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第24讲 解三角形
【知识点1】与平面几何有关的问题 3
【知识点2】解三角形的实际应用 4
【知识点3】 三角形中的面积与周长问题 6
【知识点4】转化为三角函数求最值(范围) 7
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列．
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．
【解题方法总结】
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
【知识点1】与平面几何有关的问题
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
例1：
【例1】（2025 山东模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，，，点在边上，且平分，则的长为　　
A． B． C． D．
【例2】（2025 白银区二模）△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，则边上的中线长为　　
A．7 B．3 C． D．
【例3】（2025春 肥西县期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则　　
A． B． C． D．
【例4】（2025 武汉模拟）在△中，内角，，的对边分别是，，，且，，△面积为，为边上一点，是的角平分线，则　　
A． B．1 C． D．
【例5】（2025春 琼山区期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【知识点2】解三角形的实际应用
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解
【例6】（2025春 芜湖期中）芜湖中江塔始建于明万历四十六年年），清代康熙八年年）续建落成．古时候，人们把长江的从九江至京口（镇江）一段，称为中江，而芜湖适得其处，故有中江之名，中江塔也由此得名．中江塔每层每面均有一门，门两边各有一窗，专供夜间置灯，导航来往船只，故中江塔通常被当作芜湖的城市名片和地标建筑．如图，某同学为测量中江塔的高度，在中江塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则中塔的高度约为　　
A． B． C． D．
【例7】（2025春 天水期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位，塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱．上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟．如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基在同一水平面内的两个测量基点与，在点测得重兴塔在北偏东的点处，塔顶的仰角为，在点测得重兴塔在北偏西的处，通过测量两个测量基点与之间的距离约为米，则塔高约为　　米．
A．54 B．30 C． D．
【例8】（2025春 渝中区期中）为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组．今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为，则“使命塔”高　　
A． B． C． D．
【例9】（2025春 山东期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则　　
A． B． C． D．
【例10】（2025 甘肃模拟）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点测得的仰角为，，，（单位：，（点，，在同一水平地面上），则大跳台最高高度　　
A． B． C． D．
【知识点3】 三角形中的面积与周长问题
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到
【例11】（2025春 武汉期末）在△中，，，所对的边分别为，，，已知且，若△面积为4，则　　
A．2 B． C． D．
【例12】（2025春 新城区期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，则△周长的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．
【例13】（2025 宿迁模拟）在△中，三个内角，，所对的边分别为是的三等分点，且．若△的面积时，则的长为　　
A． B． C． D．
【例14】（2025 道里区四模）直线与圆相交于，两点，当△面积最大时，　　
A．0 B． C． D．
【例15】（2025 李沧区模拟）已知△的三个内角，，所对边为，，，若，且，，则△的面积为　　
A． B． C． D．1
【知识点4】转化为三角函数求最值(范围)
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围．
例1：
【例16】（2023 浙江模拟）记锐角内角、、的对边分别为、、．已知．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【例17】（2024 新县模拟）如图，在中，，为外一点，，记，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，的面积为，求的最大值．
【例18】（2024春 乌鲁木齐期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）若边上的高等于1，求；
（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【例19】（2024 衡水模拟）在△中，内角，，所对的边分别是，，，三角形面积为，若为边上一点，满足，，且．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
【例20】（2024春 陕西期末）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）当时，求的取值范围．第24讲 解三角形
【知识点1】与平面几何有关的问题 3
【知识点2】解三角形的实际应用 6
【知识点3】 三角形中的面积与周长问题 11
【知识点4】转化为三角函数求最值(范围) 14
