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海南省海口实验中学2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的向量，则（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A. 120 B. 60 C. 30 D. 20
5. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A B. C. D.
6. 若直线：与直线：平行，则（ ）
A 4 B. C. 1或 D. 或4
7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：，，）
A. 年 B. 年
C. 年 D. 年
8. 集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（ ）
A. 数列的通项公式为
B.
C. 实数的取值范围是
D. 时，数列中的每一项都不能够被5整除
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在正三棱柱中，D为中点，则（ ）
A. B. 平面
C. D. 平面
10. 已知A，B为随机事件，且，，则下列结论错误的是（ ）
A. 若互斥，则 B. 若相互独立，
C. 若，则 D. 若相互独立，则
11. 已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，恒成立
B. 当时，区间单调递减
C. 当时，在区间上存在唯一极小值点
D. 当时，有2个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
12. 函数在点处的切线方程为_____．
13. 二项式的展开式中含项的系数为________．
14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率________，第次传球后球在丙手里的概率________.
四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．
15. 已知是等差数列的前项和，.数列满足且.
（1）分别求出数列和通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 设函数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：当时，；
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值．
18. 中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社于2024年12月6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下：
男性 女性 合计
居家养老 60 100 160
不居家养老 n 20 40
合计 80 m 200
（1）求m，n；
（2）根据小概率值的独立性检验，是否能认为“居家养老与性别有关”？
（3）已知在被调查男性老人中有6名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这6名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：参考公式：，其中．
独立性检验临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
参考答案
1-8. DDDBA DCD 9. BD 10 CD 11.BC
12.
13.540
14.
15.
16.
17.
18.
19.

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