资源简介

第22讲 三角函数的图象与性质
【知识点1】求三角函数的解析式 3
【知识点2】三角函数的图象变换 5
【知识点3】三角函数性质的应用 6
【知识点4】三角函数性质的综合应用（与方程、不等式、参数问题结合） 8
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
【知识点1】求三角函数的解析式
确定A和k：
，；
确定：
由周期，若已知相邻最值点或零点间距为d，则（正弦/余弦）或（正切）；
确定：
代入图象上的特殊点（如最值点、零点），解方程（最大值点）或（零点），注意的范围（通常）
例1：
【例1】（2025 天河区模拟）已知函数的部分图象如图所示，若，，是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则　　
A．1 B． C． D．
【例2】（2025 沅江市模拟）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度（安随时间（秒变化的函数，，的图象如图所示，则当秒时，电流强度是　　
A．安 B．5安 C．安 D．安
【例3】（2024秋 浏阳市期末）函数的部分图象如图所示，若，且，则　　
A． B． C． D．0
【例4】（2025春 信州区月考）已知函数的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 　1　 ．
【例5】（2025春 河南月考）已知函数，，的部分图象如图所示，若，则　　
A． B． C． D．
【知识点2】三角函数的图象变换
平移变换：
左右平移：向左移个单位，向右移个单位（“左加右减”针对x）；
上下平移：向上移|k|个单位，向下移|k|个单位．
伸缩变换：
横向伸缩：周期缩短为原来的，周期伸长为原来的倍；
纵向伸缩：振幅扩大为|A|倍，振幅缩小为|A|倍．
变换顺序注意事项：
先平移后伸缩：平移量为个单位；
先伸缩后平移：平移量为个单位（需确保时再平移）．
【例6】（2025春 浙江月考）已知函数，则函数的图象可以由的图象　　
A．向左平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
【例7】（2025 甘肃模拟）若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则　　
A． B． C．1 D．2
【例8】（2025 城阳区一模）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为　　
A． B． C．0 D．
【例9】（2025 江城区模拟）已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【例10】（2025春 船山区月考）要得到函数的图像，只需要将函数的图像　　
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【知识点3】三角函数性质的应用
定义域：
正切函数需满足，偶次根式需满足被开方数非负（如需）．
值域：
形如，值域为；
复合函数需结合内层函数范围，如，令，转化为二次函数求值域．
周期性：
基本函数周期：周期，周期；
复合函数周期：周期，多个函数相加时，若周期之比为有理数，则最小正周期为各周期的最小公倍数（如周期为）．
奇偶性：
1.先判断定义域是否关于原点对称；
2.正弦型函数：（）时为奇函数，时为偶函数；
3.余弦型函数：时为偶函数，时为奇函数．
单调性：
求的单调区间：
1.若，则增区间由解得，减区间反之；
2.若，则单调性与上述相反（需注意不等式变号）；
3.含时，先利用诱导公式化为再求解．
对称性：
对称轴：正弦/余弦函数在最值点处取得，即（正弦）或（余弦）；
对称中心：正弦/余弦函数在零点处，正切函数在处，求解x即可
例1：
【例11】（2025春 辽宁期末）已知函数在上单调递减，则实数的最大值为　　
A． B． C． D．
【例12】（2025 天津模拟）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是　　
A．的图象关于直线对称
B．在区间上单调递减
C．在区间内没有零点
D．的图象关于点对称
【例13】（2025春 桃城区月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围为　　
A．， B． C． D．
【例14】（2025春 顺庆区期中）已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【例15】（2025 天津），，在，上单调递增，且为它的一条对称轴，，是它的一个对称中心，当，时，的最小值为　　
A． B． C．1 D．0
【知识点4】三角函数性质的综合应用（与方程、不等式、参数问题结合）
方程根的个数：
将方程转化为，画出两函数图象，交点个数即根的个数（如在区间内的解数）．
不等式求解：
参数范围问题：
结合单调性、周期性列不等式，如已知函数在[a,b]上单调，求的范围，需保证区间长度不超过半个周期．
例1：
【例16】（2025春 遵义月考）已知函数，若在区间，内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例17】（2025春 资中县月考）已知函数是偶函数，则的值为　　
A．0 B． C． D．
【例18】（2025春 成都月考）已知，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【例19】（2024秋 湘潭期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【例20】（2025春 湖北期中）设函数，若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．第22讲 三角函数的图象与性质
【知识点1】求三角函数的解析式 3
【知识点2】三角函数的图象变换 7
【知识点3】三角函数性质的应用 11
