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第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【知识点1】公式的直接应用——给角求值/化简 2
【知识点2】给值求值——已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值 3
【知识点3】三角恒等式的证明 4
【知识点4】与其他知识点的综合应用（如三角函数性质、解三角形、向量等） 5
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
常用结论
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
(4)tan αtan β＝1－＝－1..
【知识点1】公式的直接应用——给角求值/化简
步骤1：分析所求角是否可表示为已知特殊角的和或差．
步骤2：选择对应公式展开，注意符号对应（余弦公式符号与正弦公式符号不同）．
步骤3：代入特殊角的三角函数值计算，化简结果．
注意事项：
熟记特殊角（）的三角函数值，避免符号错误．
角的组合可能需逆向思考，如，
例1：
【例1】（2024秋 福建期末）　　
A． B． C． D．
【例2】（2025春 盐城月考）　　
A．1 B． C． D．2
【例3】（2025 琼海模拟）　　
A． B． C． D．
【例4】（2024秋 海伦市期末）　　
A． B．0 C． D．
【例5】（2025春 仓山区月考）的值等于　　
A． B． C． D．1
【知识点2】给值求值——已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值
1.确定目标角与已知角的关系：
将目标角表示为已知角的和或差（如求，若已知等）．
2.计算所需中间量：
利用同角三角函数基本关系（，）求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响（如时，为负）．
3.代入和差公式计算：
严格遵循公式结构，避免展开时符号混淆
【例6】（2025 十堰模拟）已知，，则　　
A．1 B．2 C． D．
【例7】（2025 瑶海区模拟）已知，为锐角，，则的值为　　
A． B． C． D．
【例8】（2025 鼓楼区模拟）已知，，则　　
A． B． C． D．
【例9】（2025 河北模拟）若，则　　
A． B． C． D．
【例10】（2025 江苏模拟）已知，则　　
A．5 B． C． D．
【知识点3】三角恒等式的证明
1.从左边到右边（或反之）：
利用和差公式展开左边，通过化简、合并同类项推导至右边．
例：证明，直接由正切和角公式正向推导．
2.两边向中间靠拢：
若左右两边结构差异较大，分别化简两边至相同形式（如都化为正弦和余弦的表达式）．
3.“1”的灵活替换：
如，用于构造正切和差公式（如）．
注意事项：
证明时避免跳步，每一步变形需有公式支撑，尤其注意分母不为零的条件（如正切公式中）
例1：
【例11】（2024秋 西湖区期末）已知，为锐角，．
（1）求证：；
（2）的值．
【例12】（2025春 青羊区月考）（1）证明：．
（2）化简并求值．
【例13】（2023春 松江区期中）（1）已知，求的值；
（2）证明恒等式：．
【例14】（2024秋 荣县期中）已知．
（1）求证：；
（2）若，求．
【例15】（2024春 烟台期末）（1）化简：；
（2）证明：．
【知识点4】与其他知识点的综合应用（如三角函数性质、解三角形、向量等）
1.与三角函数性质结合：
求的周期或最值时，先利用和差公式化简为单一三角函数，再分析性质．
2.与解三角形结合：
在中，利用，将角转化为和差关系（如），再用和差公式展开结合正弦定理、余弦定理解题．
3.与向量结合：
若向量，，则，利用数量积公式结合和差公式求解夹角．
例1：
【例16】（2025 会宁县三模）函数的最小值和最小正周期分别为　　
A． B． C． D．
【例17】（2025 江苏一模）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【例18】（2025 雨花区模拟）已知向量，，，，，．
（1）求函数的单调递增区间和对称中心；
（2）在锐角△中，内角，，的对边分别为，，，若，（A），求的取值范围．
【例19】（2025春 船山区期中）已知向量．
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值．
【例20】（2025 江西模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，△的面积为，求角的大小．第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【知识点1】公式的直接应用——给角求值/化简 2
【知识点2】给值求值——已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值 4
【知识点3】三角恒等式的证明 7
【知识点4】与其他知识点的综合应用（如三角函数性质、解三角形、向量等） 11
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
常用结论
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
(4)tan αtan β＝1－＝－1..
