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24.1.4 圆周角
一．选择题（共8小题）
1．（2025 江口县模拟）如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝76°，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．32° C．36° D．38°
2．（2025 城东区校级三模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠BAC＝52°，则∠BOC等于（　　）
A．52° B．128° C．104° D．114°
3．（2025 方城县三模）小明用破损的量角器按如图方式测量∠B的度数，他让点B落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A，C．若点A，C对应的刻度分别为55°，135°，则∠B的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4．（2025春 沙坪坝区校级月考）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在CD上，连接OP，若∠PCB＝130°，则∠BPO＝（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5．（2025 雨花区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，若∠C＝36°，则∠AOD的度数是（　　）
A．62° B．66° C．72° D．80°
6．（2025 东莞市二模）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．70° B．72° C．80° D．84°
7．（2025 潮阳区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A＝（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
8．（2025 朝阳区校级模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，D是劣弧BC的中点．若∠COD＝40°，则∠A的大小为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
二．填空题（共5小题）
9．（2025 西城区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠BCD＝20°，则∠ABD的度数为 　 　 ．
10．（2025 玉树市模拟）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若，∠AOC＝36°，则∠D的度数是 　 　 ．
11．（2025 营山县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，DC，且，则∠ACD＝　 　 度．
12．（2025 重庆校级模拟）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，且CD⊥AB于点E，连接AC，以AC，AB为边作平行四边形ABFC，连接AF，BC交于点K，则AK＝ 　 　 ．
13．（2025 洛宁县模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，OA⊥BC，若∠ABC＝35°，则∠BCO的度数为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 喀什地区期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
15．（2025 砀山县模拟）如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G，点E是弧AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥AB，EH⊥OC，垂足分别为F、H，连接FH．
（1）求证：∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）若CD＝3，求FH的长．
24.1.4 圆周角
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 江口县模拟）如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝76°，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．32° C．36° D．38°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝76°，
∴∠ACB∠AOB＝38°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2025 城东区校级三模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠BAC＝52°，则∠BOC等于（　　）
A．52° B．128° C．104° D．114°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由圆周角定理得到∠BAC∠BOC，即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠BAC∠BOC，∠BAC＝52°，
∴∠BOC＝104°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠BAC∠BOC．
3．（2025 方城县三模）小明用破损的量角器按如图方式测量∠B的度数，他让点B落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A，C．若点A，C对应的刻度分别为55°，135°，则∠B的度数为（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，可求出∠AOC＝80°，即可得∠ADC＝40°，进一步可求出∠ABC＝140°．
【解答】解：连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，如图，
由条件可知∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，
∴，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．
4．（2025春 沙坪坝区校级月考）如图，AD是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在CD上，连接OP，若∠PCB＝130°，则∠BPO＝（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】D
【分析】先连接OB，OC，OP，得到△AOB、△BOC均是等边三角形，求得∠PCO＝70°，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得∠BOP＝100°，然后根据等边对等角即可求解．
【解答】解：连接OB，OC，OP，如图：
∵AD是半圆O的直径，
∴∠ADO＝180°，
由条件可知∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
由题可得：OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝r，
∴△AOB、△BOC均是等边三角形，
∴∠BCO＝60°，
∵∠PCB＝130°，
∴∠PCO＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°，
∵OC＝OP，
∴∠PCO＝∠CPO＝70°，
∴∠COP＝180°﹣∠PCO﹣∠CPO＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOP＝∠COP+∠BOC＝100°，
∵OB＝OP，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键．
5．（2025 雨花区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，若∠C＝36°，则∠AOD的度数是（　　）
A．62° B．66° C．72° D．80°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由圆周角定理推出∠C∠AOD，即可求出∠AOD的度数．
【解答】解：∵∠C＝36°，∠C∠AOD，
∴∠AOD＝72°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
6．（2025 东莞市二模）如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．70° B．72° C．80° D．84°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOB和∠C所对的弧都是，
∴∠AOB＝2∠C＝2×40°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（2025 潮阳区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A＝（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【考点】圆周角定理．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可知∠A∠BOC，求出∠BOC的度数即可得出答案．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠BOC＝180°﹣2∠OBC＝144°，