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列．
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．
【解题方法总结】
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
【知识点1】与平面几何有关的问题
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
例1：
【例1】（2025 山东模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，，，点在边上，且平分，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，得到，代入即可求解．
【解答】解：设，，则，解得，
由题意可得，
即，
整理得，
所以．
故选：．
【例2】（2025 白银区二模）△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，则边上的中线长为　　
A．7 B．3 C． D．
【答案】
【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得到答案．
【解答】解：已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，
则，
解得，
设的中点为，
则，
则
，
则，
故边上的中线长为．
故选：．
【例3】（2025春 肥西县期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，结合题意算出，将代入化简，进而可得所求答案．
【解答】解：因为平行四边形中，为的中点，所以且，
根据△△，可得，所以，
所以．
故选：．
【例4】（2025 武汉模拟）在△中，内角，，的对边分别是，，，且，，△面积为，为边上一点，是的角平分线，则　　
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据等面积得出，再结合面积公式得出，再利用余弦定理求解即可．
【解答】解：因为△面积为，为边上一点，是的角平分线，
所以，
即，
又因为，
所以，
又，
所以，
即，
所以．
故选：．
【例5】（2025春 琼山区期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】由正弦定理、商数关系得，分解向量得，结合数量积的运算律即可列方程求解．
【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
若是的中点，则，
两边平方可得，即，
若，则，解得或（舍去）．
故选：．
【知识点2】解三角形的实际应用
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解
【例6】（2025春 芜湖期中）芜湖中江塔始建于明万历四十六年年），清代康熙八年年）续建落成．古时候，人们把长江的从九江至京口（镇江）一段，称为中江，而芜湖适得其处，故有中江之名，中江塔也由此得名．中江塔每层每面均有一门，门两边各有一窗，专供夜间置灯，导航来往船只，故中江塔通常被当作芜湖的城市名片和地标建筑．如图，某同学为测量中江塔的高度，在中江塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则中塔的高度约为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据图形，由几何关系结合正弦定理和三角函数关系计算可得．
【解答】解：根据题意可知，地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和，
可得，，在△中，，
在△中，，，所以，
在△中，由正弦定理得，即，
即，解得，
在△中，，，所以．
故选：．
【例7】（2025春 天水期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位，塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱．上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟．如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基在同一水平面内的两个测量基点与，在点测得重兴塔在北偏东的点处，塔顶的仰角为，在点测得重兴塔在北偏西的处，通过测量两个测量基点与之间的距离约为米，则塔高约为　　米．
A．54 B．30 C． D．
【答案】
【分析】根据题意求出，，运用正弦定理算出的长，然后在△中根据锐角三角函数的定义求出长，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，在△中，，，
所以．
由正弦定理得，可得米，
在△中，，可得米．
即塔高约为30米．
故选：．
【例8】（2025春 渝中区期中）为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组．今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为，则“使命塔”高　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先解三角形，得，再解直角，就可以得到．
【解答】解：在中，，，可得，
由正弦定理得：，则，
可得：，
在直角中，，
故选：．
【例9】（2025春 山东期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，在△中利用正弦定理求，在△中利用余弦定理求，然后在△中利用余弦定理求出长，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得，，，，
在△中，，由正弦定理，可得．
由，，可得，所以，
在△中，由余弦定理得，所以．
由，，可得，
在△中，由余弦定理得，
即，所以．
故选：．
【例10】（2025 甘肃模拟）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点测得的仰角为，，，（单位：，（点，，在同一水平地面上），则大跳台最高高度　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】在中，由余弦定理可得的值，在中，由角正切值可得的值．
【解答】解：在中，，，，可得，
由正弦定理，即，
可得，
由题意面，可得，
，
所以，
故选：．
【知识点3】 三角形中的面积与周长问题
