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第19讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式
【知识点1】已知一个三角函数值求其他三角函数值 2
【知识点2】弦切互化 3
【知识点3】利用同角关系化简、证明 4
【知识点4】利用诱导公式求值 5
【知识点5】利用诱导公式化简 7
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
【知识点1】已知一个三角函数值求其他三角函数值
利用平方关系：同角三角函数基本关系式有，．若已知，要求，则，正负号根据角所在象限确定．
结合商数关系：在求出后，再根据求出的值．如果已知，可通过与联立求解和，将代入，得到，进而求出，再求出
例1：
【例1】（2025 射洪市一模）已知，，则　　
A．3 B． C． D．
【例2】（2025 西安学业考试）已知，且是第三象限的角，则的值等于　　
A． B． C． D．
【例3】（2025春 西城区期中）若为第四象限角，且，则　　
A． B． C． D．
【例4】（2025春 观山湖区月考）已知为第四象限角，且，则　　
A． B． C． D．
【例5】（2024秋 开福区期末）已知，且是第三象限角，则　　
A． B． C． D．
【知识点2】弦切互化
对于齐次分式：形如（）的式子，分子分母同时除以（因为，否则不存在），将其化为，然后将的值代入求解．
对于齐次整式：形如的式子，可将其看作分母为的分式，分子分母同时除以，化为，再代入的值计算
【例6】（2025春 仓山区月考）已知，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【例7】（2025 泰安三模）已知，则　　
A． B． C． D．
【例8】（2024秋 定州市期末）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
【例9】（2024春 杭州期中）若，则　　
A． B． C． D．
【例10】（2023秋 清远期末）已知，则　　
A． B． C． D．
【知识点3】利用同角关系化简、证明
化简方法：一般遵循“切化弦”原则，将正切、余切等转化为正弦和余弦；利用平方关系进行变形，如；通过因式分解、约分等方式简化式子．例如，可对分母因式分解为，然后约分得到．
证明方法：可以从等式的一边出发，通过合理运用同角三角函数基本关系式，逐步变形得到等式的另一边；也可以将等式两边同时进行化简，最终得到相同的结果；还可以采用分析法，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到已知条件或已有的定理、公式等．．
例1：
【例11】（2024秋 黑龙江期末）已知是第二象限角．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【例12】（2025春 北京期中）已知，．
（1）求值；
（2）求的值．
【例13】（2025春 潍坊期中）已知，为第三象限角，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【例14】（2023秋 泗阳县月考）（1）若，化简：；
（2）求证：．
【例15】（2024秋 通榆县期末）（1）化简：（其中为第二象限角）；
（2）求证：．
【知识点4】利用诱导公式求值
确定角的关系：先分析所求角与已知角之间的关系，判断是（）的哪种形式，是奇数倍还是偶数倍，是加还是减．
运用诱导公式：记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇变偶不变”指的是当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦等；当为偶数时，函数名不变．“符号看象限”是把看作锐角，看所在象限，根据原函数在该象限的符号确定诱导后的符号．例如求，，为奇数，函数名变为余弦，把看作锐角，是第三象限角，正弦值为负，所以．
结合已知条件计算：将已知角的三角函数值代入变形后的式子，求出最终结果．
例1：
【例16】（2025春 东湖区月考）若角的终边过点，则　　
A． B． C． D．
【例17】（2025春 贵港月考）若，则　　
A． B． C． D．
【例18】（2025 蚌山区模拟）已知，，则　　
A． B． C． D．
【例19】（2025春 沈阳期中）已知角的终边经过点，则的值为　　
A． B． C． D．
【例20】（2025春 日照期中）已知，那么　　
A． B． C． D．
【知识点5】利用诱导公式化简
统一角度：先利用诱导公式将式子中不同的角度转化为相同或便于计算的角度形式．例如将式子中的，等都转化为关于的简单形式．
化简函数名：根据“奇变偶不变，符号看象限”的原则，对函数名进行化简，将复杂的三角函数组合转化为简单的正弦、余弦函数组合．
合并同类项：对化简后的式子进行整理，合并同类项，约分等操作，得到最简形式．例如化简，利用诱导公式分别化简分子分母，再进行约分得到最简结果．
例1：
【例21】（2025 临澧县模拟）化简的结果为　　
A． B． C． D．
【例22】（2025春 南阳月考）（1）化简：；
（2）已知，求．
【例23】（2025春 甘肃期中）化简：．
【例24】（2025春 阜南县月考）化简下列各式：
（1）；
（2）．
【例25】（2025 沧州二模）如图，点是角终边上一点．
（1）求，，；
（2）化简并求值．第19讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式-
【知识点1】已知一个三角函数值求其他三角函数值 2
【知识点2】弦切互化 4
【知识点3】利用同角关系化简、证明 6
【知识点4】利用诱导公式求值 10
【知识点5】利用诱导公式化简 13
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
(2)sin α＝tan αcos α.