【知识点1】公式的直接应用——给角求值/化简
步骤1：分析所求角是否可表示为已知特殊角的和或差．
步骤2：选择对应公式展开，注意符号对应（余弦公式符号与正弦公式符号不同）．
步骤3：代入特殊角的三角函数值计算，化简结果．
注意事项：
熟记特殊角（）的三角函数值，避免符号错误．
角的组合可能需逆向思考，如，
例1：
【例1】（2024秋 福建期末）　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【例2】（2025春 盐城月考）　　
A．1 B． C． D．2
【答案】
【分析】由已知结合和差角公式及诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【例3】（2025 琼海模拟）　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解．
【解答】解：原式
．
故选：．
【例4】（2024秋 海伦市期末）　　
A． B．0 C． D．
【答案】
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案．
【解答】解：因为，，
所以．
故选：．
【例5】（2025春 仓山区月考）的值等于　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【知识点2】给值求值——已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值
1.确定目标角与已知角的关系：
将目标角表示为已知角的和或差（如求，若已知等）．
2.计算所需中间量：
利用同角三角函数基本关系（，）求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响（如时，为负）．
3.代入和差公式计算：
严格遵循公式结构，避免展开时符号混淆
【例6】（2025 十堰模拟）已知，，则　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为，
又，
所以，
则，
故，，即，，
所以．
故选：．
【例7】（2025 瑶海区模拟）已知，为锐角，，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可．
【解答】解：因为为锐角，，
所以，
因为，为锐角，且，
又，
可得，
，
可得．
故选：．
【例8】（2025 鼓楼区模拟）已知，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，，运用两角和与差的正弦公式加以计算，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得，，
所以，
两式消去，可得．
故选：．
【例9】（2025 河北模拟）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，化简得到与的关系，再根据正切函数定义求出的值，从而确定答案．
【解答】解：由题意可得，
可得，
所以．
故选：．
【例10】（2025 江苏模拟）已知，则　　
A．5 B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合和差角公式进行化简，然后结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
即，
所以，
则．
故选：．
【知识点3】三角恒等式的证明
1.从左边到右边（或反之）：
利用和差公式展开左边，通过化简、合并同类项推导至右边．
例：证明，直接由正切和角公式正向推导．
2.两边向中间靠拢：
若左右两边结构差异较大，分别化简两边至相同形式（如都化为正弦和余弦的表达式）．
3.“1”的灵活替换：
如，用于构造正切和差公式（如）．
注意事项：
证明时避免跳步，每一步变形需有公式支撑，尤其注意分母不为零的条件（如正切公式中）
例1：
【例11】（2024秋 西湖区期末）已知，为锐角，．
（1）求证：；
（2）的值．
【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可；
（2）由（1）求出的值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为，为锐角，且，
又，
所以，
所以，即，
即（证毕）；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以．
【例12】（2025春 青羊区月考）（1）证明：．
（2）化简并求值．
【答案】（1）证明见析；
（2）．
【分析】（1）将等式右边按两角和（差公式展开，再由商数关系化简即可；
（2）由商数关系可得，再代入，根据两角差的余弦公式及特殊三角函数值化简即可．
【解答】解：（1）证明：左
右；
（2）因为
．
【例13】（2023春 松江区期中）（1）已知，求的值；
（2）证明恒等式：．
【答案】（1）；（2）证明过程见解析．
【分析】（1）直接把已知等式两边平方求解的值；
（2）把等式左边分子展开两角和的正弦，即可证明结论．
【解答】解：（1）由，两边平方得，
；
证明：（2）．
【例14】（2024秋 荣县期中）已知．
（1）求证：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据题意，结合两角和与差的正弦公式，联立方程，即可求解；
（2）因为，根据题意求得，由（1）和两角差的正切公式，列出方程，即可求解．
【解答】（1）证明：因为，，
联立方程组，可得，
所以．
（2）解：因为，
可得，
又因为，
可得，
因为，
所以，
所以，
即，
解得．
【例15】（2024春 烟台期末）（1）化简：；
（2）证明：．
【分析】（1）原式，化简即可得出．
配角：，将左边分式的分子展开后通分合并，结合两角差的正弦公式，化简整理即得原不等式成立．
【解答】解：（1）原式．
（2）
，
原等式成立．
【知识点4】与其他知识点的综合应用（如三角函数性质、解三角形、向量等）
1.与三角函数性质结合：
求的周期或最值时，先利用和差公式化简为单一三角函数，再分析性质．
2.与解三角形结合：
在中，利用，将角转化为和差关系（如），再用和差公式展开结合正弦定理、余弦定理解题．
3.与向量结合：
若向量，，则，利用数量积公式结合和差公式求解夹角．
例1：
【例16】（2025 会宁县三模）函数的最小值和最小正周期分别为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的平方关系、二倍角的余弦公式化简得，进而根据余弦函数的性质算出答案．
【解答】解：由题意得
，
根据余弦函数的性质，可知的最小正周期，
当时，即时，取最小值．
故选：．
【例17】（2025 江苏一模）若函数在上只有一个零点，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据题意，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，可得，然后利用正弦函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得，
求得，由，
结合上只有一个零点，可得．
故选：．
【例18】（2025 雨花区模拟）已知向量，，，，，．
（1）求函数的单调递增区间和对称中心；
（2）在锐角△中，内角，，的对边分别为，，，若，（A），求的取值范围．
【答案】（1）递增区间是；对称中心为．
（2）．
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算法则，结合三角恒等变换公式化简得，然后根据正弦函数的单调性与对称性列式，进而算出的递增区间和对称中心；
（2）由（A），结合为锐角算出，然后根据正弦定理与三角恒等变换公式化简，得到关于的表达式，运用二次函数的性质，结合的取值范围算出的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，
令，，解得，
可得函数的单调递增区间为，
设，，可得，，
所以函数图象的对称中心为．
（2）由（1）得，即，
结合，可得，故，解得，
所以
，
在锐角△中，，则，解得，，
所以，可得，所以．
综上所述，的取值范围是．
【例19】（2025春 船山区期中）已知向量．
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）由向量共线的坐标运算列式求解值；
（2）由平面向量数量积的坐标运算求得，再由已知可得，，，的值，然后利用两角和的正弦求得，进一步得答案．
【解答】解：（1）因为，
又，则，所以，即，
所以，；
（2）依题意有，
因为，即，且，
所以，则，
因为，即，且，
所以，则．
所以，
所以．
所以．
【例20】（2025 江西模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，△的面积为，求角的大小．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，设，，运用勾股定理列式解出，进而根据余弦定理列式算出的值；
（2）由三角形的面积公式与余弦定理，求出，进而算出，结合求出角的大小．
【解答】解：（1）根据，设，，
由勾股定理得，即，解得，
所以，，，
根据，可知为中点，
所以，可得，
在△中，由余弦定理得；
（2）根据，解得，
因为，且，
所以，代入，化简得，
所以，即，，
结合，可得，即．

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