【知识点4】三角函数性质的综合应用（与方程、不等式、参数问题结合） 15
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
【知识点1】求三角函数的解析式
确定A和k：
，；
确定：
由周期，若已知相邻最值点或零点间距为d，则（正弦/余弦）或（正切）；
确定：
代入图象上的特殊点（如最值点、零点），解方程（最大值点）或（零点），注意的范围（通常）
例1：
【例1】（2025 天河区模拟）已知函数的部分图象如图所示，若，，是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则　　
A．1 B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角函数的性质即可求解．
【解答】解：由的部分图象知，，对应，得，故，
代入，，即，
结合，得，函数为，
设，则，由，即，
设相邻解，，，对应，，故，
下一个解，对应，，
根据，得，解得，代入，即，得．
故选：．
【例2】（2025 沅江市模拟）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化．电流强度（安随时间（秒变化的函数，，的图象如图所示，则当秒时，电流强度是　　
A．安 B．5安 C．安 D．安
【答案】
【分析】根据函数图象求出与，利用三角函数的周期公式求出，然后将点代入表达式，求出的值，可得函数的解析式，最后代入算出答案．
【解答】解：因为电流的最大值为10，最小值为，所以．
由函数的周期，解得，
将点代入函数表达式，可得，
所以，解得．
结合，取得，函数表达式为．
所以当秒时，电流强度安．
故选：．
【例3】（2024秋 浏阳市期末）函数的部分图象如图所示，若，且，则　　
A． B． C． D．0
【答案】
【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值．
【解答】解：观察图象可得，，则，
则，
又，且函数在附近单调递减，
则，解得，
又因为，所以，则，
，可得，
，
、，，，
，，所以，
故．
故选：．
【例4】（2025春 信州区月考）已知函数的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 　1　 ．
【答案】1．
【分析】根据余弦函数的图象与性质，列式算出与，可得，然后根据函数图象的平移变换求出表达式，进而可得的值．
【解答】解：根据时，取得最大值2，时，取得最小值，
可知的周期，即，解得，
由是函数的最大值，根据余弦函数的性质，可得，
结合，取得，可得，
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，可
得的图象，
所以，可得．
故答案为：1．
【例5】（2025春 河南月考）已知函数，，的部分图象如图所示，若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由函数的图象求得函数的解析式，再由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果．
【解答】解：由题图可知可得，
因此，，
当时，，，故，．
由可得，
由函数的最大值为3可得，因此，
由，得，
所以．
故选：．
【知识点2】三角函数的图象变换
平移变换：
左右平移：向左移个单位，向右移个单位（“左加右减”针对x）；
上下平移：向上移|k|个单位，向下移|k|个单位．
伸缩变换：
横向伸缩：周期缩短为原来的，周期伸长为原来的倍；
纵向伸缩：振幅扩大为|A|倍，振幅缩小为|A|倍．
变换顺序注意事项：
先平移后伸缩：平移量为个单位；
先伸缩后平移：平移量为个单位（需确保时再平移）．
【例6】（2025春 浙江月考）已知函数，则函数的图象可以由的图象　　
A．向左平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到 D．向右平移个单位长度得到
【答案】
【分析】根据两角和与差的正弦公式化简得，然后根据函数图象的平移变换求出答案．
【解答】解：由题意得，
所以函数的图象可以由的图象向右平移个单位而得．
故选：．
【例7】（2025 甘肃模拟）若将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则　　
A． B． C．1 D．2
【答案】
【分析】根据三角恒等变换公式化简得，根据函数图象的平移变换求得的解析式，进而求出的值．
【解答】解：由题意得，
将的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
所以，可得．
故选：．
【例8】（2025 城阳区一模）将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为　　
A． B． C．0 D．
【答案】
【分析】直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．
【解答】解：函数的图象沿轴向左平移个单位，
得到，
由于函数为偶函数，
故，
整理得：，，
当时，．
故选：．
【例9】（2025 江城区模拟）已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意利用余弦函数的单调性，周期公式可得，分类讨论可求的值，可得函数解析式，进而利用函数的图象变换以及余弦函数的性质即可求解．
【解答】解：因为函数，
又函数在上单调，
所以函数的最小正周期，
所以，
又，
所以，2，3，
若，则，且，则无解；
若，则 ，且，又，则；
若，则，且，则无解，
综上，，
所以函数的图象向右平移个单位长度后对应解析式为，
因为关于 轴对称，
所以，
所以，，
又，
所以当时，取最小值为．
故选：．
【例10】（2025春 船山区月考）要得到函数的图像，只需要将函数的图像　　
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】
【分析】利用诱导公式和三角函数平移原则即可得到答案．
