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24.1.3 弧、弦、圆心角
一．选择题（共8小题）
1．（2025 潮阳区三模）如图，OA、OB、OC均为⊙O的半径，连接AB，BC，若AB＝BC，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数为（　　）
A．36° B．72° C．54° D．68°
2．（2025 灞桥区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　）
A．42° B．44° C．46° D．48°
3．（2024秋 银川校级期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
4．（2025 洛南县一模）如图，AB是⊙O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧上一点，连接OC，AC．若2，则∠A的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（2025 龙岗区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是（　　）
A．70° B．60° C．55° D．50°
6．（2024秋 桓台县期末）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，则的度数为（　　）
A．38° B．44° C．48° D．54°
7．（2024秋 岳麓区校级期中）如图所示，AB是圆O的一条弦．且AB＝OA．则弦AB所对的圆心角是（　　）
A．60°或120° B．60° C．30°或150° D．90°
8．（2024 溧阳市模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　）
A．随点C的运动而变化 B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定
二．填空题（共5小题）
9．（2025 长沙模拟）如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为弧MN的中点，点C在弧BN上，以AB，BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E．若MN＝12，AM＝4，则BC的长为　 　 ．
10．（2025 洪泽区一模）在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为　 　 cm．
11．（2024秋 海州区校级月考）直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆心角是　 　 ．
12．（2024秋 定州市期中）已知，如图⊙O的半径OA＝5cm，弦CD＝5cm，则弦CD所对圆心角为　 　 ．
13．（2023秋 秦淮区期末）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 桥西区期末）如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？
15．（2024秋 濉溪县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．
24.1.3 弧、弦、圆心角
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 潮阳区三模）如图，OA、OB、OC均为⊙O的半径，连接AB，BC，若AB＝BC，∠BOC＝36°，则∠AOC的度数为（　　）
A．36° B．72° C．54° D．68°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，由此解答即可．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵∠BOC＝36°，
∴∠AOB＝36°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝72°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握这个定理是解题的关键．
2．（2025 灞桥区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　）
A．42° B．44° C．46° D．48°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOC＝∠BOD＝84°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．
3．（2024秋 银川校级期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【答案】D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出，，AC＝BD，即可得出选项．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD，
∵和无法确定相等，
∴无法判断AD＝BD，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
4．（2025 洛南县一模）如图，AB是⊙O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧上一点，连接OC，AC．若2，则∠A的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠OAB＝50°，根据三角形内角和定理求出∠AOB＝80°，根据弧、圆心角的关系求出∠AOC＝2∠AOB＝160°，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA＝OB，∠B＝50°，
∴∠B＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠B﹣∠OAB＝80°，
∵2，
∴∠AOC＝2∠AOB＝160°，
∴∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠AOC＝120°，
∴∠BAC∠BOC＝60°，
故选：C．
【点评】此题考查了圆心角和弧的关键、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质，熟练运用有关性质定理是解题的关键．
5．（2025 龙岗区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠AOD的度数是（　　）
A．70° B．60° C．55° D．50°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】求出∠AOC的度数，再根据圆心角、弧、弦的关系，求出∠AOD的度数即可．
【解答】解：∵∠COB＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠COB＝140°，
∵，
∴∠AOD∠AOC＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
6．（2024秋 桓台县期末）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，∠BOD＝112°，则的度数为（　　）
A．38° B．44° C．48° D．54°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【答案】B
【分析】由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝112°，由CE∥AB得到∠DCE＝180°﹣∠AOC＝68°，由OC＝OE得到∠OCE＝∠OEC＝68°，即可求出∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝44°，得到的度数．
【解答】解：如图，连接OE，
∵∠BOD＝112°，
∴∠AOC＝112°，∠AOD＝180°﹣112°＝68°，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠AOD＝68°，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC＝68°，
∴∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝44°，
∴的度数为44°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键．
7．（2024秋 岳麓区校级期中）如图所示，AB是圆O的一条弦．且AB＝OA．则弦AB所对的圆心角是（　　）
A．60°或120° B．60° C．30°或150° D．90°
