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第21讲简单的三角恒等变换
【知识点1】公式的直接应用——给角求值 2
【知识点2】给值求值 4
【知识点3】三角函数式的化简 6
【知识点4】三角恒等式的证明 9
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．半角公式(不要求记忆)
sin ＝±；cos ＝±；tan ＝±.符号由所在象限决定．
常用结论
1．二倍角公式的变形公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，
tan2α＝.(降幂公式)
2．半角正切公式的有理化
tan ＝＝.
【知识点1】公式的直接应用——给角求值
识别角是否为二倍或半角关系（如与，与）
直接代入公式计算，注意符号由角的象限确定
例1：
【例1】（2025 郴州模拟）　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解．
【解答】解：由二倍角公式，得原式．
故选：．
【例2】（2025 河北模拟）化简：　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用二倍角公式、同角三角函数关系弦化切，及两角差的正切公式和即可求解．
【解答】解：原式．
故选：．
【例3】（2025 四川模拟）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，运用同角三角函数的关系求出，然后根据二倍角的正弦公式算出答案．
【解答】解：由，可得，
所以．
故选：．
【例4】（2025春 四川期中）计算的结果等于　　
A． B． C． D．
【分析】利用二倍角的余弦公式，特殊角的三角函数的值，求得的结果．
【解答】解：，
故选：．
【例5】（2025春 清远期中）的值是　　
A． B． C．1 D．
【分析】由二倍角的正切公式，可得结论．
【解答】解：由二倍角的正切公式，可得．
故选：．
【知识点2】给值求值
分析已知角与目标角的关系，确定使用二倍角还是半角公式
利用同角三角函数关系（）求出所需三角函数值
注意半角公式中正负号的选择，需根据角的范围确定
【例6】（2025春 广陵区期中）已知角满足，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角函数的倍角公式，即可得到结论．
【解答】解：，
，
故选：．
【例7】（2025春 固镇县月考）若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先应用二倍角余弦及正弦公式化简，再应用弦化切计算求解．
【解答】解：因为，所以．
故选：．
【例8】（2025 河南模拟）已知，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由二倍角余弦公式可得答案．
【解答】解：由，
得，解得．
故选：．
【例9】（2025 仁寿县三模）已知，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换求解即可．
【解答】解：根据题意可知，，
，所以，
所以，
所以．
故选：．
【例10】（2025春 新会区月考）在中，有，试判断的形状 　直角三角形　．
【答案】直角三角形．
【分析】利用诱导公式和倍角公式，将原式化为关于的方程，解出的值，求角即可．
【解答】解：易知，，
，
故原式可化为，即，
结合，故，故为直角△．
故答案为：直角三角形．
【知识点3】三角函数式的化简
降幂化简：利用降幂公式将高次项化为低次项，如
升幂化简：利用升幂公式处理根式，如
切化弦：将正切函数化为正弦和余弦，再结合二倍角公式化简
合并同类项：将相同形式的三角函数合并化简
例1：
【例11】（2023秋 甘肃期末）已知．
（1）求的值；
（2）若是第三象限角，化简，并求值．
【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，利用齐次式法计算即得；
（2）利用诱导公式及同角三角平方关系化简给定式子，再结合（1）利用同角公式求值即得．
【解答】解：（1）由，得，
解得．
（2）由（1）知，，即，
因，于是，
而是第三象限角，即，，因此，
所以．
【例12】（2023秋 城区月考）已知，化简的结果是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可．
【解答】解：因为，
且，则，可得，所以，
又因为，且，可得，
所以．
综上所述：．
故选：．
【例13】化简　2　．
【答案】2．
【分析】根据二倍角，即可得出答案．
【解答】解：，
，
故答案为：2．
【例14】化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式计算即可；
（2）利用二倍角的正弦公式计算即可；
（3）利用同角三角函数的平方关系和二倍角的余弦公式计算即可；
（4）利用同角三角函数的平方关系和二倍角的余弦公式计算即可；
（5）利用二倍角的正切公式计算即可；
（6）利用诱导公式和二倍角的余弦公式，同角三角函数的平方关系计算即可．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式；
