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第27讲 平面向量的数量积及其应用
【知识点1】平面向量数量积的运算 3
【知识点2】平面向量的模 5
【知识点3】平面向量的夹角 7
【知识点4】平面向量的垂直 10
【知识点5】最值、范围问题 13
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)．
(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时，等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
常用结论：
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b，
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π
【知识点1】平面向量数量积的运算
计算平面向量数量积的主要方法
提示:设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθ＝
例1：
【例1】（2025春 徐州期末）已知＝（5，﹣1），＝（3，1），则|﹣|＝（　　）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据向量的坐标表示和向量的模进行求解即可．
【解答】解：因为＝（5，﹣1），＝（3，1），
所以＝（5﹣3，﹣1﹣1）＝（2，﹣2），
所以||＝＝2．
故选：B．
【例2】（2025 郴州模拟）已知向量，，若，则 　2或4　．
【答案】2或4．
【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案．
【解答】解：向量，，得，
则，解得或4．
故答案为：2或4．
【例3】（2025春 贵港月考）已知向量，，且，则的值为　　
A．5 B． C． D．10
【答案】
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程得，再由向量线性关系的坐标运算及数量积的坐标表示求结果．
【解答】解：向量，，且，
则，则，故，
所以，，
所以．
故选：．
【例4】（2025春 浑南区期中）已知向量，，则　　
A．8 B．9 C．11 D．15
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标运算求解．
【解答】解：由题意，，，，，
则，，．
故选：．
【例5】（2025春 蚌埠期末）设向量与夹角的余弦值为，且，则　　
A． B． C．3 D．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律，结合数列的定义式，可得答案．
【解答】解：由题意，，，
则
．
故选：．
【知识点2】平面向量的模
求平面向量的模的方法
【例6】（2025春 碑林区期中）已知向量，，，，则　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】
【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：向量，，
则，，
，，
则，解得，
故．
故选：．
【例7】（2025春 湖州期末）若向量在向量方向上的投影向量为，则　　
A． B． C．2 D．
【答案】
【分析】由投影向量公式列出等式进行计算即可．
【解答】解：向量在向量方向上的投影向量为，，
所以，
即，解得．
故选：．
【例8】（2025春 让胡路区期中）若单位向量，满足，则　　
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】
【分析】根据题中条件，先求出，再由向量模的计算公式，即可得出结果．
【解答】解：因为单位向量，，满足，
所以，即，
解得，因此．
故选：．
【例9】（2025春 浙江期末）已知向量，满足，则　　
A．2 B． C． D．6
【答案】
【分析】将两边同时平方可得，求得的值即可求解．
【解答】解：，，
，，
，即．
故选：．
【例10】（2025春 建平县期中）已知平面向量，满足，，，若，则　　
A．2 B．4 C． D．
【答案】
【分析】先求出，再利用得出，再代入中即可求解．
【解答】解：因为，所以，
对两边加平方得到，
整理求得，
所以可以求得．
故选：．
【知识点3】平面向量的夹角
求平面向量的夹角的方法
【例11】（2025春 镇江期末）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由向量垂直、数量积的运算律以及定义求得，即可得解．
【解答】解：设向量，的夹角为，则，，
因为，是单位向量，且，
所以，
解得，所以，即夹角为．
故选：．
【例12】（2025 亳州二模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果．
【解答】解：非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，
，解得，
且，
向量与的夹角是．
故选：．
【例13】（2025 龙岩模拟）已知向量，，且在上的投影向量为，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据投影向量的计算公式求出的值，再计算，最后根据向量垂直的判定条件判断与的夹角．
【解答】解：向量，，且在上的投影向量为，
根据向量在上的投影向量为，已知在上的投影向量为，所以．
先计算，根据向量数量积的坐标运算公式，可得，
再计算，根据向量模长公式：可得，那么．
所以所以．
得，所以与的夹角为．
故选：．
【例14】（2025 岳阳二模）已知非零向量，，若，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据求出即可得答案．
【解答】解：令，因为，
所以，
得，
所以与的夹角为．
故选：．
【例15】（2025 揭阳模拟）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，由数量积的计算公式先求出，进而可得，由数量积的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，向量与均为单位向量，，
则有，变形可得，
则，
故，
则与的夹角为．
故选：．
【知识点4】平面向量的垂直
有关平面向量垂直的两类题型
(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
(2)已知两个向量的垂直关系求参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
例1：
【例16】（2025春 吉安县月考）已知向量满足：，则　　
A．1 B．3 C． D．10
【答案】
【分析】根据数量积的运算律，结合模长公式求解即可．
【解答】解：由，可得，
由，得，
所以．
故选：．
【例17】（2025 甘肃模拟）已知向量，，若，则向量在上的投影向量为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求得，再由投影向量的定义求向量在上的投影向量．
【解答】解：因为，所以，
解得，即，
所以向量在上的投影向量为．
故选：．
【例18】（2025春 南昌期末）已知，，，则　　
A． B．4 C．1 D．
【答案】
【分析】根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得，解可得答案．
【解答】解：根据题意，若，则，故．
故选：．
【例19】（2025 白银区二模）已知，，若，则，　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合，求解即可．
【解答】解：已知，，
又，
则，
即，
则，．
故选：．
【例20】（2025 天河区模拟）已知，为单位向量，且，则　　
A． B．2 C． D．4
【答案】
【分析】由得，即，根据求向量的模即可求解．
【解答】解：已知，为单位向量，且，
则，
即，
所以，
因此，
即．
故选：．
【知识点5】最值、范围问题
利用数量积求最值、范围的方法
方法一 用数量积的运算转化为代数问题求最值
方法二 利用向量三角不等式求最值
