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第12章《函数与一次函数》复习题--待定系数法求一次函数的常用方法
【题型1 由坐标求一次函数解析式】
1.在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过，两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P为直线上一动点，，求点P的坐标．
2.已知一次函数的图象经过A（2，4），B（﹣2，0）两点，且与y轴交于点C．求：
(1)一次函数的解析式；
(2)△AOC的面积；
(3)点D（m，0）是x轴上一个动点，过D作x轴的垂线，交直线AB于E，若DE＝6，求m的值．
3.已知一次函数的图象经过A（2，﹣3）、B（﹣1，3）两点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点P（3，﹣5）是否在该函数图象上．
4.已知一次函数的图象过点，．
（1）求此函数的解析式．
（2）求出次函数图象与轴，轴的交点，的坐标．
（3）若直线与相交于点，，与轴围成的的面积为6，求出点的坐标．
【题型2 由面积求一次函数解析式】
1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数图象交于点．
(1)求点的坐标，并求的面积；
(2)若直线与轴交于点，与直线或交于点，且的面积为的面积的2倍，求的值．
2.如图，在直角坐标系中，直线y=kx+4与x轴正半轴交于一点A，与y轴交于点B，已知△OAB的面积为10，

（1）求这条直线的解析式；
（2）若将这条直线沿x轴翻折，求翻折后得到的直线的解析式．
3.已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此直线的函数表达式．
4.一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象由直线y=3x向下平移得到，且过点A(1，2)．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求直线y=kx＋b与x轴的交点B的坐标；
(3)设坐标原点为O，一条直线过点B，且与两条坐标轴围成的三角形的面积是，这条直线与y轴交于点C，求直线AC对应的一次函数的解析式．
【题型3 由几何条件求一次函数解析式】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点为直线上一点 ，直线过点．
(1)求和的值；
(2)在轴上是否存在一点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)直线与轴交于点，点为轴上一点，当的面积为10时，请直接写出点的坐标．
2.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线 交x轴于点B，交y轴于点 A，且．
(1)求直线的解析式；
(2)如图2，点P在线段上（不与A，C重合），连接交于点D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数解析式．
3.如图，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝kx+b相交于点A，直线l1与y轴相交于点B，直线l2与y轴负半轴相交于点C，OB＝2OC，点A的纵坐标为3．
（1）求直线l2的解析式；
（2）将直线l2沿x轴正方向平移，记平移后的直线为l3，若直线l3与直线l1相交于点D，且点D的横坐标为1，求△ACD的面积．
4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点B，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，且这两个函数图象交于点P，．
(1)直接写出C，D两点的坐标，C（____，____），D（_____，_____）；
(2)求四边形的面积．
【题型4 由取值范围求一次函数解析式】
1.若一次函数中x的取值范围为，相应函数值范围为，则 ．
2.一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（ ）
A． B． C． D．
3.的图象上，当时，，则这条直线的函数解析式为 ．
4.已知一次函数，当时，对应的y的取值范围为，则的值为（ ）
A．14 B． C．或21 D．或14
【题型5 由平移变换求一次函数解析式】
1.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
(1)将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　；
(2)直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式；
(3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
2.若将点向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点．则直线的函数解析式为 ．
3.图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点（0，1）和（1，4），平移后这两点分别为（2，1）和（3，4），则平移后直线的解析式为y=3x-5，现将直线y=-3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为 ．