（6）因为，所以原式．
【例15】化简下列各式：
（1）已知，则　　；
（2）已知为第三象限角，则　　．
【答案】（1）；（2）0．
【分析】（1）由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可；
（2）由二倍角公式计算即可．
【解答】解：（1），，
；
（2）为第三象限角，
，，
．
故答案为：（1）；（2）0．
【知识点4】三角恒等式的证明
从左到右：利用二倍角和半角公式逐步变形至右边形式
从右到左：将右边式子变形，使其与左边形式一致
两边向中间：分别化简等式两边，最终得到相同结果
常用技巧：利用降幂公式降低次数，利用升幂公式处理根式．
例1：
【例16】（2025春 北关区月考）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域；
（2）利用三角函数公式变形证明即可．
【解答】解：（1）令，得，
即的定义域为；
（2）证明：因为，
，
所以．
【例17】（2023 赣县区开学）求证：．
【分析】从左边入手，利用倍角公式证明．
【解答】证明：左边右边．
【例18】（2023春 鼎湖区期中）证明：．
【答案】证明详见解析．
【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明．
【解答】证明：由二倍角公式，以及可得，，得证．
【例19】（2023春 沙市区月考）求证：．
【答案】详见解答过程．
【分析】由已知结合二倍角公式及同角基本关系对等式左面进行化简即可证明．
【解答】证明：左
右．
【例20】（2023春 卓尼县期中）求证：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二倍角与两角差的三角函数化简即可得证；
（2）由已知结合同角基本关系及和差角公式，二倍角公式进行化简即可得证．
【解答】证明：（1）左边右边，得证；
（2）左边右边，得证．第21讲简单的三角恒等变换
【知识点1】公式的直接应用——给角求值 2
【知识点2】给值求值 3
【知识点3】三角函数式的化简 4
【知识点4】三角恒等式的证明 5
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．半角公式(不要求记忆)
sin ＝±；cos ＝±；tan ＝±.符号由所在象限决定．
常用结论
1．二倍角公式的变形公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，
tan2α＝.(降幂公式)
2．半角正切公式的有理化
tan ＝＝.
【知识点1】公式的直接应用——给角求值
识别角是否为二倍或半角关系（如与，与）
直接代入公式计算，注意符号由角的象限确定
例1：
【例1】（2025 郴州模拟）　　
A． B． C． D．
【例2】（2025 河北模拟）化简：　　
A． B． C． D．
【例3】（2025 四川模拟）若，则　　
A． B． C． D．
【例4】（2025春 四川期中）计算的结果等于　　
A． B． C． D．
【例5】（2025春 清远期中）的值是　　
A． B． C．1 D．
【知识点2】给值求值
分析已知角与目标角的关系，确定使用二倍角还是半角公式
利用同角三角函数关系（）求出所需三角函数值
注意半角公式中正负号的选择，需根据角的范围确定
【例6】（2025春 广陵区期中）已知角满足，则　　
A． B． C． D．
【例7】（2025春 固镇县月考）若，则　　
A． B． C． D．
【例8】（2025 河南模拟）已知，则　　
A． B． C． D．
【例9】（2025 仁寿县三模）已知，，则　　
A． B． C． D．
【例10】（2025春 新会区月考）在中，有，试判断的形状 　 　．
【知识点3】三角函数式的化简
降幂化简：利用降幂公式将高次项化为低次项，如
升幂化简：利用升幂公式处理根式，如
切化弦：将正切函数化为正弦和余弦，再结合二倍角公式化简
合并同类项：将相同形式的三角函数合并化简
例1：
【例11】（2023秋 甘肃期末）已知．
（1）求的值；
（2）若是第三象限角，化简，并求值．
【例12】（2023秋 城区月考）已知，化简的结果是　　
A． B． C． D．
【例13】化简　2　．
【例14】化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【例15】化简下列各式：
（1）已知，则　　；
（2）已知为第三象限角，则　　．
【知识点4】三角恒等式的证明
从左到右：利用二倍角和半角公式逐步变形至右边形式
从右到左：将右边式子变形，使其与左边形式一致
两边向中间：分别化简等式两边，最终得到相同结果
常用技巧：利用降幂公式降低次数，利用升幂公式处理根式．
例1：
【例16】（2025春 北关区月考）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求证：．
【例17】（2023 赣县区开学）求证：．
【例19】（2023春 沙市区月考）求证：．
【例20】（2023春 卓尼县期中）求证：
（1）；
（2）．

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