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湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·开福期末） 据教育部教育考试院官方微信消息，2025年全国高考报名人数达到1335万人，1335万这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·开福期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·开福期末） 下列命题中，正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．四条边相等的四边形是正方形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
4．（2025八下·开福期末） 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如右表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
9 8.8 8.8 9
06 08 0.6 1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2025八下·开福期末） 已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 (　　)
A． B． C． D．
6．（2025八下·开福期末）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（　　）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
7．（2025八下·开福期末） 用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·开福期末） 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．3
9．（2025八下·开福期末） 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·开福期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（　　）
①；②； ③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·开福期末） 使函数有意义的的取值范围是　 　．
12．（2025八下·开福期末）因式分解：　 　．
13．（2025八下·开福期末） 如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为　 　．
14．（2025八下·开福期末） 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为　 　．
15．（2025八下·开福期末） 为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程　 　．
16．（2025八下·开福期末）某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分．）
17．（2025八下·开福期末） 计算：．
18．（2025八下·开福期末）
（1）解不等式：；
（2）解方程：．
19．（2025八下·开福期末） 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为和，且，求m的值．
20．（2025八下·开福期末） 学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）抽取了　 　名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为　 　分，众数是　 　分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
21．（2025八下·开福期末） 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C、D分别作，的平行线，两线相交于点E．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，若，求的面积．
22．（2025八下·开福期末） 某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
23．（2025八下·开福期末） 如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、．
（1）如图1，当时，连接，且．
①已知，，求的长；
②已知，求的值；
（2）如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值．
24．（2025八下·开福期末） 定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，
（1）求直线l：的不动点坐标；
（2）已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．
①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；
②如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．
25．（2025八下·开福期末） 已知点、点，若满足点，则称点A、B关于点对称；若函数图象上所有点关于点对称的点均在函数的图象上，则称函数与函数关于点对称．
（1）已知点，则点A关于原点、关于点的对称点的坐标分别是　 　，　 　，关于点对称的点的坐标是　 　（用含a、b的式子表示）；
（2）已知抛物线：与抛物线：关于点R对称，抛物线的顶点为M，若将点M向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的点，恰好在抛物线上，求点R的坐标；
（3）已知抛物线：关于点对称的抛物线为，当时，抛物线的最大值和最小值之差为3，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1335万
故选： D.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
3．【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：
A、平行四边形的对角线互相平分，故A选项正确，符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B选项错误，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质，依次判定即可.
4．【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
∴从甲、丁中选择一人参加竞赛，
∵甲的方差较小，
∴甲发挥稳定，
∴选择甲参加比赛.
故答案为： A.
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛.
5．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当 时，
当 时，
则 的周长为
故答案为： A.
【分析】先求出直线AB与两坐标轴的交点，再求出AB的长度，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
【分析】根据正方形的性质可得，利用三角形外角的性质求出，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为： A.
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：
故答案为： B.
【分析】利用勾股定理解答即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：当 时，
即不等式 的解集为：
故选： C.
【分析】观察函数图象得到当 时，函数 的图象都在 的图象上方，即可得到关于x的不等式的解集.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点，
∴，，
∴，，故②正确；
∴，故①错误；
当时，，故③正确；
∵，
∴，即，故④正确；
当时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
解得
故答案为：
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.
12．【答案】x（y-1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：xy2-2xy+x
=x（y2-2y+1）
=x（y-1）2，
故答案为：x（y-1）2．
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可．
13．【答案】16
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中， M、N分别为BC、OC的中点，
故答案为： 16.
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质 进行求解问题.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线 先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为： 即
故答案为：
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可.
15．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，则：
故答案为：
【分析】设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，根据甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍列出方程即可.
16．【答案】87分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小云这学期的体育综合成绩是（分），
故答案为：87分．
【分析】根据加权平均数的意义和计算方法，将 95，90，80， 按照的比例计算即可.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先去绝对值，算零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，再算加减即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：
则 或
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【【分析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)利用因式分解法求解即可.
19．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程： 有实数根，
解得
∴m的取值范围是

（2）解：∵方程的两实数根分别为x1和x2，
解得
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.
(2)利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题.
