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浙江省宁波市鄞州区艺术实验学校（第十九中学）2024-2025学年第一学期八年级“艺实杯”理科思维挑战赛数学卷
1．（2024八上·鄞州竞赛） 已知一次函数 ，当自变量 的取值范围为 时， 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是　 　。
【答案】
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当 时， ，此时 随 增大而增大，
把 代入 得 ，
把 代入 得 ，
由题意得 ，
解得 .
当 时， ，此时 随 增大而减小，
把 代入 得 ，不符合题意.
的取值范围是 .
【分析】当 时， ，此时 随 增大而增大，分别将x=3和x=5代入函数解析式，可得到y的值，再根据 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，再根据 ，此时 随 增大而减小，综上所述可得到a的取值范围.
2．（2024八上·鄞州竞赛） 方程 x2-8[x]+7=0的所有实数解是　 　([x]表示不大于 的最大整数)
【答案】1， ， ，7
【知识点】一元一次方程的解；分类讨论
【解析】【解答】解：
，
与 矛盾；
与 矛盾；
与 矛盾；
综上，方程 的所有解为1， ， ，7.
【分析】利用方程可得到x的取值范围，再根据 [x]表示不大于 的最大整数，分情况讨论，分别求出符合题意的x的值.
3．（2024八上·鄞州竞赛） 为斜边的等腰直角三角形 内一点 使得 ，则 的面积为　 　。
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设 ，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立直角坐标系 ，
，设
，
① ，② ，③
将①代入②，可得 ，
将①代入③， ， ，
将 ，代入①中得，
，
，
或 (舍)，
，
故答案为：.
【分析】设 ，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立直角坐标系 ，设，利用点A、B、C的坐标及已知条件可得到关于x、y、a的方程组，解方程组可表示出x、y的值，再根据x2+y2=1，可得到关于a的方程，解方程求出a2的值，然后利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积.
4．（2024八上·鄞州竞赛） 从1-2024的前2024个正整数中随机选数，则至少要挑出　 　个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以这三个数为边长的不等边三角形。
【答案】17
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：考虑最不利的情况，先挑出
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，共16 个数，再挑出1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，2 3，24，共24个数，此时，不存在以三个数为边长的不等边三角形.若再挑出 1 个数， 则必存在一个三元数组满足以三个数为边长的不等边三角形.所以至少要挑出17个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以三个数为边长的不等边三角形.
故答案为：17.
【分析】分别挑出两组数各16个和24个，此时，不存在以三个数为边长的不等边三角形.若再挑出 1 个数， 则必存在一个三元数组满足以三个数为边长的不等边三角形.所以至少要挑出17个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以三个数为边长的不等边三角形，即可求解.
5．（2024八上·鄞州竞赛） 已知 ，令 的最小值为 若 ， 记 的最大值为 ，则 　 　。
【答案】18
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：根据题意，令 ， ， ，
联立方程组可求得直线 与直线 的交
点为 ，直线 与 的交点
为 ，直线 与 的交点为
再分情况进行分析：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
进而求出6 =18
故答案为：18.
【分析】利用已知条件设 ， ， ，分别两两函数解析式组合，联立方程组，然后求出两个函数的交点坐标，再分情况讨论，可求出6M的值.
6．（2024八上·鄞州竞赛） 如图，在长方形 中，由8个面积均为1的小正方形组成 型模板如图放置，则长方形ABCD的面积为　 　。
【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据等角的余角相等，得 .
又 ，
.
.
，
，
设 ，则 ，根据勾股定理，得
则矩形 的面积为 =
故答案为：.
【分析】利用余角的性质可证得，利用AAS可证得△ABE≌△ECF，利用全等三角形的性质可证得AB=CE，BE=CF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ECF∽△FDG，利用相似三角形的对应边成比例，可得到DF与AB的比值，同时可推出DF=FC=BE，设BE=x，可表示出AB的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出矩形ABCD的面积.
7．（2024八上·鄞州竞赛） 正实数 满足 ，则代数式 的最小值为　 　。
【答案】
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：可以看着是直角边为a和1的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为b和2的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为c和3的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为d和4的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为e和5的直角三角形的斜边，
∵两点之间线段最短，
∴ 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长
∴ 的最小值
故答案为：17.