【解答】解：因为，设函数向左平移个单位长度即可得，
即，
所以，可得．
故选：．
【知识点3】三角函数性质的应用
定义域：
正切函数需满足，偶次根式需满足被开方数非负（如需）．
值域：
形如，值域为；
复合函数需结合内层函数范围，如，令，转化为二次函数求值域．
周期性：
基本函数周期：周期，周期；
复合函数周期：周期，多个函数相加时，若周期之比为有理数，则最小正周期为各周期的最小公倍数（如周期为）．
奇偶性：
1.先判断定义域是否关于原点对称；
2.正弦型函数：（）时为奇函数，时为偶函数；
3.余弦型函数：时为偶函数，时为奇函数．
单调性：
求的单调区间：
1.若，则增区间由解得，减区间反之；
2.若，则单调性与上述相反（需注意不等式变号）；
3.含时，先利用诱导公式化为再求解．
对称性：
对称轴：正弦/余弦函数在最值点处取得，即（正弦）或（余弦）；
对称中心：正弦/余弦函数在零点处，正切函数在处，求解x即可
例1：
【例11】（2025春 辽宁期末）已知函数在上单调递减，则实数的最大值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，以为整体，结合余弦函数的单调性加以分析，可得答案．
【解答】解：当时，，
因为在上单调递减，
所以，解得，即实数的最大值为．
故选：．
【例12】（2025 天津模拟）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是　　
A．的图象关于直线对称
B．在区间上单调递减
C．在区间内没有零点
D．的图象关于点对称
【答案】
【分析】根据函数图象平移的公式，可得，然后根据余弦函数图象的对称性判断出、两项的正误；根据余弦函数的单调性判断出项的正误；求出在区间上的零点，判断出项的正误，进而可得本题答案．
【解答】解：由题意得，
对于，当时，，不是的最值，
结合余弦函数的性质，可知的图象不能关于直线对称，故项错误；
对于，由，解得，
所以的单调递减区间为，，
取，可得在区间上单调递减，所以项正确；
对于，当时，，，可知，故项错误；
对于，当时，，可知不是图象的对称中心，故项错误．
故选：．
【例13】（2025春 桃城区月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围为　　
A．， B． C． D．
【答案】
【分析】根据正切函数的单调性，结合题意建立关于的不等式组，解得，由此算出整数或1，进而求出实数的取值范围．
【解答】解：当时，，，
结合正切函数的单调性可知，解得，
根据，解得，由可知，即，
所以，结合，可知只能为0或1，
当时，可得；当时，可得，所以或．
综上所述，的取值范围是，，．
故选：．
【例14】（2025春 顺庆区期中）已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角函数的性质即可求解．
【解答】解：因为
，
又的最大值为2，则，即，
所以，
求在上的零点，即，
令，则，需包含两个零点，，
即：，解不等式：，即．
故选：．
【例15】（2025 天津），，在，上单调递增，且为它的一条对称轴，，是它的一个对称中心，当，时，的最小值为　　
A． B． C．1 D．0
【答案】
【分析】根据函数的单调性，确定出，再根据单调区间确定周期范围得出，从而可确定，最后结合单调性与对称中心得出，可得出解析式，再根据正弦函数的图像得出最值即可．
【解答】解：因为在，上单调递增，且为它的一条对称轴，
可得，即，，①
因为的图象关于，对称，
所以，，②
且，，
解得，，
因为在，上单调递增，所以，
解得，所以，
根据①②，可得，
因为，所以，
故，
当，时，，，可得的最小值为．
故选：．
【知识点4】三角函数性质的综合应用（与方程、不等式、参数问题结合）
方程根的个数：
将方程转化为，画出两函数图象，交点个数即根的个数（如在区间内的解数）．
不等式求解：
参数范围问题：
结合单调性、周期性列不等式，如已知函数在[a,b]上单调，求的范围，需保证区间长度不超过半个周期．
例1：
【例16】（2025春 遵义月考）已知函数，若在区间，内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】求出的取值范围，结合余弦函数的零点与对称轴方程，对立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：当，时，，
由于函数在区间，上有且仅有3个零点和2条对称轴，
根据余弦函数的图象与性质，
可得，解得，即．
故选：．
【例17】（2025春 资中县月考）已知函数是偶函数，则的值为　　
A．0 B． C． D．
【答案】
【分析】根据余弦函数是偶函数，结合诱导公式列式算出的值，可得答案．
【解答】解：若函数为偶函数，则函数可化为或，
所以，结合，取，解得．
故选：．
【例18】（2025春 成都月考）已知，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，利用余弦函数的性质，结合特殊角的三角函数值求出满足条件的的取值范围，可得答案．
【解答】解：当时，
函数在上单调递增，在上单调递减．
结合，可知当时，．
所以不等式的解集为．
故选：．
【例19】（2024秋 湘潭期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意可得，结合余弦函数的图象与性质，解不等式，可得答案．
【解答】解：根据是三角形的一个内角，可得，
不等式，即，
根据在上为减函数，解不等式，可得．
即不等式的解集为．
故选：．
【例20】（2025春 湖北期中）设函数，若函数在区间上恰有2个零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角恒等变换公式化简得，然后根据在区间上恰有2个零点，利用正弦函数的性质建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，可得．
当时，，，
若在区间上恰有2个零点，则，解得．
故选：．

展开更多......

收起↑