2课时　空间中直线、平面的平行
【课前预习】
知识点
u1∥u2　λu2　u1⊥n1　0　n1∥n2　λn2
诊断分析
(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
[解析] (1)若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量的方向相同或相反.
(2)由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.
(3)因为b=-2a,所以l1∥l2.
(4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)D　(2)A　(3)6　[解析] (1)因为a·n=(2,-3,1)·(3,1,-3)=6-3-3=0,所以a⊥n,则l α或l∥α.故选D.
(2)若α∥β,则m∥n,所以==(b≠0),解得a=2,b=-,故a+2b=2-3=-1.故选A.
(3)因为l1∥l2,所以a∥b,故存在实数λ使得b=λa,则解得
所以x+y=6.
变式　D　[解析] 对于A,易知向量a=(1,-1,2)与向量b=(-2,2,4)不平行,可得l与m不平行,故A错误;对于B,易知a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,所以l α或l∥α,故B错误;对于C,易知两平面的法向量n1=(0,1,3),n2=(1,0,2)不平行,所以α与β不平行,故C错误;对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),则解得所以u+t=,故D正确.故选D.
探究点二
例2　证明:方法一:以D为原点,DA所在直线为z轴,BD所在直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设BD=2a,由题意得,B(0,-2a,0),A(0,0,2),M(0,0,1),P,
设C(x0,y0,0),因为AQ=3QC,所以=,
即(xQ,yQ,zQ-2)=(x0,y0,-2),即xQ=x0,yQ=y0,zQ=,
所以Q,所以=.
又因为平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以·n=0,所以⊥n,
又因为PQ 平面BCD,所以PQ∥平面BCD.
方法二:取BD的中点O,连接OP,因为P为BM的中点,
所以OP∥MD,所以OP⊥平面BCD,过O作OE⊥BD,交BC于E,
以O为原点,OE,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设BD=2a,则D(0,a,0),A(0,a,2),B(0,-a,0).
设点C的坐标为(x0,y0,0).因为AQ=3QC,所以=,所以Q.
因为M为AD的中点,所以M(0,a,1),又P为BM的中点,所以P,
所以=.
又平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),故·n=0,所以⊥n,
又PQ 平面BCD,
所以PQ∥平面BCD.
变式　证明:(1)如图所示,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
设AB=b,PA=AD=d,则A(0,0,0),B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),C(b,d,0),因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,
所以M,N,Q,所以=,易知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),
所以·m=0,即⊥m.
又MN 平面PAD,所以MN∥平面PAD.
(2)因为=(0,-d,0),所以·m=0,所以⊥m,
又QN 平面PAD,
所以QN∥平面PAD.
又MN∩QN=N,MN,QN 平面QMN,所以平面QMN∥平面PAD.
拓展　解:如图,在棱BC上取点F,使FC=2,连接AC,AF,由PA⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,得PA⊥AC,又PA=2,PC=2,
则AC==2.
又AD=CD=2,则AD2+DC2=8=AC2,故CD⊥AD.
又CD⊥BC,则AD∥BC,即AD∥FC,又AD=FC=2,则四边形ADCF为矩形.又因为PA⊥平面ABCD,
所以PA,AF,AD两两垂直,以A为原点,AF,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,2),C(2,2,0),A(0,0,0),B(2,-1,0),D(0,2,0).
设=λ=λ(2,2,-2)=(2λ,2λ,-2λ),λ∈[0,1],则G(2λ,2λ,-2λ+2),λ∈[0,1].
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),又=(0,0,2),=(2,-1,0),
则即令x=1,则m=(1,2,0).
=(2λ,2λ-2,-2λ+2),若DG∥平面PAB,则⊥m,
即·m=0, 则1×2λ+2(2λ-2)=0,解得λ=,此时=,
故在棱PC上存在一点G,使得DG∥平面PAB,此时=2.第2课时　空间中直线、平面的平行
1.B　[解析] ∵l1∥l2,∴v1∥v2,∴==,∴λ=2.
2.C　[解析] 因为a·u=1×2+0×(-3)+(-1)×2=0,所以a⊥u,所以l∥α或l α故选C.
3.A　[解析] 因为α∥β,所以平面α,β的法向量a,b共线,所以存在实数λ,使b=λa,即(2,m,4)=(-λ,2λ,-2λ),则所以故选A.