20．【答案】（1）40；9；9；36
（2）解：C组人数为： (人)，
补全条形统计图如下：
（3）解： (人)，
答：估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有650人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)一共抽取了 (人)，则中位数为第20位和第21位的平均数，∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为 (分)，
出现次数最多的是9分，关于众数为9分，D级所占的百分比为：
∴ D级对应扇形的圆心角为：
故答案为： 40， 9， 9， 36°；
【分析】(1)根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，再根据中位数和众数的定义求解；先求出D级人数所占的百分比，再利用360°乘这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数；
(2)求出C组人数，即可补全条形统计图；
(3)根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数.
21．【答案】（1）证明： ∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC，
∵BD=BC=6，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，
∴∠DCO = 30°，
∴△ACE的面积
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)证根据平行四边形的性质得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据矩形的判定定理得到四边形OCED为矩形；
(2)根据菱形的性质得到CD=BC，根据等边三角形的性质得到∠CDB=60°， 求得∠DCO=30°，根据勾股定理得到 求得. 根据三角形的面积公式即可得到△ACE的面积
22．【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为a，
解得： (不合题意，舍去)。
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为10%；
（2）解：①设
解得：
②设每天的销售利润为w元，
∴要使每天的销售利润最大，销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润是1210元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)2023年的种植面积(1+年平均增值率) 年的种植面积，把相关数值代入求得合适的解即可；
(2)①设出一次函数解析式，把表格中的两组数据代入即可求得k和b的值；
②设每天的销售利润为w元，w=每天的销售量×每斤黄桃的利润，整理成顶点式，即可求得销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润，以及最大销售利润是多少元.
23．【答案】（1）解：①∵在矩形ABCD中， 已知. ∴当 时，则.
∴矩形ABCD是正方形，
在 中，
由勾股定理得：
②延长CD到H， 使 连接AH，如 图：
∵BE=CE=3，
∴DH = BE=3， BC =6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=6，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∴∠ADH=∠B=90°，
设DF=a， 则FH=DF+DH=a+3， CF=CD-DF=6-a，
在△ACH和△ABE中，
∴△ACH≌△ABE(SAS)，
∴∠DAH =∠BAE， AH = AE，
∵∠BAD =90°， ∠EAF = 45°，
∴∠DAF+∠BAE =∠BAD-∠EAF =45°，
∴∠DAF+∠DAH = 45°，
即∠HAF=45°，
∴∠HAF =∠EAF =45°，
在 和 中，
在 中，
由勾股定理得：
解得：

（2）解：连接EF， 如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，.
∴AD∥BC，CD=AB，∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠DAF =∠Q， ∠D =∠FGQ =90°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF =∠EAF，
∴∠EAF=∠Q，
∴AE=QE =8，
∴△AEQ是等腰三角形，
在△ADF和△QCF中，
∴△ADF≌△QCF(AAS)，
∴AF=QF=6，
∵△AEQ是等腰三角形，
∴EF⊥AQ，
在Rt△AEF中， AE =8， AF=6，
由勾股定理得：
由三角形的面积公式得：
在 中，由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)①在 中，根据 由 勾股定理可求出EF的长；
②延长CD到H， 使DH = BE， 连接AH， 设DF=a， 则FH=a+3， CF=6-a， 证明△ACH和△ABE全等得∠DAH =∠BAE， AH = AE， 由此可证明∠HAF =∠EAF =45°， 进而可依据“SAS”判定△AFH和△AFE全等得FH = FE=a+3， 在Rt△CEF中， 由勾股定理求出a=2得DF=a=2， CF=6-a=4， 据此即可得出DF：CF的值；
(2)连接EF， 根据AD∥BC， AF平分∠DAE得∠DAF =∠EAF=∠Q， 则AE=QE=8， 证明△ADF和△QCF全等得AF=QF =6， 进而得AE=12， EF⊥AQ， 在Rt△AEF中， 由勾股定理得 再由三角形的面积公式可求出AB= 则 继而得DF=CF 在Rt△ADF中， 由勾股定理求出AD =4.5即可得出k的值.