【知识点1】已知一个三角函数值求其他三角函数值
利用平方关系：同角三角函数基本关系式有，．若已知，要求，则，正负号根据角所在象限确定．
结合商数关系：在求出后，再根据求出的值．如果已知，可通过与联立求解和，将代入，得到，进而求出，再求出
例1：
【例1】（2025 射洪市一模）已知，，则　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，，
故，
故．
故选：．
【例2】（2025 西安学业考试）已知，且是第三象限的角，则的值等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据正余弦的同角关系求出，进而可以求解．
【解答】解：因为，且是第三象限的角，
所以，
则，
故选：．
【例3】（2025春 西城区期中）若为第四象限角，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：若为第四象限角，且，
则．
故选：．
【例4】（2025春 观山湖区月考）已知为第四象限角，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的关系求解即可．
【解答】解：因为，
又因为，
因为为第四象限角，所以．
故选：．
【例5】（2024秋 开福区期末）已知，且是第三象限角，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合同角平方关系即可求解．
【解答】解：因为，且是第三象限角，
则．
故选：．
【知识点2】弦切互化
对于齐次分式：形如（）的式子，分子分母同时除以（因为，否则不存在），将其化为，然后将的值代入求解．
对于齐次整式：形如的式子，可将其看作分母为的分式，分子分母同时除以，化为，再代入的值计算
【例6】（2025春 仓山区月考）已知，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简计算即可得解．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
【例7】（2025 泰安三模）已知，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为，
所以，
则．
故选：．
【例8】（2024秋 定州市期末）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，推得，再根据三角函数的同角公式，将弦化切，即可求解．
【解答】解：，
则，解得，
故．
故选：．
【例9】（2024春 杭州期中）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用正余弦的齐次式法即可得解．
【解答】解：因为，
所以
．
故选：．
【例10】（2023秋 清远期末）已知，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】解：，
．
故选：．
【知识点3】利用同角关系化简、证明
化简方法：一般遵循“切化弦”原则，将正切、余切等转化为正弦和余弦；利用平方关系进行变形，如；通过因式分解、约分等方式简化式子．例如，可对分母因式分解为，然后约分得到．
证明方法：可以从等式的一边出发，通过合理运用同角三角函数基本关系式，逐步变形得到等式的另一边；也可以将等式两边同时进行化简，最终得到相同的结果；还可以采用分析法，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到已知条件或已有的定理、公式等．．
例1：
【例11】（2024秋 黑龙江期末）已知是第二象限角．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果；
（2）先根据条件解得，再将待求式化成关于、的齐次分式，并利用弦化切求结果．
【解答】解：（1）因为为第二象限角，所以，
所以
；
（2）由，得，所以，
所以，
．
【例12】（2025春 北京期中）已知，．
（1）求值；
（2）求的值．
【分析】（1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简即可求出所求；
（2）求出与的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1），
，
则；
（2）①，，
，
，
②，
联立①②，解得：，，
则．
【例13】（2025春 潍坊期中）已知，为第三象限角，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）3；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式即可求解；
（2）利用同角三角函数基本关系式即可求解；
（3）利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：由题意，为第三象限角，
（1）；
（2）；
（3）因为，
所以，可得，
又为第三象限角，
所以，
所以．