4.如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C．
(1)如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______；
(2)如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标．
【题型6 由轴对称变换求一次函数解析式】
1.一次函数与一次函数（为常数，且）的图像关于直线对称，与的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.已知，直线和关于直线对称，若的解析式为，则的解析式是 （ ）
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，将一次函数的图象关于轴对称，对称后的图象与正比例函数的图象交于点．若点的横坐标为，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
4.开元同学在解决问题“已知两点的坐标为，求直线关于轴的对称直线的解析式”时，解法如下：先是建立平面直角坐标系（如图），标出两点，并利用轴对称性质求出的坐标分别为；然后设直线的解析式为，并将代入中，得方程组解得，最后求得直线的解析式为.则在解题过程中他运用到的数学思想是（ ）
A．数形结合与方程思想 B．分类讨论与方程思想
C．数形结合与整体思想 D．分类讨论与转化思想
【题型7 由旋转变换求一次函数解析式】
1.小杰同学尝试将直线绕原点旋转，下面是他的探究设计，请按照他的探究操作完成以下填空：
①如图，在直角坐标系中，过点和点画出直线；
②画出点A绕原点逆时针旋转后的对应点（ ）；
③过点O和点画出直线，那么直线即为直线绕原点逆时针旋转后的图形，直线的函数解析式为 ．
2.将直线绕着原点旋转得到的直线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3.将直线绕坐标原点按顺时针方向旋转后得到的直线解析式为 ．
4.如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为 ．
参考答案
【题型1 由坐标求一次函数解析式】
1.（1）解：将点和代入得：
，
解得：
∴一次函数解析式为：．
（2）解：当，则；当，则；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点P在直线上，
∴或，
∴，，
∴或．
2.（1）解：设该一次函数的解析式为：y＝kx+b，
将A（2，4），B（﹣2，0）代入该一次函数解析式，得，
解得，
∴该一次函数的解析式为：y＝x+2．
（2）解：如图，连接OA，过点A作AF⊥y轴于点F，

∵一次函数y＝x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
∴AF＝2，OC＝2，
∴S△AOC＝ AF OC＝×2×2＝2．
（3）解：∵DE⊥x轴，D（m，0），
∴E（m，m+2），
∴DE＝|m+2|＝6，
解得m＝﹣8或4．
∴m的值为4或﹣8．
3.（1）解：设所求的一次函数的解析式为y＝kx+b．
由题意得：，
解得，
∴所求的解析式为y＝﹣2x+1．
（2）解：点P（3，﹣5）在这个一次函数的图象上．
∵当x＝3时，y＝﹣2×3+1＝﹣5，
∴点P（3，﹣5）在直线y＝﹣2x+1上．
4.解：（1）设函数的解析式是y=kx+b，
根据题意得： ，
解得： ，
则函数的解析式是：y=x-3；
（2）在y=x-3中，令x=0，解得y=-3；
当y=0时，x=3，
则A（3，0）B（0，-3）；
（3）在y=x-3中，令x=4，解得：y=1，则P的坐标是：（4，1），
设C的坐标是m，则|m-3|×1=6，
解得：m=-9或15．
则C的坐标是：（-9，0）或（15，0）．
【题型2 由面积求一次函数解析式】
1.（1）解方程组，解得：，
点坐标为；
对于，当时，由得：，
点坐标为，，
；
（2）对于，当时，，
点A坐标为．
对于，当时，，
点D坐标为．
，
由题知，
设点的横坐标为，则，
解得：．
当点为直线与直线的交点时，
将代入得：，则，
将代入得；
将代入得：，则，
将代入得；
当点为直线与直线的交点时，
将代入得：，则，
将代入得；
将代入得：，则，
将代入得；
综上，满足条件的的值为或或或．
2.（1）解：当y=0时，kx+4=0，解得x=﹣，则A（﹣，0）
当x=0时，y=kx+4=4，则B（0，4），
因为△OAB的面积为10，
所以×（﹣）×4=10，
解得k=﹣，
所以直线解析式为y=﹣x+4.
（2）解：因为关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，
所以将直线y=﹣x+4沿x轴翻折，翻折后得到的直线的解析式为﹣y=﹣x+4，
即y=x-4．
3.解：当时，，
则直线与y轴的交点坐标为，
根据题意，得，解得或．
当时，，把代入，得，
解得；
当时，，把代入，得，
解得．
所以此直线的函数表达式为或．
4.
解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=3x向下平移得到，
∴k=3，
将点A(1,2)代入y=3x+b，
得3+b=2，解得b= 1，
∴一次函数的解析式为y=3x 1；
(2)在y=3x－1中，当y=0时，
∴点B的坐标为
(3)设直线AC的解析式为y=mx＋n(其中m≠0)，则点C的坐标为(0，n)，根据题意得
∴|n|=3，∴n=±3.