24．【答案】（1）解： ∵直线l： y= kx-2k+3=k(x-2)+3，
令x-2=0， 则y=3，
∴直线l： y= kx-2k+3|的不动点坐标为(2，3)；
（2）解：①解： 令 解得： x =-4；∴A(-4，0)，
如图1，过点A作AE⊥AP，垂足为A，分别过点P，点E作x轴的垂线，垂足分别为H，G，
∵∠APE =45°， ∠PAE = 90°，
∴∠AEP =45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=AE，
∵∠EGA=∠PAE=90°，
∴∠EAG+∠AEG =∠EAG+∠PAH =90°，
∴∠AEG=∠PAH，
∵∠EGA=∠PHA=90°，
∴△AEG≌△APH(AAS)，
∴AG=PH，EG=AH，
由 (1) 知P(2，3)， 则H(2，0)，
∴PH =3，AH =OA+OH =6，
∴EG=6，AG=3，
∴OG=OA+AG=7，
∴E(-7，6)，
将点E(-7，6)代入直线l： y= kx-2k+3， 则6=-7k-2k+3，
解得：
∴直线l的解析式为：
将x=0代入 则
；
②直线 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2，1)，设直线 的解析式为y= mx+b， 点C(c，0)，将点C(c，0)代入直线 得0= mc+b， 解得： b=-mc，
∴直线 的解析式为y= mx-mc，
联立
解得：
，
∴直线 的解析式为
令 则
∴直线 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2，1).

【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1) 由直线l： y= kx-2k+3=k(x-2)+3， 令x﹣2=0， 即可解答；
(2) ①先求出A(-4，0)， 过点A作AE⊥AP， 垂足为A，分别过点P，点E作x轴的垂线，垂足分别为H，G， 由题意得∠APE=45°， 易证△APE是等腰直角三角形，得到AP =AE，再证明 △APH(AAS)， 推出AG=PH，EG=AH， 由(1) 知P(2，3)， 则H(2，0)， 进而求出EG=6，AG=3， 求出OG=OA+AG =7， 得到E(-7，6)，再利用待定系数法即可求出直线l，即可求出点Q的坐标；②设直线 的解析式为y= mx+b， 点C(c，0)， 代入直线l 得到直线 的解析式为y=mx-mc， 联立 求出D 再根据 代入数据即可解答.
25．【答案】（1）；；
（2）解：
∵抛物线( 与抛物线 关于点P对称，
的顶点M关于R的对称点 必为 的顶点，设R点坐标为(h，k)，
的顶点为 ， 的坐标为(
将点 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得 代入( 得，
解得
∴点R的坐标为

（3）解：设 上任一点为(x，y)，则其关于S(m，2)对称点为 代入 得，
对称轴为直线x =m
∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，当 时，
时取得最大值 时取得最小值 2，
∵抛物线( 的最大值和最小值之差为3，
符合题意；
当 时，
时取得最大值 时取得最小值-1，
∵抛物线 的最大值和最小值之差为3，
，符合题意；
当 时，
x =m时取得最大值
x=0时取得最小值-1或 时取得最小值
∵抛物线的最大值和最小值之差为3，
或
或 均不符合题意；
综上可知，m的值为 或2.
【知识点】二次函数的最值；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 点 若满足点则称点A、B关于点 对称，
∴点 关于 对称的坐标为(
∴点A(3，4)关于原点O(0，0)的对称点的坐标为即
点A(3，4)关于点 的对称点的坐标 即 点A(3，4)关于点Q(a，b)的对称点的坐标
故答案为：( ；
【分析】(1)先由新定义求出点 )关于P(x0，y0)对称的坐标为 然后据此求解即可；
(2)由 的顶点M关于R的对称点M必为的顶点得到 根据平移规律求出M平移后的坐标代入即可求解；
(3)先求出 的关系式，然后分当 时，当 1时， 当 时三种情况求解即可.
1 / 1湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·开福期末） 据教育部教育考试院官方微信消息，2025年全国高考报名人数达到1335万人，1335万这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1335万
故选： D.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
2．（2025八下·开福期末）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
3．（2025八下·开福期末） 下列命题中，正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．四条边相等的四边形是正方形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：
A、平行四边形的对角线互相平分，故A选项正确，符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，故B选项错误，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质，依次判定即可.
4．（2025八下·开福期末） 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如右表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
9 8.8 8.8 9
06 08 0.6 1.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由表知甲、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙、丙的平均数，
∴从甲、丁中选择一人参加竞赛，
∵甲的方差较小，
∴甲发挥稳定，
∴选择甲参加比赛.
故答案为： A.
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛.
