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第26讲 平面向量基本定理及坐标表示
【知识点1】平面向量基本定理的应用 2
【知识点2】平面向量的坐标运算 3
【知识点3】利用向量共线求向量或点的坐标 4
【知识点4】利用向量共线求参数 6
【知识点5】解析法(坐标法)在向量中的应用 7
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
常用结论：
1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
【知识点1】平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
提示： (1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
例1：
【例1】（2025春 南宁期末）在△中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则　　
A．0 B． C． D．1
【例2】（2025春 观山湖区月考）在平行四边形中，是边靠近的四等分点，与交于点，设，，则　　
A． B． C． D．
【例3】（2025 海淀区模拟）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例4】（2025春 杭州期末）在△中，，点平分线段．设，，则　　
A． B． C． D．
【例5】（2025春 安徽期末）如图，是平行四边形的边上一点，且，为的中点，则　　
A． B． C． D．
【知识点2】平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
【例6】（2025春 乌鲁木齐期末）已知向量，，若，则　　
A． B． C． D．10
【例7】（2025春 红桥区月考）若向量，，则的坐标为　　
A． B． C． D．
【例8】（2025春 邵阳期末）已知，，且，则的坐标为　　
A． B． C． D．
【例9】（2025 渝中区模拟）已知向量，若，则的值为　　
A． B．0 C． D．
【例10】（2025春 安徽期末）已知向量，，，，则实数　　
A．2 B．1 C．0 D．
【知识点3】利用向量共线求向量或点的坐标
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
提示：(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例
【例11】（2025春 闵行区月考）已知点，点，且，则点的坐标为 　，　 ．
【例12】（2025春 北流市月考）若，，且是线段的一个三等分点（靠近点，则点的坐标为　　
A． B．
C．或 D．或
【例13】（2025春 安徽月考）已知点，，若点满足，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【例14】（2025春 东昌府区期中）在△中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为　　
A． B． C． D．
【例15】（2025春 宝山区期中）已知，，若，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【知识点4】利用向量共线求参数
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
例1：
【例16】（2025春 宁波期末）已知向量，，若，则的值为　　
A． B． C． D．3
【例17】（2025春 东莞市期中）已知向量．若与平行，则实数的值为　　
A． B． C．1 D．
【例18】（2025春 沙县区期末）已知向量不共线，向量，则　　
A． B． C． D．12
【例19】（2025 仁寿县模拟）已知平面向量．若向量与共线，则实数的值为　　
A．3 B． C． D．
【例20】（2025 东西湖区模拟）在矩形中，，，若，且，则　　
A． B． C． D．5
【知识点5】解析法(坐标法)在向量中的应用
通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．
例1：
【例21】（2025 开封模拟）已知向量，，若，则　　
A． B． C．0 D．1
【例22】（2025春 江西月考）已知，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为　　
A． B． C． D．
【例23】（2025春 广东月考）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为　　
A． B．或
C． D．或
【例24】（2025 开福区模拟）已知向量满足，且，则　　
A． B． C．6 D．9
【例25】（2025 河南模拟）已知两个不相等的向量，，若，则　　
A． B．0 C． D．第26讲 平面向量基本定理及坐标表示
【知识点1】平面向量基本定理的应用 2
【知识点2】平面向量的坐标运算 6
【知识点3】利用向量共线求向量或点的坐标 8
【知识点4】利用向量共线求参数 10
【知识点5】解析法(坐标法)在向量中的应用 13
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
常用结论：
1．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
2．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
【知识点1】平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
提示： (1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
例1：
【例1】（2025春 南宁期末）在△中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则　　
A．0 B． C． D．1
【答案】
【分析】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解．
【解答】解：如图，
因为是边上靠近点的三等分点，是的中点，
所以，
所以，又，
且，不共线，所以．
故选：．
【例2】（2025春 观山湖区月考）在平行四边形中，是边靠近的四等分点，与交于点，设，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得．
【解答】解：如图，
由已知得，，所以，
因为是边靠近的四等分点，且，所以，
则，
所以．
故选：．
【例3】（2025 海淀区模拟）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围．
【解答】解：如图，
在的反向延长线上取点，使得，
过作，分别交和的延长线于点，，
则，
由于，
要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处），
当点在点处时，，
当点在点处时，，
所以的取值范围是．
故选：．
