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2025-2026学年浙江省宁波市北仑中学1-17班高二（上）月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知样本数据，，，的平均数为，方差为，若样本数据，，，的平均数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线，与平面，，则能使的充分条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.从，，，中任取两个数，分别记作，，则使为整数的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知，是两个垂直的单位向量若，，设向量，的夹角为，则( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知集合，，，是的子集，且，则的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则为纯虚数 D.
10.已知直线：，：，则下列说法正确的是( )
A. 的充要条件为或
B. 若，则
C. 若直线不经过第四象限，则
D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为
11.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点则( )
A. 为的中点时，平面平面
B. 为的中点时，点到平面的距离为
C. 存在点，使得直线与平面所成的角为
D. 为所在直线的动点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件，，，和互斥，和对立，且，，则______．
13.已知，，为的三个内角，，的对边，向量，若，且，则角______．
14.一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“自”“信”“自”“立”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“自”“主”“自”“强”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒已知外部正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，为使内部正四面体在外部正四棱锥内不考虑四棱锥表面厚度可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
若，且的面积为，求；
若，，的平分线交于，求的长．
16.本小题分
棱长为的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．
证明：C.
求
求的长．
17.本小题分
某商店举行促销抽奖活动，在一个不透明袋子中放有个大小质地完全相同的球，其中个为红球，其余均为白球，现从中不放回地依次随机摸出个球，若取到的两个球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到的两个球不同色，则称为不中奖一次抽奖结束后，取出的球放回袋子中，供下一位顾客抽奖每位顾客只有一次抽奖机会．
若，求一次抽奖中奖的概率；
若要求一次抽奖中奖的概率最小．
求；
求两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖的概率．
18.本小题分
如图，，设射线所在直线的斜率为，点在内，于，于．
若，，求的值；
若，求面积的最大值，并求出相应的值；
已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在空间直角坐标系中，点，，分别在，，轴上点，，异于点，且．
当表示面积取得最大值时，求点到平面的距离．
若，动点在线段上含端点，探究：是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
记平面与平面、平面、平面的夹角分别为，，，比较与的大小关系，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，且的面积为，
所以，所以，
由余弦定理得：，
所以，即；
因为的平分线交于，
所以，
即，
所以，
即，所以．
16.解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则，，，，；
证明：，，
，
，
；
由，可知，，，
，
，，
，；
为的中点，，，
，
，
即的长为．
17.记这个红球的编号为，，个白球的编号为，，，，
所以样本空间，，且，共有个样本点，
设事件“一次抽奖中奖”，
所以，，，，，，，，，，，，，，
所以，则；
当时，，
所以时，，
当时，，
综上所述，时，一次抽奖中奖的概率最小．
记事件“两位顾客抽奖至少有一位顾客中奖”，“第位顾客中奖”，
由题意知，，
所以．
18.解：因为，
所以，
当时，的方程为，即，
所以点到直线的距离为
，
所以；
由题意知，直线的方程为，
所以到直线的距离为，
所以
，
所以的面积，
令，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，整理得，
解得或舍负，
所以面积的最大值为，相应的值为；
设，，
，，，，
设直线的倾斜角为，
则，，
因为，的中点为，
所以，解得，
所以，
，
而，
所以，
整理得，
所以
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的取值范围为．
19.不妨设，，，则，且，，，
故，
当且仅当时等号成立，取得最大值，此时，
记点到平面的距离为．
因为，
又，
所以，
解得．
所以，点到平面的距离为．
由题可知，
故．
设，则．
设为平面的法向量，
则，则，即，
可取．
记直线与平面所成的角为，
则，
解得，则．
所以，存在线段的中点满足题意，此时．
结论：，下面给出证明：
同设，，的长度分别为，，，
则．
显然平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则，则，可取，
所以，
同理得，
故有．
要证，
即证，
事实上，有，
化简得，
则式得证，故，
当且仅当即时等号成立，命题得证．
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