5．（2025八下·开福期末） 已知直线 与两坐标轴的交点分别为、，则的周长为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当 时，
当 时，
则 的周长为
故答案为： A.
【分析】先求出直线AB与两坐标轴的交点，再求出AB的长度，即可得出答案.
6．（2025八下·开福期末）如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（　　）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
【分析】根据正方形的性质可得，利用三角形外角的性质求出，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
7．（2025八下·开福期末） 用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为： A.
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可.
8．（2025八下·开福期末） 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（　　）
A．4 B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：
故答案为： B.
【分析】利用勾股定理解答即可.
9．（2025八下·开福期末） 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：当 时，
即不等式 的解集为：
故选： C.
【分析】观察函数图象得到当 时，函数 的图象都在 的图象上方，即可得到关于x的不等式的解集.
10．（2025八下·开福期末）已知抛物线的图象．如图所示，则下列结论中，正确的有（　　）
①；②； ③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】点的坐标；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴有2个交点，
∴，，
∴，，故②正确；
∴，故①错误；
当时，，故③正确；
∵，
∴，即，故④正确；
当时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故⑤正确；
故选：D．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·开福期末） 使函数有意义的的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：
解得
故答案为：
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.
12．（2025八下·开福期末）因式分解：　 　．
【答案】x（y-1）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：xy2-2xy+x
=x（y2-2y+1）
=x（y-1）2，
故答案为：x（y-1）2．
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可．
13．（2025八下·开福期末） 如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为　 　．
【答案】16
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中， M、N分别为BC、OC的中点，
故答案为： 16.
【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质 进行求解问题.
14．（2025八下·开福期末） 把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把抛物线 先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为： 即
故答案为：
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可.
15．（2025八下·开福期末） 为美化校园，学校安排甲、乙两人种植麦冬草，已知两人每小时共种植40株麦冬草，且甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍，求甲、乙两人每小时各种植多少株麦冬草？设甲每小时种植x株麦冬草，则可得方程　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，则：
故答案为：
【分析】设甲每小时种植x株麦冬草，则乙每小时种植x株麦冬草 株，根据甲种植50株麦冬草所用时间是乙种植15株麦冬草所用时间的2倍列出方程即可.
16．（2025八下·开福期末）某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是　 　．
【答案】87分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小云这学期的体育综合成绩是（分），
故答案为：87分．
【分析】根据加权平均数的意义和计算方法，将 95，90，80， 按照的比例计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23题每题9分，24、25题每题10分，共72分．）
17．（2025八下·开福期末） 计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分母有理化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先去绝对值，算零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，再算加减即可.
18．（2025八下·开福期末）
（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：
（2）解：
则 或
解得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式
【解析】【【分析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)利用因式分解法求解即可.
19．（2025八下·开福期末） 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为和，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程： 有实数根，
解得
∴m的取值范围是

（2）解：∵方程的两实数根分别为x1和x2，
解得
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式即可解决问题.
(2)利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题.
20．（2025八下·开福期末） 学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）抽取了　 　名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为　 　分，众数是　 　分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？
【答案】（1）40；9；9；36
（2）解：C组人数为： (人)，
补全条形统计图如下：
（3）解： (人)，
答：估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有650人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)一共抽取了 (人)，则中位数为第20位和第21位的平均数，∵第20位和第21位的成绩都为9分，
∴中位数为 (分)，
出现次数最多的是9分，关于众数为9分，D级所占的百分比为：
∴ D级对应扇形的圆心角为：
故答案为： 40， 9， 9， 36°；
【分析】(1)根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，再根据中位数和众数的定义求解；先求出D级人数所占的百分比，再利用360°乘这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数；
(2)求出C组人数，即可补全条形统计图；
(3)根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数.