【例4】（2025春 杭州期末）在△中，，点平分线段．设，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形中线的性质算出，然后由化简，进而算出用表示的式子，可得答案．
【解答】解：因为，点是线段的中点，
所以．
故选：．
【例5】（2025春 安徽期末）如图，是平行四边形的边上一点，且，为的中点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算进行求解即可．
【解答】解：由已知，，，
所以．
故选：．
【知识点2】平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
【例6】（2025春 乌鲁木齐期末）已知向量，，若，则　　
A． B． C． D．10
【答案】
【分析】利用向量平行的坐标表示直接求解即可．
【解答】解：向量，，，
则，解得．
故选：．
【例7】（2025春 红桥区月考）若向量，，则的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果．
【解答】解：因为，，
所以，
则．
故选：．
【例8】（2025春 邵阳期末）已知，，且，则的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得，结合向量的坐标运算，即可求解．
【解答】解：因为，所以，解得，
即，
所以．
故选：．
【例9】（2025 渝中区模拟）已知向量，若，则的值为　　
A． B．0 C． D．
【答案】
【分析】根据向量共线的性质求解即可．
【解答】解：因为向量，
故，，，，
又，
所以，解得．
故选：．
【例10】（2025春 安徽期末）已知向量，，，，则实数　　
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：向量，，则，
，，
则，解得．
故选：．
【知识点3】利用向量共线求向量或点的坐标
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
提示：(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
(2)当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例
【例11】（2025春 闵行区月考）已知点，点，且，则点的坐标为 　，　 ．
【答案】，．
【分析】设点，根据平面向量的坐标运算及，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标．
【解答】解：设点，
则，，，
即，解得，
故点的坐标为，．
故答案为：，．
【例12】（2025春 北流市月考）若，，且是线段的一个三等分点（靠近点，则点的坐标为　　
A． B．
C．或 D．或
【答案】
【分析】直接利用分点坐标公式的应用求出结果．
【解答】解：若，，且是线段的一个三等分点（靠近点，
设，由题意知，整理得：，
所以，即点的坐标为．
故选：．
【例13】（2025春 安徽月考）已知点，，若点满足，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：设．，点，，
则，，
；
，解得，即．．
故选：．
【例14】（2025春 东昌府区期中）在△中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合重心坐标公式，即可求解．
【解答】解：是中线上一点，且，
则为三角形的中心，
设，
，，
则，解得．
故选：．
【例15】（2025春 宝山区期中）已知，，若，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合向量的坐标表示即可求解．
【解答】解：设，则，，
若，则，解得，．
故选：
【知识点4】利用向量共线求参数
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
例1：
【例16】（2025春 宁波期末）已知向量，，若，则的值为　　
A． B． C． D．3
【答案】
【分析】结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：向量，，，
则，解得．
故选：．
【例17】（2025春 东莞市期中）已知向量．若与平行，则实数的值为　　
A． B． C．1 D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则，
，
与平行，
则，解得．
故选：．
【例18】（2025春 沙县区期末）已知向量不共线，向量，则　　
A． B． C． D．12
【答案】
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：因为，不共线，
所以，解得．
故选：．
【例19】（2025 仁寿县模拟）已知平面向量．若向量与共线，则实数的值为　　
A．3 B． C． D．
【答案】
【分析】先由向量坐标的运算表示出与，再由向量共线的条件求出结果即可；
【解答】解：由，
可得，
，
因为向量与共线，
所以，
解得．
故选：．
【例20】（2025 东西湖区模拟）在矩形中，，，若，且，则　　
A． B． C． D．5
【答案】
【分析】若，则，然后结合向量数量积的坐标表示即可求解．
【解答】解：矩形中，，，，
若，且，则，
故，
所以．
故选：．
【知识点5】解析法(坐标法)在向量中的应用
通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．
例1：
【例21】（2025 开封模拟）已知向量，，若，则　　
A． B． C．0 D．1
【答案】
【分析】结合向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：向量，，，
则，解得，
故．
故选：．
【例22】（2025春 江西月考）已知，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意有，结合已知向量坐标及线性运算的坐标表示求向量．
【解答】解：因为，，
所以，，
由题意，，则．
故选：．
【例23】（2025春 广东月考）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为　　
A． B．或
C． D．或
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解．
【解答】解：因为为线段的一个三等分点，所以或，
若，则，
所以，
若，则，
所以．
故选：．
【例24】（2025 开福区模拟）已知向量满足，且，则　　
A． B． C．6 D．9
【答案】
【分析】由题设，求得，的坐标，再利用向量平行的坐标关系即可求得．
【解答】解：由，
可得，，
由，
可得，解得．
故选：．
【例25】（2025 河南模拟）已知两个不相等的向量，，若，则　　
A． B．0 C． D．
【答案】
【分析】结合向量平行的性质，即可求解．
【解答】解：向量，，
则，
若，
则，解得或，
当时，相等，不符合题意，
故．
故选：．

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