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1.5 全称量词与存在量词
【学习目标】
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.(逻辑推理)
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)
【自主预习】
1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同
2.有以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗
3.若p是q的充要条件,则p和q等价,这种说法对吗
4.p:任意两个全等的三角形必相似,其中的“任意”称为什么量词
5.q:存在两个相似的三角形全等,其中的“存在”称为什么量词
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题. (　　)
(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题. (　　)
(3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题. (　　)
(4)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. (　　)
2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　).
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
3.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题:　　　　　　　　　　.
4.若对任意x>3,都有x>a恒成立,则实数a的取值范围是.
【合作探究】
探究1　全称量词命题和存在量词命题
某校为了迎接即将到来的秋季田径运动会,正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生有如下特点:
(1)所有学生都来自高一年级;
(2)至少有30名学生来自高一(2)班;
(3)每一个学生都有固定的表演路线.
问题1:上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗
问题2:“至少”是全称量词吗
问题3:“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题 请改写成相应命题的形式.
问题4:全称量词限制变量的范围吗
1.全称量词和全称量词命题
(1)全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作　　　　,并用符号“　　　　”表示.
(2)全称量词命题
含有的命题叫作全称量词命题.通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示,那么全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为　　　　.
2.存在量词和存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作　　　　,并用符号“　　　　”表示.含有存在量词的命题,叫作.
(2)常见的存在量词还有“　　　　”“　　　　”“　　　　”“　　　　”等.
一、全称量词命题与存在量词命题的判定
例1　下列命题中,是全称量词命题的有　　　　,是存在量词命题的有.(填序号)
①正方形是菱形;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③有的实数是无限不循环小数;④有些正整数是偶数;⑤能被6整除的数也能被3整除;⑥存在x∈R,>1.
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2　判断下列命题的真假:
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;
(3)至少有一个直角三角形不是等腰三角形;
(4) x∈R,x2-3x+2=0;
(5) x,y∈Z,(x-y)2=x2-2xy+y2.
【方法总结】全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
(1)全称量词命题真假的判断:要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出限定集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x0,使p(x0)成立即可,否则,这一存在量词命题就是假命题.
(多选题)下列命题是真命题的是(　　).
A. x∈R,x+≥2
B. x∈R,x2+1=0
C. x∈R,x2+x≥-1
D. x>0,x2=2x
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断真假.
(1) x∈Q,x2=3;
(2)每一个三角形的内角和都是180°;
(3)钝角三角形的高有的在三角形外部;
(4)对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0.
探究2　含有一个量词命题的否定
(1)关于x的方程ax=b都有实数解;
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数.
问题1:判断上述命题是全称量词命题还是存在量词命题.
问题2:你能写出(1)(2)的否定吗
全称量词命题 x∈M,p(x)的否定为　　　　;
存在量词命题 x∈M,p(x)的否定为　　　　.
全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
一、全称量词命题与存在量词命题的否定
例3　写出下列命题的否定并判断其真假:
(1)p: x∈R,x-2≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r: x∈R,x2+3≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
【方法总结】写含有一个量词的命题的否定的方法:(1)一般先明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,然后把命题中的全称量词改成存在量词,把存在量词改成全称量词,同时否定结论.(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,将命题改写成含量词的完整形式,再依据规则写出命题的否定.
二、由含量词命题的真假求参数的范围
例4　(1)已知集合A={x|1≤x≤2},若命题“ x∈A,一次函数y=x+m的图象在x轴上方”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　.
(2)若命题“ x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命题,求实数a的取值范围.
【变式探究】本例(2)中的方程改为“x2+2x+2=m”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
【方法总结】利用含量词命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式,确定参数的取值范围.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.
若“ x∈{x|3≤x≤5},x≥m”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　.
判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.
(1) x∈R,1-x-2≤1;
(2) x∈{x|x是无理数},x2是无理数.
【随堂检测】
1. 命题“存在实数x,使x>1”的否定是(　　).
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
2.(多选题)下列命题是假命题的是(　　).
A. x∈{-1,1},2x+1>0
B. x∈Q,x2=3
C. x∈R,x2-1>0
D. x∈N,|x|≤0
3.(人教A版必修第一册习题1.5第6题改编)已知两个命题:(1)若x>0,则2x+1>5;
(2)若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.
下列说法正确的是　　　　.
①命题(1)的否定为“存在x>0,2x+1≤5”;
②命题(2)是存在量词命题;
③命题(2)的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”;
④命题(1)和(2)的否定都是真命题.
4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.
(1) x∈R,|x|+2≤0;
(2)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立;
(3)每个二次函数的图象都与x轴相交.
参考答案
1.5　全称量词与存在量词
自主预习·悟新知
预学忆思
1.相同,都是p q.