由圆周角定理可知：∠A∠BOC＝72°
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，这是解本题的关键．
8．（2025 朝阳区校级模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，D是劣弧BC的中点．若∠COD＝40°，则∠A的大小为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝80°，再根据弧、圆心角关系即可求解．
【解答】解：连接BO，如图：
∵，∠A＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
∵D是劣弧BC的中点．
∴∠COD∠BOC＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 西城区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠BCD＝20°，则∠ABD的度数为 　70°　 ．
【考点】圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆周角定理分别求出∠ADB和∠BAD的度数，再由三角形内角和定理求出∠ABD的度数即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝20°，
∴∠BAD＝∠BCD＝20°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
10．（2025 玉树市模拟）如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若，∠AOC＝36°，则∠D的度数是 　18°　 ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】18°．
【分析】先连接OB，根据等弧所对的圆心角相等得∠BOC＝∠AOC＝36°，再根据圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图所示，连接OB，
由条件可知∠BOC＝∠AOC＝36°，
∴．
故答案为：18°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握该知识点是关键．
11．（2025 营山县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，DC，且，则∠ACD＝　45　 度．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】45．
【分析】连接OD，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝90°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OD，如图，
∵，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵AB为直径，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD∠AOD＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
12．（2025 重庆校级模拟）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，且CD⊥AB于点E，连接AC，以AC，AB为边作平行四边形ABFC，连接AF，BC交于点K，则AK＝ 　　 ．
【考点】圆周角定理；勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】．
【分析】过点A作AM⊥AB于点A，交FC的延长线于点M，连接OB，由勾股定理得，由平行四边形的性质得CF＝AB＝8，CF∥AB，再证明四边形MCEA是矩形得MC＝AE＝4，∠M＝90°，MF＝MC+CF＝12，进而求得，再证明△AEK∽△FCK，利用相似三角形的性质即可得解．
【解答】解：过点A作AM⊥AB于点A，交FC的延长线于点M，连接OB，
由条件可知BE＝AE＝4，OB＝OC＝OD＝5，
∴，
∴CE＝OE+OC＝8，
由条件可知CF＝AB＝8，CF∥AB，
∵AM⊥AB，CD⊥AB，
∴AM∥CD，
∴四边形MCEA是平行四边形，
∵AM⊥AB，
∴四边形MCEA是矩形，
∴MC＝AE＝4，∠M＝90°，MF＝MC+CF＝12，
∴，
∵CF∥AB，
∴△AEK∽△FCK，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，矩形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
13．（2025 洛宁县模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，OA⊥BC，若∠ABC＝35°，则∠BCO的度数为　20°　 ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】20°．
【分析】根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知∠AOC＝2∠ABC＝70°，根据等腰三角形的性质可以求出∠BCO＝20°．
【解答】解：如下图所示，连接OB，
∵OA⊥BC，
根据垂径定理可得：，
由条件可知∠AOC＝2∠ABC＝70°，
∴∠BOC＝2∠AOC＝140°，
又∵OC＝OB，
∴．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 喀什地区期末）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝2，CD＝8，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）根据同角的余角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．
（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠BCD+∠ACE＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵EB＝2，
∴OE＝OB﹣EB＝r﹣2，
∵AB⊥CD，CD＝8，
∴，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：OC2＝OE2+CE2，
即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5．
答：⊙O的半径为5．
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力，关键是根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相解答．
15．（2025 砀山县模拟）如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G，点E是弧AC上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥AB，EH⊥OC，垂足分别为F、H，连接FH．
（1）求证：∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）若CD＝3，求FH的长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）由垂径定理可得CD⊥AB，即∠CGO＝90°，可得∠OCD+∠COG＝90°，再证明∠EFO＝∠EHO＝90°，可得∠AOC+∠FEH＝180°，再证明∠COG＝∠FEH，可证得∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）连接OE，先证得O、F、E、H四点是在以OE为直径的圆上，再由∠CGO＝90°，可得O、C、G三点是在以OC为直径的圆上，再由OE＝OC，可得以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆，再得，可得结论．
【解答】（1）证明：∵直径AB平分非直径弦CD，
∴CD⊥AB，即∠CGO＝90°，
∴∠OCD+∠COG＝90°，
∵EF⊥AB，EH⊥OC，
即∠EFO＝∠EHO＝90°，
∴∠AOC+∠FEH＝180°，
∵∠AOC+∠COG＝180°，
∴∠COG＝∠FEH，
∴∠OCD+∠FEH＝90°；
（2）解：如图，连接OE，
∵∠EFO＝∠EHO＝90°，
即∠EFO+∠EHO＝180°，
∴O、F、E、H四点是在以OE为直径的圆上，
∵∠CGO＝90°，
∴O、C、G三点是在以OC为直径的圆上，
∵OE＝OC，
∴以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆，
∵∠COG＝∠FEH，即，
∴．
【点评】本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆的有关性质解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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