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第25讲 平面向量的概念及线性运算
【知识点1】平面向量的有关概念 3
【知识点2】平面向量加、减运算的几何意义 4
【知识点3】平面向量的线性运算 5
【知识点4】判定向量共线、三点共线 7
【知识点5】利用共线向量定理求参数 8
1．向量的有关概念
名称 定义 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或||
零向量 长度为0的向量 用0表示
单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b
相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
说明：零向量的方向是不确定的、任意的．
规定：零向量与任一向量平行．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
常用结论：
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【知识点1】平面向量的有关概念
平面向量有关概念的四个关注点
关注点一 非零向量的平行具有传递性
关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关
关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量
关注点四 是与a同方向的单位向量
例1：
【例1】（2025 山东模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，，，点在边上，且平分，则的长为　　
A． B． C． D．
【例2】（2025 白银区二模）△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，则边上的中线长为　　
A．7 B．3 C． D．
【例3】（2025春 肥西县期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则　　
A． B． C． D．
【例4】（2025 武汉模拟）在△中，内角，，的对边分别是，，，且，，△面积为，为边上一点，是的角平分线，则　　
A． B．1 C． D．
【例5】（2025春 琼山区期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【知识点2】平面向量加、减运算的几何意义
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
2．三种运算法则的要点
(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．
(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算
【例6】（2025春 上城区期末）设是的对角线的交点，为任意一点，则　　
A． B． C． D．
【例7】（2024秋 辽宁期末）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，则　　
A． B． C． D．
【例8】（2025春 诸暨市期中）下列各向量运算的结果与相等的是　　
A． B． C． D．
【例9】（2024春 大通县期末）化简　　
A． B． C． D．
【例10】（2023秋 昌黎县期末）　　．
【知识点3】平面向量的线性运算
平面向量的线性运算的求解策略
【例11】（2025春 深圳月考）如图，在矩形中，，，为上一点，，若，则的值为　　
A． B． C． D．1
【例12】（2024春 丰台区期末）在中，点是边的中点．记，，则　　
A． B． C． D．
【例13】（2024春 福州期末）如图所示，在中，为边上的三等分点，若，，为中点，则　　
A． B． C． D．
【例14】（2024秋 邯郸期中）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则　　
A． B． C． D．
【例15】（2024秋 大连期中）在△中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【知识点4】判定向量共线、三点共线
判定向量共线、三点共线的方法
．
例1：
【例16】（2025春 青白江区期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
【例17】（2025春 邓州市期末）如图，在△中，点，满足，点满足，为的中点，且，，三点共线．
（1）用表示；
（2）求的值．
【例18】（2025春 马鞍山月考）设是不共线的两个向量．
（1）若，证明：，，三点是否共线；
（2）若与共线，求实数的值．
【例19】（2025春 湖北月考）设是不共线的两个向量．
（1）若，求证：，，三点共线；
（2）若与共线，求实数的值．
【例20】（2025春 江北区月考）设，是两个不共线的向量，已知，，．
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值．
【知识点5】利用共线向量定理求参数
一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
例1：
【例21】（2025春 辽宁期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【例22】（2024秋 沈阳期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为　　
A．3 B． C． D．2
【例23】（2025春 南关区月考）已知，是两个不共线的向量，若与是共线向量，则　　
A． B． C． D．
【例24】（2025 天河区模拟）已知向量，不共线，与共线，则实数的值为　　
A． B．2 C．6 D．
【例25】（2025 花山区模拟）设不共线，，若，，三点共线，则实数的值为　　
A． B． C．1 D．2第25讲 平面向量的概念及线性运算
【知识点1】平面向量的有关概念 3
【知识点2】平面向量加、减运算的几何意义 6
【知识点3】平面向量的线性运算 9
【知识点4】判定向量共线、三点共线 12
【知识点5】利用共线向量定理求参数 16
1．向量的有关概念
名称 定义 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或||
零向量 长度为0的向量 用0表示
单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b
相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
说明：零向量的方向是不确定的、任意的．
规定：零向量与任一向量平行．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
常用结论：
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【知识点1】平面向量的有关概念
平面向量有关概念的四个关注点
关注点一 非零向量的平行具有传递性
关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关
关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量
关注点四 是与a同方向的单位向量
例1：
【例1】（2025 山东模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，，，点在边上，且平分，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，得到，代入即可求解．
【解答】解：设，，则，解得，
由题意可得，
即，
整理得，
所以．
故选：．
【例2】（2025 白银区二模）△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，则边上的中线长为　　
A．7 B．3 C． D．
【答案】
【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得到答案．
【解答】解：已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，
则，
解得，
设的中点为，
则，
则
，
则，
故边上的中线长为．
故选：．
【例3】（2025春 肥西县期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，结合题意算出，将代入化简，进而可得所求答案．
【解答】解：因为平行四边形中，为的中点，所以且，
根据△△，可得，所以，
所以．
故选：．
【例4】（2025 武汉模拟）在△中，内角，，的对边分别是，，，且，，△面积为，为边上一点，是的角平分线，则　　
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据等面积得出，再结合面积公式得出，再利用余弦定理求解即可．