2.这五种表述形式是等价的.
3.正确.若p是q的充要条件,则p q,即p等价于q.
4.全称量词.
5.存在量词.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】A是全称量词命题.
B为存在量词命题,当x=0时,x2=0成立,所以B是真命题.
C是全称量词命题.
D是存在量词命题,但对于任何一个负数x,都有<0,所以D是假命题.故选B.
3.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立
4.{a|a≤3}　【解析】对于任意x>3,都有x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3,故实数a的取值范围是{a|a≤3}.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:相同.
问题2:不是,是存在量词.
问题3:是存在量词命题,可改写为“存在x∈R,使ax2+2x+1=0”.
问题4:全称量词往往会限制变量的范围.
新知生成
1.(1)全称量词　 　(2)全称量词　 x∈M,p(x)
2.(1)存在量词　 　存在量词命题　(2)有些　有一个　对某些
有的
新知运用
例1　①②⑤　③④⑥　【解析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念可知,
①是全称量词命题;
②是全称量词命题;
③是存在量词命题;
④是存在量词命题;
⑤是全称量词命题;
⑥是存在量词命题.
所以是全称量词命题的有①②⑤,是存在量词命题的有③④⑥.
例2　【解析】(1)是真命题.
(2)是假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为,就不能用正有理数表示.
(3)是真命题,如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形.
(4)是真命题,x=2或x=1都能使x2-3x+2=0成立.
(5)是真命题,因为完全平方公式对任意实数都成立,显然对整数成立.
巩固训练1　CD　【解析】当x<0时,x+<0,所以命题“ x∈R,x+≥2”为假命题,故A错误;
由x2≥0,可得x2+1≥1,所以命题“ x∈R,x2+1=0”为假命题,故B错误;
因为x2+x+1=x+2+≥>0,所以命题“ x∈R,x2+x≥-1”为真命题,故C正确;
当x=2时,方程x2=2x成立,所以命题“ x>0,x2=2x”为真命题,故D正确.
巩固训练2　【解析】(1)存在量词命题.由于使x2=3成立的实数只有±,且它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以该命题是假命题.
(2)全称量词命题.由三角形内角和定理可知,该命题是真命题.
(3)存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部,所以该命题是真命题.
(4)全称量词命题.因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以该命题是假命题.
探究2　情境设置
问题1:(1)是全称量词命题;(2)是存在量词命题.
问题2:命题(1)的否定为“有些关于x的方程ax=b无实数解”.
命题(2)的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”.
新知生成
x∈M, p(x)　 x∈M, p(x)
新知运用
例3　【解析】 (1) p: x∈R,x-2<0,假命题.
(2) q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.
(3) r: x∈R,x2+3>0,真命题.
(4) s: x∈R,x3+1≠0,假命题.
例4　(1){m|m>-1}　【解析】(1)当1≤x≤2时,1+m≤x+m≤2+m,因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方,所以1+m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是{m|m>-1}.
(2)由题意得,关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根,当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意;当a≠0时,Δ=4+4a≥0,解得a≥-1且a≠0.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≥-1}.
变式探究　【解析】依题意,得方程x2+2x+2-m=0有实数解,所以Δ=4-4×(2-m)≥0,解得m≥1,故实数m的取值范围是{m|m≥1}.
巩固训练1　{m|m≤5}　【解析】当m≤5时,“ x∈{x|3≤x≤5},x≥m”是真命题.
巩固训练2　【解析】(1)真命题.因为 x∈R,x-2≥0,所以-x-2≤0,1-x-2≤1恒成立,所以这是一个真命题.该命题的否定为 x∈R,1-x-2>1.
(2)真命题.该命题的否定为 x∈{x|x是无理数},x2是有理数.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.故选C.
2.ABC　【解析】当x=-1时,2x+1<0,A是假命题;
x=± Q,B是假命题;
当x=0时,x2-1<0,C是假命题;
当x=0时,|x|=0,D是真命题.
3.①　【解析】因为命题(1)是全称量词命题,所以它的否定为存在x>0,2x+1≤5,①正确;
命题(2)是全称量词命题,②不正确;
命题(2)的否定是存在四边形是等腰梯形,这个四边形的对角线不相等,③不正确;
命题(1)的否定是真命题,命题(2)的否定是假命题,所以④不正确.
故填①.
4.【解析】(1)存在量词命题.
∵ x∈R,|x|≥0,∴|x|+2≥2,
∴不存在x∈R,使|x|+2≤0.故该命题为假命题.
(2)存在量词命题.
∵x2+x+8=x+2+>0,∴该命题为假命题.
(3)全称量词命题.
存在二次函数y=x2+x+1的图象与x轴不相交,故该命题为假命题.

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