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2025-2026学年九年级数学上册第一次月考检测卷（1-2章）
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，为 ABC的外接圆，半径，垂足为点E，，则的长为（ ）
A． B． C．10 D．8
4．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（ ）
A． B．7 C．或7 D．或7
5．如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分．）
7．解方程：，求得 ．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
9．圆外一点到圆的最大距离是，到圆的最小距离是，则圆的半径是 ．
10．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ．
11．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为
第11题
12．已知，且有，则的值等于 ．
13．已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ．
14．如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中，，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ．
15．如图，经过原点，并与两坐标轴分别交于，两点，已知的半径为，，则的长为 ．
16．如图，在中，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ．
三、解答题（本题共10小题，共62分．）
17．（6分）解方程：
(1) (2)．
18．（5分）如图，点、和点、分别在以为圆心的两个同心圆上，且．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若、、三点在同一直线上，，，求的度数．
19．（4分）某商店销售一种商品，成本价为每件40元．当售价为每件60元时，每月可售出300件．市场调研发现，售价每降低1元，销量增加20件．若商店希望每月利润达到6000元，求商品的售价应定为多少元？
20．（5分）如图，是的直径，、两点在上，若．
(1)求的度数；
(2)若，，求的半径．
21．（6分）如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长．
22．（6分）法国数学家弗朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．
(1)关于x的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数m的值；
(2)关于x的方程有两个实数根为，若，求实数k的值．
23．（6分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M、的半径为10，求的长．
24．（6分）已知三点在圆上，点在圆内，．
(1)请用“尺规作图”作出圆心的位置（保留作图痕迹）；
(2)求出圆半径的大小．
25．（8分）如图，在中，以斜边为直径作外接圆，分别过点，作的切线并相交于点，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)求证：点是的内心．
26．（10分）已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若斜边长，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长．
(3)已知三个不同的实数a，b，c满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求a，b，c的值．
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：A、该选项的方程含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、该选项有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意；
C、该选项的方程是一元一次方程，故该选项不符合题意；
D、该选项有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【详解】解：∵，
∴，
则，
即，
故选：C
3．D
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴ AOB为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
4．A
【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和，
，
，
，
或，
∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，
当时，，不符合要求，
，
故选：A．
5．B
【详解】解：如图，连接，，，交点为，
由正六边形可得，即，，
设与的距离为，
则，
∵，
∴，
同理可得，
∴空白部分的面积为，
故选：B．
6．B
【详解】解：连接，
∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴
∴,
∴，
∵，
∴
解得（负值已舍去）
∴，
∴
故选：B
二、填空题
7．
【详解】，
解：，
，
或，
解得，
故答案为：．
8．且
【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
由①得：，
，
，
由②得：，
且．
故答案为：且．
9．
【详解】解：设圆的半径为，根据题意，得，
解得．
故答案为：．
10．
【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步，
∴矩形的长为步．
依题意，得：．
故答案为：．
11．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴阴影部分面积；
故答案为：．
12．
【详解】解：当时，不成立，故，
两边同除以后，可得，
∵，即，
可以看作是的两根，
，
故答案为：．
13．或
【详解】解：如图，当弧是劣弧时，连接交于点F，
∵弧弧，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当弧是优弧时，连接并延长交于点，
∵∵弧弧，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：或．
14．
【详解】解：∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
而，
∴为等边三角形，
∴，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，
∴下面圆锥的侧面积．
故答案为：．
15．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴为直径，即点在上，
∵的半径为，，
∴，，
∴，
∴，
即的长为．
故答案为：．
16．
【详解】解：∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上运动，
∵，且是绕点C旋转，
∴点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，
如图，当与圆C相切于点D，且D在内部时，最小，最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
此时，
即的最大值为．
故答案为：
三、解答题
17．（1）解：
或
解得：；
（2）解：
或
解得：，．
18．（1）解：．
理由如下：
，
，
．
在和中，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
．
，，
，
，
，，
．
19．解：设售价降低元，则销量为件，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，每件商品的售价为（元），
当时，每件商品的售价为（元），
答：商品的售价应定为每件55元或60元．
20．（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的半径为5．
21．（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是半圆O的切线．
（2）解：∵，，
∴，，
∵在中，，.
∴，
，
即，
解得．
22．（1）解：设关于x的方程的另一个实数根为n，
∵关于x的方程的两个实数根为2和n，
∴，
∴，
∴方程的另一实数根为1，实数m的值为2；
（2）解：∵关于x的方程有两个实数根为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵关于x的方程有两个实数根为，
∴，
∴，
∴．
23．（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：∵是的直径，且于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（1）解：如图所示，点O为所求：
（2）解：由（1）作图，设线段的中垂线与的延长线交于点，的延长线并交于圆于点，线段的中为，连接，
则，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴圆半径．
25．（1）证明：设和相交于点F，
∵和是的切线，
∴，平分，
∴，
∵，
∴是 ABC的中位线，
∴，即；
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：连接，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵和是的切线，
∴，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵平分，
∴点是的内心．
26．（1）证明：∵，
∴
，
，
无论k为任意实数值方程，总有实数根．
（2）解：∵斜边长，另两边长b，c恰好是方程的两个根，
∴，
∵b、c为直角边，斜边长，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
，
舍去，
∴，
∴ ABC的周长，
（3）解：依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．
设是方程①和方程②的一个相同的实根，则，两方程相减，解得：．
设是方程③和方程④的一个相同的实根，则，两方程相减，∴解得，
∴．
又方程①的两根之积等于1，
∴也是方程①的根，则．
又，
两方程相减，得．
若，则方程①无实根，
∴，
∴．
∴，
∴，
由④得：．
又，
解得：，．

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