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福建省福州市2025-2026学年高三第一次质量检测数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知，则（ ）
A. 5 B. C. D. 1
3. 一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（ ）
A. B. C. 2 D. 18
4. 若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
5. 已知抛物线的焦点为，准线为，直线与交于点.若，则（ ）
A 1 B. 2 C. 4 D. 8
6. 已知函数，则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
7. 在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数满足，则大小关系不可能是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 的展开式中，各二项式系数的和为256，则（ ）
A.
B. 展开式中各项系数的和为
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中的系数为16
10. 已知双曲线的左、右顶点分别为是上异于的一个动点，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的离心率为
B.
C. 当时，
D. 直线与恰有一个公共点
11. 在中，，点为内一点，的延长线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知曲线在处的切线斜率为3，则实数______.
13. 已知两直线与被圆所截得弦长相等，则圆的圆心可以是______，半径可以是______.（写出一组满足条件的结果即可）
14. 已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16. 记内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积.
17. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，点，分别为棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）点为线段上的点，且满足平面.
（i）确定点在上的位置；
（ii）若，求直线与直线所成角的余弦值.
18. 已知函数.
（1）证明：曲线是轴对称图形；
（2）若，求的值；
（3）若恰有4个极值点，求的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，，椭圆长轴长等于，离心率为.
（1）求的方程；
（2）设直线为椭圆短轴上的动点（不落在短轴的两端点），过作轴的垂线交于两点.直线与的另一个交点为，且与交于点；直线与的另一个交点为，且与交于点.
（i）试探究直线是否经过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）当位于轴上方时，求的取值范围.
参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】 ①. ②. （答案不唯一，写出圆心在直线上，半径大于都对）.
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【16题答案】
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【19题答案】

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