当n=3时，m＋n=2，解得m=－1，
∴y=－x＋3；当n=－3时，m＋n=2，
解得m=5，
∴y=5x－3.
∴直线AC的解析式为y=－x＋3或y=5x－3.
【题型3 由几何条件求一次函数解析式】
1.（1）解：将点代入得到，，
，
直线过点，
，
解得
，；
（2）解：存在，理由：
根据题意使的周长最小，即将军饮马问题，
点关于轴对称点的坐标，
由（1）得，
设直线表达式为，
代入，得，
解得，
即，
与轴交点即为所求；
（3）解：当时，，
解得，即点的坐标是，
设点的坐标为，则，
的面积为10，
，
解得或，
即点坐标为或．
2.（1）解：直线交x轴于点B，交y轴于点 A，
∴当时，，当时，，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，将点、点代入可得：
，
解得：，
直线的解析式为．
（2）解：过点作轴交于点，
点的横坐标为，
，
，
，
，
．
3.解：（1）∵当x＝0时，y＝0+6＝6，
∴B（0，6），
∵OB＝2OC，
∴C（0，﹣3），
∵点A的纵坐标为3，
∴﹣3＝x+6，
解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，3），
则，
解得．
故直线l2的解析式为y＝﹣2x﹣3；
（2）∵点D的横坐标为1，
∴y＝1+6＝7，
∴D（1，7），
∴△ACD的面积＝10×4﹣×3×6﹣×4×4﹣×1×10＝18．
4.（1）解：将代入一次函数中，得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，，
故答案为：4，0；0，4；
（2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，点D，
由（1）可得
∴，
∴直线的表达式为．
在一次函数中，令，则．
∴点B的坐标为．
∴解得
∴点P的坐标为．
∴．
【题型4 由取值范围求一次函数解析式】
1.或．
【分析】此题考查的是一次函数的增减性和求一次函数的解析式，掌握一次函数的增减性与k的关系和利用待定系数法求一次函数的解析式是解决此题的关键．根据k的符号分类讨论：当时，易知该一次函数经过和两点，然后利用待定系数法即可求出结论；当时，易知该一次函数经过和两点，然后利用待定系数法即可求出结论．
【详解】解：∵一次函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的范围是，
当时，y随x的增大而增大
∴该一次函数经过和两点
∴
解得：
∴；
当时，y随x的增大而减小
∴该一次函数经过和两点
∴
解得：
∴；
综上：为或．
故答案为：或
2.D
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，对和进行分类讨论，分别求出对应的函数解析式即可解决问题．
【详解】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，
∴当时，一次函数过，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
当时，一次函数过，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
∴只有D选项符合题意．
故选：D．
3.或
【分析】分点，或，在直线上两种情形，分别解答即可．
【详解】解：∵时，，
∴点，或，在直线上．
∴或，
∴或
∴或．
4.D
【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键．
一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式．
【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大，
所以得，
解得，即；
当时，y随x的增大而减小，
所以得，
解得，即．
故答案为：D．
【题型5 由平移变换求一次函数解析式】
1.（1）解：直线向下平移5个单位，得到，
即，
故答案为：；
（2）解∶令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴B点关于x轴的对称点，
设直线：关于x轴对称的直线解析式为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵点P在x轴上，，，
∴
∴点P在直线的两侧，，
∴或．
2.