4.B　[解析] 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则D(0,0,0),A1(1,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),所以=(1,0,1),=(-1,1,0).设=(a,b,c),则可得=(a,a,-a). 又=(-1,-1,1),所以-a=,所以∥,所以PQ∥BD1.故选B.
5.D　[解析] 直线l∥平面α,设l的方向向量为n=(x,y,z),则m⊥n,即m·n=0.对于A,m·n1=t-1+t+1=2t,不满足题意;对于B,m·n2=-t+1-t-1=-2t,不满足题意;对于C,m·n3=-t+1+t+1=2,不满足题意;对于D,m·n4=t+1-t-1=0,满足题意.故选D.
6.ACD　[解析] 对于A,n1=n2,则两个法向量平行,故A正确;对于B,不存在实数λ使得n1=λn2,则两个法向量不平行,故B错误;对于C,n1=-n2,则两个法向量平行,故C正确;对于D,n1=-n2,则两个法向量平行,故D正确.故选ACD.
7.-2　[解析] 因为a∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,所以解得
8.平行　[解析] 因为底面ABCD是边长为2的正方形,DD1⊥平面ABCD,所以DD1,DA,DC两两垂直.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接BC1.在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2A1B1=2,DD1=1,P为AB的中点,故D1(0,0,1),B(2,2,0),C1(0,1,1),P(2,1,0),则=(2,1,-1),=(-2,-1,1),所以=-,即D1P∥BC1,又D1P 平面BCC1B1,BC1 平面BCC1B1,故D1P∥平面BCC1B1.
9.证明:因为底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以AF=CD=2,所以四边形AFCD为平行四边形,
所以AD=CF=BF=BC,所以△BCF为正三角形,
所以∠BAD=∠ABC=60°.
取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD.
以D为原点,DM所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,如图,
则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),
所以=(0,0,2),=(,-1,0),=(,-1,0),=(0,0,2),
所以∥,∥,所以DD1∥CC1,DA∥CF.
因为DD1∥CC1,CC1 平面FCC1,DD1 平面FCC1,
所以DD1∥平面FCC1.
因为DA∥CF,CF 平面FCC1,DA 平面FCC1,所以DA∥平面FCC1.
又DD1∩DA=D,DD1,DA 平面AA1D1D,所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
10.A　[解析] 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z),则
取z=1,则x=2,y=-3,即m=(2,-3,1),则n=m,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α∥平面ABC.故选A.
11.ABC　[解析] 依题意,以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),G(0,1,0),M(2,1,2),E(2,1,0),F(1,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),所以=(-2,-1,-2),=(2,1,2),所以=-,即∥,故B1G∥DM,故A正确;=(0,1,-2),=(-1,0,-2),设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=-2,y=2,所以n=(-2,2,1),所以n·=(-2)×(-2)+(-1)×2+(-2)×1=0,即n⊥,又B1G 平面A1EF,所以B1G∥平面A1EF,故B正确;=(2,1,2),=(2,2,0),设平面BDM的法向量为m=(x1,y1,z1),则即令x1=2,则y1=-2,z1=-1,所以m=(2,-2,-1),所以n=-m,即n∥m,所以平面BDM∥平面A1EF,故C正确;因为=(-2,-1,-2),=(-1,0,-2),所以B1G和A1F不平行,故D错误.故选ABC.
12.　[解析] 因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+ BC2=AB2,所以AC⊥BC,则在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA,CB,CC1两两垂直,以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),C1(0,0,4),设D(x,y,0)(0≤x≤3,0≤y≤4),则=(x,y,0),=(0,4,4),=(-3,0,4).设平面CDB1的法向量为m=(a,b,c),则即
令b=-x,则m=(y,-x,x),若AC1∥平面CDB1,则·m=0,所以-3y+4x=0①.由D在AB上得=,即4x+3y=12②,由①②可得x=,y=2,即D为AB的中点,故=.
13.(答案不唯一)　[解析] 因为平面B1GK∥平面DEF,B1G 平面B1GK,所以B1G∥平面DEF.由题知D(0,0,0),E(2,2,0),F(1,3,1),B1(3,3,3),所以=(2,2,0),=(1,3,1),设G(a,0,b),平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,2),又=(a-3,-3,b-3),所以n·=a-3+3+2(b-3)=a+2b-6=0,即a+2b=6.令a=3,则b=,故点G.