【分析】利用几何意义可知可以看着是直角边为a和b的直角三角形的斜边，根据题意，利用两点之间线段最短可得到 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长，利用勾股定理计算即可.
8．（2024八上·鄞州竞赛） 方程 有三个实数根，则 　 　.
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；y=|ax+ b|的图象与性质
【解析】【解答】解：将方程化为 ，
方程有三个实数根可以看作是函数 和函数 的图象有三个交点，
化简绝对值可得函数 ，且函数 的图象过定点(1，0)，
函数图象如下：
由图可知，只有当 过点(-1，1)时，才有三个交点，
，
.
故答案为：.
【分析】将方程化为 ，根据方程有三个实数根，可以看作是函数 和函数 的图象有三个交点，化简绝对值可得到相关的函数解析式，同时可得到函数 的图象过定点(1，0)；分别画出函数图象，利用函数图象可得到只有当 过点(-1，1)时，才有三个交点，将此点代入函数解析式，可得到k的值.
9．（2024八上·鄞州竞赛）如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是　 　．
【答案】14
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为：．
【分析】作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B'，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△A'MB'为等边三角形，再利用等边三角形的性质及三角形三边关系，可得到CD的最大值.
10．（2024八上·鄞州竞赛） 不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解： 对一切 都成立，
即 对一切 都成立，
，
只需 ，
，
故答案为：.
【分析】利用已知条件可得到 对一切 都成立，由此可得到，即可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集即可.
11．（2024八上·鄞州竞赛）在平面直角坐标系中，对于任意两点 与 的 “切比雪夫距离”，给出如下定义： 若 ，则点 与 的 “切比雪夫距离” 为 ： 若 ，则点 与 的“切比雪夫距离” 为 ；
（1） 已知 ，
①若 的坐标为(3，1)，则点 与 的“切比雪夫距离”为 ；
②若C为x轴上的动点，那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为 ；
（2）已知 ，设点 与 的“切比雪夫距离”为 ，若 ，求 (用含 的式子表示)。
【答案】（1）3；2
（2）解：∵ ，
当0≤a≤1时，
|2-a-1|=|1-a|=1-a≤1，，
∴此时点 与 的“切比雪夫距离”；
当a＞1时，
|2-a-1|=|1-a|=a-1，，
设，
解之：a≤3，
∴1＜a≤3时，a-1≤，此时点 与 的“切比雪夫距离”为：；
当a＞3时，，此时点 与 的“切比雪夫距离”为d=a-1
∴点 与 的“切比雪夫距离”为
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标
【解析】【解答】解：（1）①∵点A（0，2），点B（3，1）
∵0-3=3，2-1=1，
∴|0-3|＞|2-1|，
∴点 与 的“切比雪夫距离”为3；
②∵C为x轴上的动点，
设点C（m，0），
当|m|＞2时，|0-m|=|m|＞2，
∵|2-0|=2，
∴|0-m|＞|2-0|，
此时点A与点C的“切比雪夫距离”的值为|m|＞2
当|m|≤2时，|0-m|=m|≤2，
∵|0-m|≤|2-0|，
∴此时点A与C的的“切比雪夫距离”的值为2，
综上所述，C为x轴上的动点，那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为2.
故答案为：3；2
【解答】（1）①利用点A、B的坐标及“切比雪夫距离”进行计算即可 ，②设点C（m，0），再利用点A的坐标可得到当|m|＞2时，|0-m|=|m|＞2，可求出此时点A与点C的“切比雪夫距离”的值；当|m|≤2时，|0-m|=m|≤2，可得此时点A与C的的“切比雪夫距离”；综上所述可得符合题意的“切比雪夫距离”的最小值.
（2）利用点M、N的坐标分情况讨论：当0≤a≤1时；当a＞1时；利用点 与 的“切比雪夫距离”为 ，分别表示出d的值即可.