21．（2025八下·开福期末） 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点C、D分别作，的平行线，两线相交于点E．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）连接，若，求的面积．
【答案】（1）证明： ∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC，
∵BD=BC=6，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，
∴∠DCO = 30°，
∴△ACE的面积
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)证根据平行四边形的性质得到四边形OCED是平行四边形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据矩形的判定定理得到四边形OCED为矩形；
(2)根据菱形的性质得到CD=BC，根据等边三角形的性质得到∠CDB=60°， 求得∠DCO=30°，根据勾股定理得到 求得. 根据三角形的面积公式即可得到△ACE的面积
22．（2025八下·开福期末） 某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到2025年种植了121亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②若要使每天的销售利润最大，销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润是多少元？
【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为a，
解得： (不合题意，舍去)。
答：种植黄桃亩数的年平均增长率为10%；
（2）解：①设
解得：
②设每天的销售利润为w元，
∴要使每天的销售利润最大，销售单价应定为31元，每天能获得的最大销售利润是1210元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)2023年的种植面积(1+年平均增值率) 年的种植面积，把相关数值代入求得合适的解即可；
(2)①设出一次函数解析式，把表格中的两组数据代入即可求得k和b的值；
②设每天的销售利润为w元，w=每天的销售量×每斤黄桃的利润，整理成顶点式，即可求得销售单价应定为多少元，每天能获得的最大销售利润，以及最大销售利润是多少元.
23．（2025八下·开福期末） 如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、．
（1）如图1，当时，连接，且．
①已知，，求的长；
②已知，求的值；
（2）如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值．
【答案】（1）解：①∵在矩形ABCD中， 已知. ∴当 时，则.
∴矩形ABCD是正方形，
在 中，
由勾股定理得：
②延长CD到H， 使 连接AH，如 图：
∵BE=CE=3，
∴DH = BE=3， BC =6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=6，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∴∠ADH=∠B=90°，
设DF=a， 则FH=DF+DH=a+3， CF=CD-DF=6-a，
在△ACH和△ABE中，
∴△ACH≌△ABE(SAS)，
∴∠DAH =∠BAE， AH = AE，
∵∠BAD =90°， ∠EAF = 45°，
∴∠DAF+∠BAE =∠BAD-∠EAF =45°，
∴∠DAF+∠DAH = 45°，
即∠HAF=45°，
∴∠HAF =∠EAF =45°，
在 和 中，
在 中，
由勾股定理得：
解得：

（2）解：连接EF， 如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，.
∴AD∥BC，CD=AB，∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠DAF =∠Q， ∠D =∠FGQ =90°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF =∠EAF，
∴∠EAF=∠Q，
∴AE=QE =8，
∴△AEQ是等腰三角形，
在△ADF和△QCF中，
∴△ADF≌△QCF(AAS)，
∴AF=QF=6，
∵△AEQ是等腰三角形，
∴EF⊥AQ，
在Rt△AEF中， AE =8， AF=6，
由勾股定理得：
由三角形的面积公式得：
在 中，由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)①在 中，根据 由 勾股定理可求出EF的长；
②延长CD到H， 使DH = BE， 连接AH， 设DF=a， 则FH=a+3， CF=6-a， 证明△ACH和△ABE全等得∠DAH =∠BAE， AH = AE， 由此可证明∠HAF =∠EAF =45°， 进而可依据“SAS”判定△AFH和△AFE全等得FH = FE=a+3， 在Rt△CEF中， 由勾股定理求出a=2得DF=a=2， CF=6-a=4， 据此即可得出DF：CF的值；
(2)连接EF， 根据AD∥BC， AF平分∠DAE得∠DAF =∠EAF=∠Q， 则AE=QE=8， 证明△ADF和△QCF全等得AF=QF =6， 进而得AE=12， EF⊥AQ， 在Rt△AEF中， 由勾股定理得 再由三角形的面积公式可求出AB= 则 继而得DF=CF 在Rt△ADF中， 由勾股定理求出AD =4.5即可得出k的值.