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，求一次函数的解析式．根据点的平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”确定点的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式．
【详解】解：点向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点，
点的坐标为，
设直线的函数解析式为，代入，，
可得，
解得，
直线的函数解析式为．
故答案为：．
3.y=3x-2
【分析】在直线y=-3x+2上任意取两点（0，2）和（1，-1），对称后这两点分别为（0，-2）和（1，1），然后利用待定系数法即可求得．
【详解】解：在直线y=-3x+2上任意取两点（0，2）和（1，-1），
∵直线y=-3x+2关于x轴对称，
∴点（0，2）关于x轴的对称点为（0，-2），
点（1，-1）关于x轴的对称点为（1，1），
设对称后直线的解析式为y=kx+b，
∴解得，
∴对称后直线的解析式为y=3x-2．
故答案为：y=3x-2．
4.（1）解：根据题意，得点P的坐标为，得到其横坐标为4，
则不等式的解集为；
故答案为：．
（2）解：直线与x轴交于A，与y轴交于B，
则，；
直线与y轴交于点C．
则，
根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，
故，
设直线的解析式为，
把代入得，
故直线的解析式为．
（3）解：根据题意，直线与x轴交于A，与y轴交于B，
则，；
直线与y轴交于点C．
则，
根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，
则，四边形是平行四边形，
故四边形的面积为，
根据的面积是平行四边形面积的，
得的面积是，
根据点P在直线上，
设，
故，
故或，
故或．
【题型6 由轴对称变换求一次函数解析式】
1.C
【分析】先在直线上任意取两点，，然后根据关于直线对称的点，横坐标的和为，纵坐标相同求出这两点的对应点的坐标，然后代入计算即可求出、的值．
【详解】解：由直线可知，直线经过点，，
关于直线对称的点，横坐标的和为，纵坐标相同，
点，，关于直线对称的点分别为，，
将，代入，得，
解得，
故选C．
2.A
【分析】此题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴交点问题，先求出直线与两坐标轴的交点坐标，利用对称性求出直线经过的点坐标，再利用待定系数法求出解析式
【详解】解：令中得；令得
∴直线过点
∵直线与直线关于直线对称，
∴直线过点，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式是,
故选A
3.D
【分析】本题主要考查了求正比例函数的函数值，求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，先根据正比例函数解析式求出点A的坐标，进而求出点A关于y轴对称的点的坐标，再把点A关于y轴对称的点的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
∴点A关于y轴对称的点的坐标为，
∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后的图象与正比例函数的图象交于点，
∴点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
故选：D．
4.A
【分析】先建立平面直角坐标系，把坐标转化为图像，在经过轴对称，求出对应点，最后联立方程组求出直线解析式．
【详解】解：第一步：先是建立平面直角坐标系（如图），标出两点，并利用轴对称性质求出的坐标分别为，这是依据轴对称的性质求得点的坐标（有序实数对），运用了数形结合的数学思想；
第二步：然后设直线的解析式为，并将代入中，得方程组解得，最后求得直线的解析式为，这里根据一次函数图象上点的坐标特征，列出方程求得待定系数，运用了方程思想；
所以开元同学在解题过程中，运用到的数学思想是数形结合与方程思想．
故选A．
【题型7 由旋转变换求一次函数解析式】
1.解：如图，由旋转后可得，
设直线，
代入，
则，
解得：，
∴，
故答案为：，．
2.A
【分析】先求出直线与y轴的交点坐标，然后根据旋转的性质可知得到的直线与该直线平行，且与y轴的交点为（0，-1），从而求出结论．
【详解】解：直线与y轴的交点为（0,1）
将直线绕着原点旋转得到的直线与该直线平行，且与y轴的交点为（0，-1）
∴得到的直线解析式为
故选A．
3.
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，求正比例函数解析式，旋转的性质，根据旋转得到点的对应点为 是解题的关键．根据题意，可求出直线过点 ，再根据旋转的性质，可得到点的对应点为 ，然后利用待定系数法，即可求解．
【详解】解：∵函数当 时， ，
∴直线过点 ，
∴直线绕坐标原点顺时针旋转后，则的对应点为，
∴可设旋转后得到的直线的解析式为 ，
将 ，代入得：
，
解得： ，
∴旋转后得到的直线的解析式为．
故答案为：．
4.
【分析】本题考查旋转的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数性质，记直线解析式与轴交与点，原点为，利用解析式得到点A，，根据题意可绕点A逆时针旋转得到，得到旋转后的直线，利用旋转的性质得到，设旋转后的直线解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，即可解题．
【详解】解：记直线解析式与轴交与点，原点为，
直线解析式为，
点A，，
该直线绕点A旋转，
即绕点A逆时针旋转得到，
，，
，
设旋转后的直线解析式为，且直线过点A，，
，解得，
旋转后的直线解析式为．
故答案为：．

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