12．（2024八上·鄞州竞赛） 如图，在 中，点 为 的中点， 。
（1） 求证： ；
（2） 若 三边长分别为 ，且 均为整数，求证： 中必有一个是 3 的倍数。
【答案】（1）解：如图所示，在 上取一点 使得 ， 连接 并延长至点 ， 使得 ，连接，
∴AE=EC，
∵点D为AC的中点，
∴，
∴
在 与 中
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）证明：∵，
∴∠ABC=90°，
∵ 三边长分别为 ，
∴a2+b2=c2，且 均为整数
若a、b、c都不是3的倍数，
它们可以表示为3n+1或3n-1，（n为正整数）
∵（3n±1）2=9n2±6n+1，
∴a2+b22（mod3），c21（mod3）
∴a2+b2≠c2，矛盾，
∴a、b、c中至少有一个是3的倍数；
若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，
则a2+b22（mod3），c20（mod3）
∴a2+b2≠c2，矛盾，
∴c不是3的倍数，
∴ a、b中最多有一个是3 的倍数
∴ 中必有一个是3 的倍数
【知识点】等腰三角形的性质；同余定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在 上取一点 使得 ， 连接 并延长至点 ， 使得 ，连接，利用等角对等边可证得AE=EC，利用等腰三角形三线合一的性质可证得，可推出∠BDA=∠BDF，利用SAS可证得△ABD≌△FBD，利用全等三角形的性质可得到，由此可推出，利用直角三角形的两锐角互余去证明，据此可证得结论.
（2）利用勾股定理可证得a2+b2=c2，再分情况讨论：若a、b、c都不是3的倍数，它们可以表示为3n+1或3n-1（n为正整数），利用同余的理论，首先证明a、b、c中至少有一个是3的倍数；若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，即可证得c不是3的倍数，即可得到a、b中最多有一个是3 的倍数，据此可证得结论.
13．（2024八上·鄞州竞赛） 证明： .
【答案】先证明1 ，再利用累乘法即可得证 .
先证明 ，
要证 ，即证
，即证 ，即证2 ，
当n≥3时， ，即得证，
，
【知识点】放缩法；不等式奥数类应用问题
【解析】【分析】通过将每一个因子与相邻因子结合，从而形成望远镜效应，化简乘积并找到上界即可.
1 / 1浙江省宁波市鄞州区艺术实验学校（第十九中学）2024-2025学年第一学期八年级“艺实杯”理科思维挑战赛数学卷
1．（2024八上·鄞州竞赛） 已知一次函数 ，当自变量 的取值范围为 时， 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是　 　。
2．（2024八上·鄞州竞赛） 方程 x2-8[x]+7=0的所有实数解是　 　([x]表示不大于 的最大整数)
3．（2024八上·鄞州竞赛） 为斜边的等腰直角三角形 内一点 使得 ，则 的面积为　 　。
4．（2024八上·鄞州竞赛） 从1-2024的前2024个正整数中随机选数，则至少要挑出　 　个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以这三个数为边长的不等边三角形。
5．（2024八上·鄞州竞赛） 已知 ，令 的最小值为 若 ， 记 的最大值为 ，则 　 　。
6．（2024八上·鄞州竞赛） 如图，在长方形 中，由8个面积均为1的小正方形组成 型模板如图放置，则长方形ABCD的面积为　 　。
7．（2024八上·鄞州竞赛） 正实数 满足 ，则代数式 的最小值为　 　。
8．（2024八上·鄞州竞赛） 方程 有三个实数根，则 　 　.
9．（2024八上·鄞州竞赛）如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是　 　．
10．（2024八上·鄞州竞赛） 不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是　 　.
11．（2024八上·鄞州竞赛）在平面直角坐标系中，对于任意两点 与 的 “切比雪夫距离”，给出如下定义： 若 ，则点 与 的 “切比雪夫距离” 为 ： 若 ，则点 与 的“切比雪夫距离” 为 ；
（1） 已知 ，
①若 的坐标为(3，1)，则点 与 的“切比雪夫距离”为 ；
②若C为x轴上的动点，那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为 ；
（2）已知 ，设点 与 的“切比雪夫距离”为 ，若 ，求 (用含 的式子表示)。
12．（2024八上·鄞州竞赛） 如图，在 中，点 为 的中点， 。
（1） 求证： ；
（2） 若 三边长分别为 ，且 均为整数，求证： 中必有一个是 3 的倍数。
13．（2024八上·鄞州竞赛） 证明： .
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当 时， ，此时 随 增大而增大，
把 代入 得 ，
把 代入 得 ，
由题意得 ，
解得 .