24．（2025八下·开福期末） 定义：已知直线l：（k为常数）绕定点旋转，则称直线l为“旋转簇直线”，点为“旋转簇直线”的不动点，
（1）求直线l：的不动点坐标；
（2）已知直线：与x、y轴分别交于点A、B．
①如图1，直线l：（k为常数）绕不动点P旋转时，与y轴正半轴相交于点Q，且点Q在点B上方，当时，求点Q坐标；
②如图2，直线与x正半轴交于点C，与直线相交于第一象限内的点D，且恒有，试问直线是否为“旋转簇直线”，若是，请求出不动点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解： ∵直线l： y= kx-2k+3=k(x-2)+3，
令x-2=0， 则y=3，
∴直线l： y= kx-2k+3|的不动点坐标为(2，3)；
（2）解：①解： 令 解得： x =-4；∴A(-4，0)，
如图1，过点A作AE⊥AP，垂足为A，分别过点P，点E作x轴的垂线，垂足分别为H，G，
∵∠APE =45°， ∠PAE = 90°，
∴∠AEP =45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=AE，
∵∠EGA=∠PAE=90°，
∴∠EAG+∠AEG =∠EAG+∠PAH =90°，
∴∠AEG=∠PAH，
∵∠EGA=∠PHA=90°，
∴△AEG≌△APH(AAS)，
∴AG=PH，EG=AH，
由 (1) 知P(2，3)， 则H(2，0)，
∴PH =3，AH =OA+OH =6，
∴EG=6，AG=3，
∴OG=OA+AG=7，
∴E(-7，6)，
将点E(-7，6)代入直线l： y= kx-2k+3， 则6=-7k-2k+3，
解得：
∴直线l的解析式为：
将x=0代入 则
；
②直线 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2，1)，设直线 的解析式为y= mx+b， 点C(c，0)，将点C(c，0)代入直线 得0= mc+b， 解得： b=-mc，
∴直线 的解析式为y= mx-mc，
联立
解得：
，
∴直线 的解析式为
令 则
∴直线 是“旋转簇直线”，不动点的坐标(2，1).

【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1) 由直线l： y= kx-2k+3=k(x-2)+3， 令x﹣2=0， 即可解答；
(2) ①先求出A(-4，0)， 过点A作AE⊥AP， 垂足为A，分别过点P，点E作x轴的垂线，垂足分别为H，G， 由题意得∠APE=45°， 易证△APE是等腰直角三角形，得到AP =AE，再证明 △APH(AAS)， 推出AG=PH，EG=AH， 由(1) 知P(2，3)， 则H(2，0)， 进而求出EG=6，AG=3， 求出OG=OA+AG =7， 得到E(-7，6)，再利用待定系数法即可求出直线l，即可求出点Q的坐标；②设直线 的解析式为y= mx+b， 点C(c，0)， 代入直线l 得到直线 的解析式为y=mx-mc， 联立 求出D 再根据 代入数据即可解答.
25．（2025八下·开福期末） 已知点、点，若满足点，则称点A、B关于点对称；若函数图象上所有点关于点对称的点均在函数的图象上，则称函数与函数关于点对称．
（1）已知点，则点A关于原点、关于点的对称点的坐标分别是　 　，　 　，关于点对称的点的坐标是　 　（用含a、b的式子表示）；
（2）已知抛物线：与抛物线：关于点R对称，抛物线的顶点为M，若将点M向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的点，恰好在抛物线上，求点R的坐标；
（3）已知抛物线：关于点对称的抛物线为，当时，抛物线的最大值和最小值之差为3，求m的值．
【答案】（1）；；
（2）解：
∵抛物线( 与抛物线 关于点P对称，
的顶点M关于R的对称点 必为 的顶点，设R点坐标为(h，k)，
的顶点为 ， 的坐标为(
将点 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得 代入( 得，
解得
∴点R的坐标为

（3）解：设 上任一点为(x，y)，则其关于S(m，2)对称点为 代入 得，
对称轴为直线x =m
∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，当 时，
时取得最大值 时取得最小值 2，
∵抛物线( 的最大值和最小值之差为3，
符合题意；
当 时，
时取得最大值 时取得最小值-1，
∵抛物线 的最大值和最小值之差为3，
，符合题意；
当 时，
x =m时取得最大值
x=0时取得最小值-1或 时取得最小值
∵抛物线的最大值和最小值之差为3，
或
或 均不符合题意；
综上可知，m的值为 或2.
【知识点】二次函数的最值；关于原点对称的点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 点 若满足点则称点A、B关于点 对称，
∴点 关于 对称的坐标为(
∴点A(3，4)关于原点O(0，0)的对称点的坐标为即
点A(3，4)关于点 的对称点的坐标 即 点A(3，4)关于点Q(a，b)的对称点的坐标
故答案为：( ；
【分析】(1)先由新定义求出点 )关于P(x0，y0)对称的坐标为 然后据此求解即可；
(2)由 的顶点M关于R的对称点M必为的顶点得到 根据平移规律求出M平移后的坐标代入即可求解；
(3)先求出 的关系式，然后分当 时，当 1时， 当 时三种情况求解即可.
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