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到
【例11】（2025春 武汉期末）在△中，，，所对的边分别为，，，已知且，若△面积为4，则　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】根据半角公式，正弦定理即可求解．
【解答】解：在△中，由，利用半角公式，
可得，交叉相乘并整理，结合，
推导出，由正弦定理，，得，
已知，面积，即，
由余弦定理，代入，，得，
则，将与相除，
得，利用二倍角公式，代入，
得．
故选：．
【例12】（2025春 新城区期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，则△周长的最大值为　　
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】
【分析】根据正弦定理，余弦定理，基本不等式即可求解．
【解答】解：根据题意可知，，根据正弦定理，则，
因为，所以，又，两边约去，得，故，
已知，周长，需最大化，由余弦定理，代入，，得：，
利用基本不等式：，
即，解得，当且仅当时取等，因此，周长最大值为．
故选：．
【例13】（2025 宿迁模拟）在△中，三个内角，，所对的边分别为是的三等分点，且．若△的面积时，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由余弦定理得，由△的面积得，解出，的值，由已知可和，再结合向量的数量积运算可求得．
【解答】解：根据题意可知，在△中，，是的三等分点，
根据余弦定理得，，
根据三角形面积公式，则，得，又，解得，，
，，
，
，．
故选：．
【例14】（2025 道里区四模）直线与圆相交于，两点，当△面积最大时，　　
A．0 B． C． D．
【答案】
【分析】设，根据三角形的面积公式与圆的性质算出，可得△为等腰直角三角形时，最大，由此求出圆心到直线的距离，运用点到直线的距离公式求出的值，可得答案．
【解答】解：圆可化为，圆心为，半径，
设，则，
当且仅当时，取得最大值2，此时点到直线的距离，
所以，解得．
故选：．
【例15】（2025 李沧区模拟）已知△的三个内角，，所对边为，，，若，且，，则△的面积为　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】根据正弦定理化简，结合两角和的正弦公式化简得，可得，所以，根据三角形内角和定理算出，然后运用正弦定理列式求出，结合三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：根据，结合正弦定理得，
因为在△中，，
所以，整理得，
在△中，，可得，结合，可知，
因为，所以，
由正弦定理得，可得，
所以△的面积．
故选：．
【知识点4】转化为三角函数求最值(范围)
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围．
例1：
【例16】（2023 浙江模拟）记锐角内角、、的对边分别为、、．已知．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到，进而求解；
（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由，故，
故，
，
故，因是锐角三角形，故，
故，故，所以．
（2）由正弦定理可知，
故，
．
．
由是锐角三角形，可知，
故，
故．
【例17】（2024 新县模拟）如图，在中，，为外一点，，记，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）．
（2）最大值为．
【分析】（1）由余弦定理可得，求解即可；
（2）由已知可得，计算可求的最大值．
【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
解得；
（2）由题意知，，
所以，
由（1）有，
所以，，
所以
，
所以当时，取得最大值，最大值为．
【例18】（2024春 乌鲁木齐期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）若边上的高等于1，求；
（2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先由正弦定理求出，注意到，由此可以求出，最终由余弦定理即可求解．
（2）先由正弦定理以及恒等变换表示，结合已知条件可以求出的范围，且注意到，由此即可得解．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理，可得，
则，
又，
所以，
因为，
所以，解得，
又由余弦定理，解得，
所以；
（2）由正弦定理有，且由（1）可知，
所以，
又因为锐角，
所以，解得，
所以，
所以，
所以，
所以面积的取值范围是．
【例19】（2024 衡水模拟）在△中，内角，，所对的边分别是，，，三角形面积为，若为边上一点，满足，，且．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
【分析】（1）利用三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求的值；
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可求，，进而利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为，
所以，即，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
可得；
（2）在△中，因为，，
所以，
由正弦定理得，
所以，
在△中，由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，整理得，
因为，
所以，，
所以，，可得的取值范围是，．
【例20】（2024春 陕西期末）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）当时，求的取值范围．
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可；
（2）利用正弦定理将边化角，由三角恒等变化可得，再由正弦型三角函数的值域求解即可．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
由余弦定理，即，
所以，
又为锐角，
所以；
（2）由正弦定理得，
所以，，
则
，
由，可得，
所以，
所以，
所以，即的取值范围为，．

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