【解答】解：因为△面积为，为边上一点，是的角平分线，
所以，
即，
又因为，
所以，
又，
所以，
即，
所以．
故选：．
【例5】（2025春 琼山区期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】由正弦定理、商数关系得，分解向量得，结合数量积的运算律即可列方程求解．
【解答】解：因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
若是的中点，则，
两边平方可得，即，
若，则，解得或（舍去）．
故选：．
【知识点2】平面向量加、减运算的几何意义
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
2．三种运算法则的要点
(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．
(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算
【例6】（2025春 上城区期末）设是的对角线的交点，为任意一点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】可画出图形，根据向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可得出，然后即可得出正确的选项．
【解答】解：如图，
，
．
故选：．
【例7】（2024秋 辽宁期末）如图，在平行四边形中，为对角线的交点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据向量的运算法则可得结果．
【解答】解：．
故选：．
【例8】（2025春 诸暨市期中）下列各向量运算的结果与相等的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】据向量加、减法的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：如图，以，为邻边作平行四边形，
则根据向量的加、减法运算法则，
可得，
，
，
，
所以与相等．
故选：．
【例9】（2024春 大通县期末）化简　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合向量减法运算法则即可求解．
【解答】解：若化简，
根据向量减法的三角形法则可知，．
故选：．
【例10】（2023秋 昌黎县期末）　　．
【答案】．
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得．
【解答】解：
．
故答案为：．
【知识点3】平面向量的线性运算
平面向量的线性运算的求解策略
【例11】（2025春 深圳月考）如图，在矩形中，，，为上一点，，若，则的值为　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解．
【解答】解：
由，，四边形为矩形，
建立如图所示坐标系，则有：，，，，
因为为上一点，可设，
所以，
因为，所以，即，解得：，所以，
由得：
，解得：，所以．
故选：．
【例12】（2024春 丰台区期末）在中，点是边的中点．记，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算法则，求解即可．
【解答】解：因为是的中点，
所以，
所以．
故选：．
【例13】（2024春 福州期末）如图所示，在中，为边上的三等分点，若，，为中点，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算即可求解．
【解答】解：根据条件：，
．
故选：．
【例14】（2024秋 邯郸期中）如图，梯形的腰的中点为，且，记，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据图形，利用向量的几何运算得到，即可求解．
【解答】解：因为，又，
所以，
又为腰的中点，
所以．
故选：．
【例15】（2024秋 大连期中）在△中，点在边上，．记，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据平面向量的减法法则，可得，，由此代入化简，可得，进而得出正确答案．
【解答】解：．记，，
所以，即．
故选：．
【知识点4】判定向量共线、三点共线
判定向量共线、三点共线的方法
．
例1：
【例16】（2025春 青白江区期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可．
【解答】解：，，
则，故，，三点共线，对；
因为，，故，不一定共线，错；
因为，，所以，不一定共线，错；
因为，，则，不一定共线，错．
故选：．
【例17】（2025春 邓州市期末）如图，在△中，点，满足，点满足，为的中点，且，，三点共线．
（1）用表示；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）结合向量的加法及减法表示即可；
（2）由三点共线的向量形式及已知条件表示，结合（1）及平面向量基本定理即可求解．
【解答】解：在△中，点，满足，
点满足，为的中点，且，，三点共线．
（1）；
（2）由（1）得，
因为，，共线，所以，，，
所以，
．
【例18】（2025春 马鞍山月考）设是不共线的两个向量．
（1）若，证明：，，三点是否共线；
（2）若与共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证；
（2）利用共线向量定理列式计算即得．
【解答】（1）证明：由，
可得，
，
则，
因此向量与共线，且有公共点，
所以，，三点共线；
（2）解：由与共线，
可得存在实数，使得，
即，
又与不共线，
则，解得，
所以实数的值为．
【例19】（2025春 湖北月考）设是不共线的两个向量．
（1）若，求证：，，三点共线；
（2）若与共线，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）或．
【分析】（1）由题可得，再根据向量共线定理结合条件即得证；
（2）根据向量共线定理可得，结合条件与不共线，可列出、方程组求解即可．
【解答】（1）证明：因为，
可得：，
，
又因为与共线，且有公共端点，
所以，，三点共线．
（2）解：因为与共线，所以存在实数，使得，
即．
由与不共线，可知，解得，
所以
即实数的值为或．
【例20】（2025春 江北区月考）设，是两个不共线的向量，已知，，．
（1）求证：，，三点共线；
（2）若，且，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）先根据向量的线性运算，求得，再判断与的关系，即可证明．
（2）根据向量平行的结论，求参数的值．
【解答】解：（1）证明：，，，
由题意可得．
因为，所以．
又与有公共点，所以，，三点共线．
（2）由（1），知，若，
且，可设，
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
【知识点5】利用共线向量定理求参数
一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
例1：
【例21】（2025春 辽宁期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【答案】B
【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出k值．
【解答】解：由，，
得＝，
由A，B，D三点共线，得，
又，不共线，
得，即k＝﹣3．
故选：B．
【例22】（2024秋 沈阳期末）是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为　　
A．3 B． C． D．2
【答案】
【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值．
【解答】解：是平面内不共线两向量，已知，，，
可得，
由，，三点共线，得，又，不共线，
则，所以．
故选：．
【例23】（2025春 南关区月考）已知，是两个不共线的向量，若与是共线向量，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据向量共线的定义可设，结合已知即可求得．
【解答】解：由题意，设，，
又是两个不共线的向量，
故，解得．
故选：．
【例24】（2025 天河区模拟）已知向量，不共线，与共线，则实数的值为　　
A． B．2 C．6 D．
【答案】
【分析】由向量的共线定理，设，比较系数即可求解．
【解答】解：由题意，设，
又向量，不共线，
则有，解得．
故选：．
【例25】（2025 花山区模拟）设不共线，，若，，三点共线，则实数的值为　　
A． B． C．1 D．2
【答案】
【分析】由向量共线定理求解．
【解答】解：由不共线，，
可得：，
又，，三点共线，则共线，而不共线，，
所以，即．
故选：．

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