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2025-2026学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
3.记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，且与交于点，设，则( )
A.
B.
C.
D.
7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处在同一水平面上且三点共线测得建筑物顶部，镇国寺塔顶部的仰角分别为和，在处测得镇国寺塔顶部的仰角为，则镇国寺塔的高度约为参考数据：
A. B. C. D.
8.如图，在立体图形中，若，，是的中点，则下列命题中一定正确的是( )
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面平面
D. 平面平面
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若向量，共线，则，，，必在同一条直线上
B. 若，，为平面内任意三点，则
C. 若点为的重心，则
D. 若向量，满足，且，方向相同，则
10.在直角梯形中，，，，，，以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则( )
A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为
C. 该几何体的体积为 D. 该几何体的表面积为
11.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B.
C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，向量，则在上的投影向量是______注：本题答案用坐标表示．
13.已知，，，则 ______．
14.如图，圆锥的底面半径为，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有______．
圆锥母线与底面所成的角为
圆锥的侧面积为
挖去圆柱的体积为
剩下几何体的表面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求二面角的大小．
16.本小题分
已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，是的中点，，．
求；
求的面积；
求线段的长度．
17.本小题分
已知向量，，，其中．
Ⅰ求及向量，夹角的余弦值；
Ⅱ若向量与向量垂直，求实数的值；
Ⅲ若向量，且向量与向量平行，求实数的值．
18.本小题分
已知函数．
若的最小正周期为．
求的单调递增区间和图象的对称中心；
若，且，求的值；
若在区间上的值域为，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，且，四边形满足，，为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点．
求证：平面平面；
设直线与平面所成的角为，求的最大值；
是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ证明：底面，平面，
，
如图，连接，
底面为正方形，
，
，分别为棱，的中点，
，，
又，，平面，
平面，
平面，
平面平面．
Ⅱ如图，设，，连接，则为线段的中点，
易知平面平面，
由Ⅰ知，平面，平面，
，
为二面角的平面角，
又底面，，
，
，
．
16.
根据正弦定理得，
又，，，
根据余弦定理得，
又，；
；
是中点，
，
．
17.解：Ⅰ由已知可得，，
又，，
所以；
Ⅱ由已知可得，，，
又向量与垂直，
所以，
即，
解得；
Ⅲ由已知可得，，
又与向量平行，，
所以，
解得．
18.若的最小正周期，则，可得，
令，，
解得的单调递增区间为；
令，，解得，，
所以图象的对称中心为．
根据，可得，
因为，所以，
可得
；
当时，，
因为在区间上的值域为，
所以，解得，可得实数的取值范围是．
19.证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，所以．
因为，所以．
因为平面平面，且，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
由知平面，
所以即直线与平面所成的角为，
且，设，则，
则，
则当时，取到最大值．
存在点，使得直线与平面垂直．
在平面中，过点作，垂足为，
因为由已知，，，．
所以，，，得，
又因为平面，所以，且，，平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，，平面，
所以平面．
在中，，
所以．
所以上存在点使得直线与平面垂直，此时线段的长为．
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