【例14】（2023秋 泗阳县月考）（1）若，化简：；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由已知，结合平方关系式及角的范围化简计算即可；
（2）利用切化弦公式化简等式的左边得到右边．
【解答】解：（1）原式，
因为，
所以，原式．
（2）证明：．
【例15】（2024秋 通榆县期末）（1）化简：（其中为第二象限角）；
（2）求证：．
【答案】（1），（2）证明见解析
【分析】（1）直接利用同角三角函数的值的应用求出结果；
（2）利用三角函数的关系式的变换和同角三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：（1）化简：（其中为第二象限角）；
证明：（2），
【知识点4】利用诱导公式求值
确定角的关系：先分析所求角与已知角之间的关系，判断是（）的哪种形式，是奇数倍还是偶数倍，是加还是减．
运用诱导公式：记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇变偶不变”指的是当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦等；当为偶数时，函数名不变．“符号看象限”是把看作锐角，看所在象限，根据原函数在该象限的符号确定诱导后的符号．例如求，，为奇数，函数名变为余弦，把看作锐角，是第三象限角，正弦值为负，所以．
结合已知条件计算：将已知角的三角函数值代入变形后的式子，求出最终结果．
例1：
【例16】（2025春 东湖区月考）若角的终边过点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】已知角的终边过点，则可求，再利诱导公式即可．
【解答】解：角的终边过点，则，
则．
故选：．
【例17】（2025春 贵港月考）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由诱导公式化简，即可结合齐次式化简求解．
【解答】解：因为，所以原式
．
故选：．
【例18】（2025 蚌山区模拟）已知，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的余弦公式以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为，，
所以，，
因此，
所以，
所以 ，
所以 ．
故选：．
【例19】（2025春 沈阳期中）已知角的终边经过点，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义可得，的值，再利用诱导公式进行化简求值．
【解答】解：根据题意可知，因为角的终边经过点，
所以，，
所以．
故选：．
【例20】（2025春 日照期中）已知，那么　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解．
【解答】解：因为，
故．
故选：．
【知识点5】利用诱导公式化简
统一角度：先利用诱导公式将式子中不同的角度转化为相同或便于计算的角度形式．例如将式子中的，等都转化为关于的简单形式．
化简函数名：根据“奇变偶不变，符号看象限”的原则，对函数名进行化简，将复杂的三角函数组合转化为简单的正弦、余弦函数组合．
合并同类项：对化简后的式子进行整理，合并同类项，约分等操作，得到最简形式．例如化简，利用诱导公式分别化简分子分母，再进行约分得到最简结果．
例1：
【例21】（2025 临澧县模拟）化简的结果为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合诱导公式及同角基本关系进行化简即可求解．
【解答】解：．
故选：．
【例22】（2025春 南阳月考）（1）化简：；
（2）已知，求．
【答案】（1）1；
（2）．
【分析】（1）利用诱导公式及商数关系化简即可求解；
（2）找到角与角的关系，利用诱导公式即可求解．
【解答】解：（1）．
（2）已知，
则．
【例23】（2025春 甘肃期中）化简：．
【答案】1．
【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可．
【解答】解：原题．
【例24】（2025春 阜南县月考）化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1；
（2）0．
【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式，化简求解即可．
（2）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【例25】（2025 沧州二模）如图，点是角终边上一点．
（1）求，，；
（2）化简并求值．
【答案】（1），，；
（2），．
【分析】（1）运用三角函数定义计算即可；
（2）运用诱导公式化简，结合同角三角函数关系式计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
可得，可得，；
（2）．

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