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第23讲 正弦定理和余弦定理
【知识点1】正弦定理的应用 2
【知识点2】余弦定理的应用 4
【知识点3】判断三角形的形状 6
【知识点4】正、余弦定理与的综合 9
基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
【知识点1】正弦定理的应用
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；．
（3）两边一对角，求第三边．
例1：
【例1】（2025春 济南期中）在三角形中，，，，则　　
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】根据正弦定理求得，再结合可得，进而求出角的大小．
【解答】解：由正弦定理得，可得，所以或，
因为，可得，所以．
故选：．
【例2】（2025 景德镇模拟）△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】运用三角形内角和定理算出，然后根据正弦定理算出边的值，可得答案．
【解答】解：由三角形内角和定理，可得，
根据正弦定理，可得．
故选：．
【例3】（2025春 湖北期中）在△中，已知，，，则　　
A． B． C． D．或
【答案】
【分析】根据正弦定理求出，可得或，然后两种情况分别求边，可得答案．
【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，可得，所以或．
①当时，，
由正弦定理得
；
②当时，，
此时
．
综上所述，或．
故选：．
【例4】（2025春 江门期中）已知，，分别为△三个内角，，所对的边，若，则　　
A． B． C．或 D．
【答案】
【分析】根据所给条件，利用正弦定理算出的值，进而可得角的大小．
【解答】解：在△中，，，，
由正弦定理，可得，
结合为三角形的内角，可知或．
故选：．
【例5】（2025春 青岛期中）△的内角，，的对边分别为，、，若，，，则　　
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】在△中，根据正弦定理建立关于的等式，解之可得答案．
【解答】解：因为在△中，，，，
所以根据正弦定理，得，可得．
故选：．
【知识点2】余弦定理的应用
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
【例6】（2025春 通州区期中）在△中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意利用余弦定理算出的值，可得答案．
【解答】解：在△中，，，，
根据余弦定理得．
故选：．
【例7】（2025春 如皋市月考）在△中，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据整式乘法公式化简题中的等式，可得，然后运用余弦定理求出，进而可得角的大小．
【解答】解：由，可得，整理得，
根据余弦定理得，结合，可得．
故选：．
【例8】（2025春 河南期中）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，运用余弦定理加以计算，即可算出的值．
【解答】解：在△中，，
根据余弦定理得，所以，解得．
故选：．
【例9】（2025春 上饶期中）已知△的内角，，的对边分别为，，，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，运用余弦定理代入计算，可得的值．
【解答】解：由，设，则，，
根据余弦定理得．
故选：．
【例10】（2025春 资中县期中）在△中，，，，则　　
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【分析】由余弦定理，代入数据算出的值，进而可得答案．
【解答】解：根据余弦定理得，解得（舍负）．
故选：．
【知识点3】判断三角形的形状
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形
【例11】（2023春 芜湖期末）已知的三个角，，的对边分别为，，，且满足，则的形状为　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】
【分析】根据正弦定理，可判断三角形形状．
【解答】解：，根据正弦定理，
，，则为等腰三角形．
故选：．
【例12】（2024秋 金牛区月考）在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】
【分析】由正弦定理，结合两角和的正弦公式求解即可．
【解答】解：已知，
由正弦定理可得：，
即，
即，
又，
即，
即，
即的形状是直角三角形．
故选：．
【例13】（2025春 工业园区期中）在中，若，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】
【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解．
【解答】解：由，得，
由余弦定理得，化简得，
当时，即，则为直角三角形；
当时，得，则为等腰三角形；
综上：为等腰或直角三角形，故正确．
故选：．
【例14】（2024春 通化期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为　　
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【答案】
【分析】代入余弦定理即可．
【解答】解：中，若，则，，
，则为直角三角形．
故选：．
【例15】（2025 榆林四模）中，内角、、所对的边为、、，．
（1）若，试确定的形状；
（2）若，，是的平分线，求长．
【答案】（1）等边三角形；
（2）．
【分析】（1）由余弦定理算出，可得，然后根据，利用两角和的正弦公式与诱导公式推导出，进而判断出的形状；
（2）先根据余弦定理算出，可得，所以，结合，在中利用锐角三角函数定义求出的长，可得答案．
【解答】解：（1）因为，所以，结合，得．
在中，，可得，所以，
若，则，整理得，
两边都除以，可得，结合、为三角形的内角，可知．
因此，在中，，可知中为等边三角形；
（2）若，，代入得，解得（舍负）．
所以，可得是以为斜边的直角三角形，
因为是的平分线，，所以，
中，，即，解得．
【知识点4】正、余弦定理与的综合
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
例1：
