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2025年高三《第五单元三角函数与解三角形》测试卷
一、单选题
1.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
2.“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针长约为米，则经过分钟，其分针的端点所转过的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.若函数的图象向右平移个单位后为一个奇函数的图象，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为( )
A. B. C. D.
10.已知，，则( )
A. B. C. D.
11.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
12.的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则( )
A. B.
C. D. 角的终边在第一象限
14.已知，，分别为的内角，，所对的边，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. ，
15.设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是( )
A. 的图象过点 B. 在上是减函数
C. 的最大值与的取值有关 D. 的一个对称中心是
16.关于函数有下列命题，其中正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 在区间上是单调递减函数
C. 若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为
D. 的图像关于直线对称
17.已知，，下列四个结论正确的是( )
A. 的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象
B. 当时，函数取得最大值
C. 图象的对称中心是，
D. 在区间上单调递增
三、填空题
18. 用数字作答．
19.在中，，，的面积为，则 ．
20.把一个三阶魔方看成是棱长为的正方体图，若中间层旋转角为锐角，如图所示，记表面积增加量为，则 ，的最大值是 ．
四、解答题
21.：化简：．
已知，均为锐角，，，求
22.如图，与存在对顶角，，，且．
证明：为中点
若，求的长．
23.设
求的单调递增区间
在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围．
24.记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求
在边上存在一点，使得，连接，若的面积为，的平分线交于点，求的值．
25.某地进行老旧小区改造，有半径为米，圆心角为的一块扇形空置地如图，现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设；
求，用表示；
当在上运动时，求这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意可得，，，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】当角是第一象限的角时，则且，
不一定是第一象限的角．
当角是第一象限的角，则且，
不一定是第一象限角．
“角是第一象限的角”是“角是第一象限的角”的既不充分也不必要条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】分针每分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，
故经过分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，
故弧长为米
故选：．
4.【答案】
【解析函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，由题意，，它是奇函数，
则，，，
又，则其最小值是当时，．
故选：．
5.【答案】
【解析】，
，即，
，
，解得，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】函数向右平移个单位后，解析式为，
奇函数满足，故代入，，
整理方程，因，取，使最小，，
通过平移公式和奇函数性质推导，的最小值为，对应选项D，
故选D．
7.【答案】
【解析】当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；
函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
，
，
求得，
故选：．
8.【答案】
【解析】
由及余弦定理，可得，
由正弦定理边化角，得，
，
，即，
．
是锐角三角形，，即．
，，
，
则．
故选C．
9.【答案】
【解析】因为，，
所以，．
所以
．
在中，由正弦定理可得，
即，解得．
在中，
故选C．
10.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，
又，
解得，，
所以．
故选：．
11.【答案】
【解析】由题意， ，
，
，
即，
即，
．
故选A．
12.【答案】
【解析】中，，
，
，
，
，
又，
；
又，
，
，
；
，
解得或不合题意，舍去，
的面积为．
故选：．
13.【答案】
【解析】由题意可知，，，
所以，，
所以点是终边上一点，所以点是终边上一点，即，．
项：，正确
项：，正确
项：若B正确，则有，
，与已知矛盾，故B错误
项：易知正确．
故选ACD．
14.【答案】
【解析】选项A，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，故A正确；
选项B由，
代入，得，故B正确；
选项D由及可知，
，，，
所以，，均为锐角，，，故为最大边，故D正确，
选项C：由的解析知为最大角，且不是等边三角形，
所以，故C错误．
故选：．
15.【答案】
【解析】函数的最小正周期是，
故，
由于函数的图象关于直线对称，所以，整理得，
而，当时，；
故，
对于：当时，，故A正确；
对于：由于，故，
函数上单调递增，当时，函数在该区间上单调递增，当时，函数在该区间上单调递减，故函数的单调性不确定，故B不正确；
对于：的最大值为，与的取值有关，故C正确；
对于：当时，，故D正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】对于，由于，所以的图象关于点对称，A正确，
对于，由，则，故在区间上是单调递减，B正确，
对于，，由，则，
要使在区间上恰有两个零点，则，解得，故C正确，
对于，，故不是的对称轴，故D错误．
故选：．
17.【答案】
【解析】由的图象向左平移个单位长度得，，故A错误；
由，
，故B错误；
由，
令，解得，，
图象的对称中心是，故C正确；
由，
令，，
解得，，
的单调递增区间为，，
当时，单调递增区间为，
，
在区间上单调递增，故D正确，
故选CD．
18.【答案】
【解析】



．
故答案为：．
19.【答案】
【解析】因为，，
所以，
由余弦定理得，
所以．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】设三角形的斜边长为，则，
所以
当时，由式得，，
所以；
，
因为，当且仅当时，等号成立，
又由可得，，
所以，
因为为锐角，所以，所以，所以，
所以，所以，所以，即．
且当，时，．
故答案为：；．
21.【解析】原式
，均为锐角，，
，，
，，
又，或舍掉

22.【解析】设，，则，，
在和中，，
由余弦定理可得：，
整理得：，所以，即为中点；
由正弦定理：，
由，得，
若，此时在和为全等的等腰直角三角形，，，不符合条件，
所以，此时，
，
所以，由，解得：，
此时，，
在中，由正弦定理：，代入得：．
23.【解析】
，
由，
得，．
的单调增区间为，．
因为，
可得，
由题意知为锐角，则，
由正弦定理可得，
则，，
所以
，
因为，解得，
则，所以，则，
所以，
即周长的取值范围为．
24.【解析】由及正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，所以，，
所以，．
因为，，所以，
则，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
由角平线定理得．
25.【解析】在中，，，
米，
又，所以，
在中，可得米；
由题可知，
的面积
，
又，，
当，即时，的面积有最大值平方米，
即三角形绿地的最大面积是平方米，此时．

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