当 时， ，此时 随 增大而减小，
把 代入 得 ，不符合题意.
的取值范围是 .
【分析】当 时， ，此时 随 增大而增大，分别将x=3和x=5代入函数解析式，可得到y的值，再根据 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集，再根据 ，此时 随 增大而减小，综上所述可得到a的取值范围.
2．【答案】1， ， ，7
【知识点】一元一次方程的解；分类讨论
【解析】【解答】解：
，
与 矛盾；
与 矛盾；
与 矛盾；
综上，方程 的所有解为1， ， ，7.
【分析】利用方程可得到x的取值范围，再根据 [x]表示不大于 的最大整数，分情况讨论，分别求出符合题意的x的值.
3．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设 ，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立直角坐标系 ，
，设
，
① ，② ，③
将①代入②，可得 ，
将①代入③， ， ，
将 ，代入①中得，
，
，
或 (舍)，
，
故答案为：.
【分析】设 ，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立直角坐标系 ，设，利用点A、B、C的坐标及已知条件可得到关于x、y、a的方程组，解方程组可表示出x、y的值，再根据x2+y2=1，可得到关于a的方程，解方程求出a2的值，然后利用三角形的面积公式可求出△ACB的面积.
4．【答案】17
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：考虑最不利的情况，先挑出
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，共16 个数，再挑出1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，2 3，24，共24个数，此时，不存在以三个数为边长的不等边三角形.若再挑出 1 个数， 则必存在一个三元数组满足以三个数为边长的不等边三角形.所以至少要挑出17个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以三个数为边长的不等边三角形.
故答案为：17.
【分析】分别挑出两组数各16个和24个，此时，不存在以三个数为边长的不等边三角形.若再挑出 1 个数， 则必存在一个三元数组满足以三个数为边长的不等边三角形.所以至少要挑出17个数才能保证这些数中存在一个三元数组满足存在以三个数为边长的不等边三角形，即可求解.
5．【答案】18
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：根据题意，令 ， ， ，
联立方程组可求得直线 与直线 的交
点为 ，直线 与 的交点
为 ，直线 与 的交点为
再分情况进行分析：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
进而求出6 =18
故答案为：18.
【分析】利用已知条件设 ， ， ，分别两两函数解析式组合，联立方程组，然后求出两个函数的交点坐标，再分情况讨论，可求出6M的值.
6．【答案】
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：根据等角的余角相等，得 .
又 ，
.
.
，
，
设 ，则 ，根据勾股定理，得
则矩形 的面积为 =
故答案为：.
【分析】利用余角的性质可证得，利用AAS可证得△ABE≌△ECF，利用全等三角形的性质可证得AB=CE，BE=CF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ECF∽△FDG，利用相似三角形的对应边成比例，可得到DF与AB的比值，同时可推出DF=FC=BE，设BE=x，可表示出AB的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出矩形ABCD的面积.
7．【答案】
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：可以看着是直角边为a和1的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为b和2的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为c和3的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为d和4的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为e和5的直角三角形的斜边，
∵两点之间线段最短，
∴ 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长
∴ 的最小值
故答案为：17.
【分析】利用几何意义可知可以看着是直角边为a和b的直角三角形的斜边，根据题意，利用两点之间线段最短可得到 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长，利用勾股定理计算即可.
8．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；y=|ax+ b|的图象与性质
【解析】【解答】解：将方程化为 ，
方程有三个实数根可以看作是函数 和函数 的图象有三个交点，
化简绝对值可得函数 ，且函数 的图象过定点(1，0)，
函数图象如下：
由图可知，只有当 过点(-1，1)时，才有三个交点，
，
.
故答案为：.
【分析】将方程化为 ，根据方程有三个实数根，可以看作是函数 和函数 的图象有三个交点，化简绝对值可得到相关的函数解析式，同时可得到函数 的图象过定点(1，0)；分别画出函数图象，利用函数图象可得到只有当 过点(-1，1)时，才有三个交点，将此点代入函数解析式，可得到k的值.
9．【答案】14
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为：．
【分析】作点A关于CM的对称点A'，点B关于DM的对称点B'，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△A'MB'为等边三角形，再利用等边三角形的性质及三角形三边关系，可得到CD的最大值.