方法三 利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值
．
例1：
【例21】（2025春 南岸区期末）在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】由得，由向量的加法公式得，再由模长的性质得到最值．
【解答】解：因为，，
所以，
所以，，
所以，即，
，
因为，，
根据向量模长的性质，的最大值为，最小值为，
则的取值范围是，．
故选：．
【例22】（2025春 辽宁期末）已知平面向量、、，，，△BCD的面积为，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】通过平方，求得∠BAC，结合余弦定理求得，再结合面积公式求得点D到BC的距离，进而可求解．
【解答】解：因为||＝||＝1，|+|＝1，
所以＝1，
因为，，
设∠BAC＝θ，0＜θ＜π，则，
所以，即2+2cosθ＝1，解得，所以θ＝．
在△ABC中，由余弦定理得，可得BC＝，
设点A到BC的距离为h1，则h1＝．
已知，设点D到BC的距离为h，
由，解得h＝4，
则的最小值为h﹣h1＝4﹣＝．
故选：C．
【例23】（2025春 四川期末）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平面向量数量积的运算，结合圆的性质及点到直线的距离公式求解．
【解答】解：已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，
不妨设，，
又非零向量与的夹角为，
则，
设，
又向量满足，
则
即，
又到直线的距离为，
则的最小值是．
故选：．
【例24】（2025春 河北区期末）已知是边长为1的正三角形的边上的动点，为的中点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算，结合配方法与二次函数的性质，求解即可．
【解答】解：取的中点，连接，
以为原点，，所在直线分别为，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设，，则，，
所以，
又，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的取值范围是．
故选：．
【例25】（2025春 广州期中）已知平行四边形中，，，，点在线段上（不包含端点），则的取值范围是　　
A．， B． C．， D．
【答案】
【分析】可设，，然后即可得出，，然后进行数量积的运算即可得出，配方即可求出的范围．
【解答】解：如图，设，则，
，，且，，，
，
，
的取值范围为，．
故选：．第27讲 平面向量的数量积及其应用
【知识点1】平面向量数量积的运算 3
【知识点2】平面向量的模 4
【知识点3】平面向量的夹角 5
【知识点4】平面向量的垂直 6
【知识点5】最值、范围问题 7
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)．
(2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))．
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cosθ＝ cosθ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时，等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
常用结论：
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b，
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0；
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π
【知识点1】平面向量数量积的运算
计算平面向量数量积的主要方法
提示:设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθ＝
例1：
【例1】（2025春 徐州期末）已知＝（5，﹣1），＝（3，1），则|﹣|＝（　　）
A．2 B． C．4 D．8
【例2】（2025 郴州模拟）已知向量，，若，则 　2或4　．
【例3】（2025春 贵港月考）已知向量，，且，则的值为　　
A．5 B． C． D．10
【例4】（2025春 浑南区期中）已知向量，，则　　
A．8 B．9 C．11 D．15
【例5】（2025春 蚌埠期末）设向量与夹角的余弦值为，且，则　　
A． B． C．3 D．
【知识点2】平面向量的模
求平面向量的模的方法
【例6】（2025春 碑林区期中）已知向量，，，，则　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【例7】（2025春 湖州期末）若向量在向量方向上的投影向量为，则　　
A． B． C．2 D．
【例8】（2025春 让胡路区期中）若单位向量，满足，则　　
A．1 B． C．1或 D．或
【例9】（2025春 浙江期末）已知向量，满足，则　　
A．2 B． C． D．6
【例10】（2025春 建平县期中）已知平面向量，满足，，，若，则　　
A．2 B．4 C． D．
【知识点3】平面向量的夹角
求平面向量的夹角的方法
【例11】（2025春 镇江期末）已知，是单位向量，若，则向量，的夹角为　　
A． B． C． D．
【例12】（2025 亳州二模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是　　
A． B． C． D．
【例13】（2025 龙岩模拟）已知向量，，且在上的投影向量为，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【例14】（2025 岳阳二模）已知非零向量，，若，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【例15】（2025 揭阳模拟）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【知识点4】平面向量的垂直
有关平面向量垂直的两类题型
(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题
(2)已知两个向量的垂直关系求参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
例1：
【例16】（2025春 吉安县月考）已知向量满足：，则　　
A．1 B．3 C． D．10
【例17】（2025 甘肃模拟）已知向量，，若，则向量在上的投影向量为　　
A． B．
C． D．
【例18】（2025春 南昌期末）已知，，，则　　
A． B．4 C．1 D．
【例19】（2025 白银区二模）已知，，若，则，　　
A． B． C． D．
【例20】（2025 天河区模拟）已知，为单位向量，且，则　　
A． B．2 C． D．4
【知识点5】最值、范围问题
利用数量积求最值、范围的方法
方法一 用数量积的运算转化为代数问题求最值
方法二 利用向量三角不等式求最值
方法三 利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值
．
例1：
【例21】（2025春 南岸区期末）在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【例22】（2025春 辽宁期末）已知平面向量、、，，，△BCD的面积为，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．4
【例23】（2025春 四川期末）已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【例24】（2025春 河北区期末）已知是边长为1的正三角形的边上的动点，为的中点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【例25】（2025春 广州期中）已知平行四边形中，，，，点在线段上（不包含端点），则的取值范围是　　
A．， B． C．， D．

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