【例16】（2025 广东模拟）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于　　
A．3 B． C．3或 D．或
【答案】
【分析】依题意，可求得，，利用诱导公式及两角和的正切可求得的值，得到答案．
【解答】解：在中，，
，
，；
又，
由正弦定理得：，又，
，
或（舍去），
，
，
故选：．
【例17】（2024春 梅州月考）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理及三角形面积公式可求，进而可求，，然后结合正弦定理及和差角公式进行化简，再由正切函数的性质即可求解．
【解答】解：因为，所以，
所以，
因为为锐角，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
则．
故选：．
【例18】（2024春 香坊区期中）在锐角三角形中，，，则周长的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求，然后结合正弦定理表示，再结合和差角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：锐角三角形中，，
则，
即，
所以，
所以，
因为，
由正弦定理得，，
所以，，
因为，即
所以
，
因为，
所以，
故，
则周长的取值范围，．
故选：．
【例19】（2025春 信阳期中）在中，角，，的对边分别是，，，且面积为，若，，则角等于　　
A． B． C． D．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合的范围可求，由余弦定理、三角形面积公式可求，结合范围，可求的值，根据三角形内角和定理可求的值．
【解答】解：由正弦定理及，
得，可得：，
可得：，
因为，
所以，
因为，整理得，
又，
所以，
故．
故选：．
【例20】（2024春 德惠市月考）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：在中，，
利用正弦定理：，
所以：；
由于，
故，
由于，
故，
所以：．
故选：．第23讲 正弦定理和余弦定理
【知识点1】正弦定理的应用 2
【知识点2】余弦定理的应用 4
【知识点3】判断三角形的形状 6
【知识点4】正、余弦定理与的综合 9
基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
【知识点1】正弦定理的应用
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；．
（3）两边一对角，求第三边．
例1：
【例1】（2025春 济南期中）在三角形中，，，，则　　
A． B． C．或 D．或
【例2】（2025 景德镇模拟）△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　
A． B． C． D．
【例3】（2025春 湖北期中）在△中，已知，，，则　　
A． B． C． D．或
【例4】（2025春 江门期中）已知，，分别为△三个内角，，所对的边，若，则　　
A． B． C．或 D．
【例5】（2025春 青岛期中）△的内角，，的对边分别为，、，若，，，则　　
A． B．1 C． D．
【知识点2】余弦定理的应用
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
【例6】（2025春 通州区期中）在△中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
【例7】（2025春 如皋市月考）在△中，若，则　　
A． B． C． D．
【例8】（2025春 河南期中）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，则　　
A． B． C． D．
【例9】（2025春 上饶期中）已知△的内角，，的对边分别为，，，且，则　　
A． B． C． D．
【例10】（2025春 资中县期中）在△中，，，，则　　
A．1 B．2 C． D．
【知识点3】判断三角形的形状
（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形
【例11】（2023春 芜湖期末）已知的三个角，，的对边分别为，，，且满足，则的形状为　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【例12】（2024秋 金牛区月考）在中，内角、、的对边分别为，，，且，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【例13】（2025春 工业园区期中）在中，若，则的形状是　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【例14】（2024春 通化期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的形状为　　
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【例15】（2025 榆林四模）中，内角、、所对的边为、、，．
（1）若，试确定的形状；
（2）若，，是的平分线，求长．
【知识点4】正、余弦定理与的综合
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
例1：
【例16】（2025 广东模拟）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于　　
A．3 B． C．3或 D．或
【例17】（2024春 梅州月考）已知是锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，为的面积，，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例18】（2024春 香坊区期中）在锐角三角形中，，，则周长的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例19】（2025春 信阳期中）在中，角，，的对边分别是，，，且面积为，若，，则角等于　　
A． B． C． D．
【例20】（2024春 德惠市月考）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则　　
A． B． C． D．

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