10．【答案】
【知识点】解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解： 对一切 都成立，
即 对一切 都成立，
，
只需 ，
，
故答案为：.
【分析】利用已知条件可得到 对一切 都成立，由此可得到，即可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集即可.
11．【答案】（1）3；2
（2）解：∵ ，
当0≤a≤1时，
|2-a-1|=|1-a|=1-a≤1，，
∴此时点 与 的“切比雪夫距离”；
当a＞1时，
|2-a-1|=|1-a|=a-1，，
设，
解之：a≤3，
∴1＜a≤3时，a-1≤，此时点 与 的“切比雪夫距离”为：；
当a＞3时，，此时点 与 的“切比雪夫距离”为d=a-1
∴点 与 的“切比雪夫距离”为
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标
【解析】【解答】解：（1）①∵点A（0，2），点B（3，1）
∵0-3=3，2-1=1，
∴|0-3|＞|2-1|，
∴点 与 的“切比雪夫距离”为3；
②∵C为x轴上的动点，
设点C（m，0），
当|m|＞2时，|0-m|=|m|＞2，
∵|2-0|=2，
∴|0-m|＞|2-0|，
此时点A与点C的“切比雪夫距离”的值为|m|＞2
当|m|≤2时，|0-m|=m|≤2，
∵|0-m|≤|2-0|，
∴此时点A与C的的“切比雪夫距离”的值为2，
综上所述，C为x轴上的动点，那么点A与C“切比雪夫距离”的最小值为2.
故答案为：3；2
【解答】（1）①利用点A、B的坐标及“切比雪夫距离”进行计算即可 ，②设点C（m，0），再利用点A的坐标可得到当|m|＞2时，|0-m|=|m|＞2，可求出此时点A与点C的“切比雪夫距离”的值；当|m|≤2时，|0-m|=m|≤2，可得此时点A与C的的“切比雪夫距离”；综上所述可得符合题意的“切比雪夫距离”的最小值.
（2）利用点M、N的坐标分情况讨论：当0≤a≤1时；当a＞1时；利用点 与 的“切比雪夫距离”为 ，分别表示出d的值即可.
12．【答案】（1）解：如图所示，在 上取一点 使得 ， 连接 并延长至点 ， 使得 ，连接，
∴AE=EC，
∵点D为AC的中点，
∴，
∴
在 与 中
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（2）证明：∵，
∴∠ABC=90°，
∵ 三边长分别为 ，
∴a2+b2=c2，且 均为整数
若a、b、c都不是3的倍数，
它们可以表示为3n+1或3n-1，（n为正整数）
∵（3n±1）2=9n2±6n+1，
∴a2+b22（mod3），c21（mod3）
∴a2+b2≠c2，矛盾，
∴a、b、c中至少有一个是3的倍数；
若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，
则a2+b22（mod3），c20（mod3）
∴a2+b2≠c2，矛盾，
∴c不是3的倍数，
∴ a、b中最多有一个是3 的倍数
∴ 中必有一个是3 的倍数
【知识点】等腰三角形的性质；同余定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）在 上取一点 使得 ， 连接 并延长至点 ， 使得 ，连接，利用等角对等边可证得AE=EC，利用等腰三角形三线合一的性质可证得，可推出∠BDA=∠BDF，利用SAS可证得△ABD≌△FBD，利用全等三角形的性质可得到，由此可推出，利用直角三角形的两锐角互余去证明，据此可证得结论.
（2）利用勾股定理可证得a2+b2=c2，再分情况讨论：若a、b、c都不是3的倍数，它们可以表示为3n+1或3n-1（n为正整数），利用同余的理论，首先证明a、b、c中至少有一个是3的倍数；若c是3的倍数，且a、b都不是3的倍数，即可证得c不是3的倍数，即可得到a、b中最多有一个是3 的倍数，据此可证得结论.
13．【答案】先证明1 ，再利用累乘法即可得证 .
先证明 ，
要证 ，即证
，即证 ，即证2 ，
当n≥3时， ，即得证，
，
【知识点】放缩法；不等式奥数类应用问题
【解析】【分析】通过将每一个因子与相邻因子结合，从而形成望远镜效应，化简乘积并找到上界即可.
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