14.证明:方法一:如图①,取AD的中点N,连接MN,NF.在△DAB中,M是BD的中点,N是AD的中点,∴MN∥AB,MN=AB,又EF∥AB,EF=AB,∴MN∥EF且MN=EF,∴四边形MNFE为平行四边形,则EM∥FN,
又FN 平面ADF,EM 平面ADF,∴EM∥平面ADF.
方法二:以B为原点,分别以BD,BA,BE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图②所示的空间直角坐标系Bxyz.
∵AB=2,EB=,EF=1,BC=,
∴BD==3,∴D(3,0,0),A(0,2,0),E(0,0,),F(0,1,),M,∴=,=(3,-2,0),=(0,-1,).
设平面ADF的法向量是n=(x,y,z),
则取y=3,得n=(2,3,).
又·n=3-3=0,∴n⊥,
又EM 平面ADF,∴EM∥平面ADF.
15.B　[解析] 因为PA⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又底面ABCD是正方形,所以AB⊥AD,则PA,AB,AD两两垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),C(2,2,0),E(0,1,2),F(1,0,2),所以=(1,-1,0),=(2,1,-2).设平面CEF的法向量为m=(x,y,z),则
令x=2,得m=(2,2,3).设G(0,0,a)(016.解:假设存在实数λ,使得MP∥BC1.如图,取BC的中点O,连接AO,可得AO⊥BC,又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO 平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.
以O为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(2,0,0),B1(2,3,0),M(1,0,),N(0,2,2),C1(-2,3,0),连接MB1,则=(-4,3,0),=(-2,-1,2),=(1,3,-).
因为=λ(0≤λ≤1),所以=+=+λ=(1-2λ,3-λ,-+2λ).
若MP∥BC1,则∥,则存在实数t,使得=t,即
方程组无解,故不存在实数λ,使得MP∥BC1.第2课时　空间中直线、平面的平行
【学习目标】
　　1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行.
　　2.能分析和解决一些立体几何中有关平行的问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具.
◆ 知识点　用空间向量描述空间线面的平行关系
设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则
平行关系 对应线面 图形 满足条件
线线平行 l1与l2 l1∥l2 　　　 λ∈R,使得u1=　　　　　
(续表)
平行关系 对应线面 图形 满足条件
线面平行 l1与α (l1 α) l1∥α 　　　 u1·n1=　　　
面面平行 α与β α∥β 　　　　 λ∈R,使得n1=　　　
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反. (　 )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. (　 )
(3)若两条不同直线l1,l2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l1∥l2. (　 )
(4)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行. (　 )
◆ 探究点一　空间向量与平行关系
例1 (1)[2025·深圳高二期中] 已知直线l的一个方向向量为a=(2,-3,1),平面α的一个法向量为n=(3,1,-3),则直线l与平面α的位置关系是 (　 )　
A.l与α相交 B.l⊥α
C.l∥α D.l α或l∥α
(2)[2025·辽宁点石联盟高二期中] 已知平面α的一个法向量为m=(2a,3,-2),平面β的一个法向量为n=(-2,b,1),若α∥β,则a+2b=(　 )
A.-1 B.1 C.2 D.
(3)[2025·北京通州区高二期中] 已知向量a=(1,-2,4),b=(2,4x,y+1)分别是直线l1,l2的一个方向向量,若l1∥l2,则x+y=　　　　.
变式 [2025·大庆一中高二月考] 已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(-2,2,4),则l∥m
B.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α
C.若平面α,β的一个法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=
◆ 探究点二　利用空间向量证明平行关系
例2 [2025·大连滨城高中联盟高二月考] 如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在棱AC上,且AQ=3QC.请建立适当的空间直角坐标系,证明:PQ∥平面BCD.
变式 如图所示,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:
(1)MN∥平面PAD;
(2)平面QMN∥平面PAD.
[素养小结]
证明线、面平行问题的方法:
(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示,且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
拓展 [2025·佛山南海中学高二月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2,CD⊥BC.在棱PC上是否存在一点G,使得DG∥平面PAB 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

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