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】判定△AOB是等边三角形，推出∠AOB＝60°，得到AB所对的圆心角是60°．
【解答】解：∵AB＝OA，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴AB所对的圆心角是60°．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，圆心角，关键是判定△AOB是等边三角形．
8．（2024 溧阳市模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　）
A．随点C的运动而变化 B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定
【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP＝∠OCP，所以∠DCP＝∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA＝PB．从而可得出答案．
【解答】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠DCP＝∠OCP，
又∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC，
∴∠DCP＝∠OPC，
∴CD∥OP，
又∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴，
∴PA＝PB．
∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点，
∴当C在⊙O上运动时，点P不动．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 长沙模拟）如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为弧MN的中点，点C在弧BN上，以AB，BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E．若MN＝12，AM＝4，则BC的长为　　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；矩形的性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】连接BM，BN，过点B作BF⊥MN于点F，过点F作FS⊥BC于点S，作FT⊥ABTF于点T，易得四边形BTFS为矩形，有BS＝TF，结合弧、弦、圆心角之间的关系，以及等腰三角形性质得到MF，BF，利用勾股定理得到AB，进而求出TF，最后结合垂径定理求解，即可解题．
【解答】解：连接BM，BN，过点B作BF⊥MN于点F，过点F作FS⊥BC于点S，作FT⊥AB于点T，
由条件可知∠ABC＝90°，
∴四边形BTFS为矩形，有BS＝TF，
∵B为弧MN的中点，
∴．
∴BM＝BN，
由条件可知，即F与圆心O重合，∠MBN＝90°，
∴BF＝6，
∵AM＝4，
∴AF＝MF﹣AM＝2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵FS⊥BC，
∴；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，垂径定理，等腰三角形性质，弧、弦、圆心角之间的关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
10．（2025 洪泽区一模）在⊙O中，弦AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，则⊙O的直径为　4　 cm．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵在⊙O中AB＝2cm，圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2cm，
∴⊙O的直径＝2OA＝4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
11．（2024秋 海州区校级月考）直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆心角是　60°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
【专题】推理能力．
【答案】60°．
【分析】连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵⊙O的直径为10cm，AB＝5cm，
∴OB＝OA＝AB＝5cm，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对的圆心角是60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查圆的基本概念，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
12．（2024秋 定州市期中）已知，如图⊙O的半径OA＝5cm，弦CD＝5cm，则弦CD所对圆心角为　60°　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先连接OC，OD，由⊙O的半径OA＝5cm，弦CD＝5cm，可得△COD是等边三角形，则可求得∠COD的度数．
【解答】解：连接OC，OD，
∵⊙O的半径OC＝OD＝OA＝5cm，弦CD＝5cm，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
即弦CD所对圆心角为60°．
故答案为：60°．
【点评】此题考查了圆心角与弦的关系以及等边三角形的判定与性质．注意证得△COD是等边三角形是关键．
13．（2023秋 秦淮区期末）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 　3　 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】3．
【分析】连接OB，根据圆心角、弦、弧的关系推出AD⊥BC，根据垂径定理求出BEBC，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接OB，
∵D为的中点，直径AD交BC于点E，
∴AD⊥BC，
∴BEBC，
∵AD＝6，
∴OB＝OD＝3，
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，
∴32＝OE2，
∴OE或OE（舍去），
∴DE＝OD﹣OE＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了圆心角、弦、弧的关系及垂径定理，熟记圆心角、弦、弧的关系及垂径定理是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 桥西区期末）如图，AB是⊙O的直径，OD∥AC，与的大小有什么关系？为什么？
【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC，如图，先利用平行线的性质得∠A＝∠BOD，∠C＝∠COD，加上∠C＝∠A，则∠BOD＝∠COD，然后根据圆心角、弧、弦的关系可判断．
【解答】解：．理由如下：
连接OC，如图，
∵OD∥AC，
∴∠A＝∠BOD，∠C＝∠COD，
∵OC＝OA，
∴∠C＝∠A，
∴∠BOD＝∠COD，
∴．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了平行线的性质．
15．（2024秋 濉溪县期末）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以点C为圆心、AC为半径作⊙C，交AB于点D，求的度数．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考．
【解答】解：解法一：（用垂径定理求）
如图，过点C作CE⊥AB于点E，交于点F，
∴，
又∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠FCA＝25°，
∴的度数为25°，
∴的度数为50°；
解法二：（用圆周角求）如图，延长AC交⊙C于点E，连接ED，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠E＝∠B＝25°，
∴的度数为50°；
解法三：（用圆心角求）如图，连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝65°，
∵CA＝CD，
∴∠ADC＝∠A＝65°，
∴∠ACD＝50°，
∴的度数为50°．
【点评】本题可以利用：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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