资源简介

1.2 空间向量基本定理
【学习目标】
1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象)
2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象)
3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(数学运算、逻辑推理)
【自主预习】
1.平面向量基本定理的内容是什么
2.空间中任意三个不共面的单位向量,都可以构成单位正交基底吗
3.如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的,那么可以用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一个基底. (　　)
(2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则{-a,b,2c}也可构成空间的一个基底. (　　)
(3)若空间中的O,A,B,C四点不共面,则{,,}可以作为空间的一个基底. (　　)
(4)若{a,b,c}不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面. (　　)
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,可以构成空间的一个基底的是(　　).
A.{,,}
B.{,,}
C.{,,}
D.{,,}
3.设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的有序数组为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的有序数组是(　　).
A.(12,14,10)
B.(10,12,14)
C.(14,12,10)
D.(4,3,2)
4.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2T2改编)(多选题) 若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组向量中,能构成空间的一个基底的是(　　).
A.a+2b,b-c,a+2c
B.a+b,b+c,c+a
C.2a,b,c-a
D.a+b,a+b+c,c
【合作探究】
探究1　空间向量基本定理
如图,这是我们所在教室的三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量,那么可以得到三个空间向量.
问题1:图中,,这三个空间向量是不共面的,那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢
问题2:平面向量的基底要求两个基向量不共线,那么构成空间基底的三个向量有什么要求
问题3:空间的基底是唯一的吗
问题4:0能是基向量吗
问题5:基底和基向量是同一个概念吗 有什么区别
1.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
2.基底与基向量
把{a,b,c}叫作空间的一个基底,a,b,c都叫作基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
例1　设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以构成空间的一个基底的向量组有(　　).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【方法总结】判断是否能构成基底的基本思路及方法:①若向量中存在零向量,则不能构成基底;②先假设存在一个向量可以用另外的向量线性表示,即a=λb+μc(λ,μ∈R),再运用空间向量基本定理,建立含有λ,μ的方程组,若有解,则这三个向量共面,不能构成基底,若无解,则这三个向量不共面,能构成基底.
已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否构成空间的一个基底.
探究2　空间向量基本定理的应用
问题1:在空间中如何选择基底
问题2:我们学习过的向量之间的运算有哪些
问题3:数量积的定义是什么 在数量积的运算中经常用到的式子有哪些
用向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量;
(2)用基向量表示出直线的方向向量;
(3)用|a|=求长度,用cos=求夹角;
(4)a=λb a∥b(b≠0),a·b=0 a⊥b(a,b为非零向量),由此证明两直线平行、垂直.
例2　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点.设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量;
(2)求BM的长.
【方法总结】(1)用基底表示向量时要注意:①若基底确定,则要充分利用向量加减法的三角形法则、平行四边形法则以及向量的数乘运算进行表示;②若没给定基底,首先要选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,然后就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.(2)运用空间向量基本定理,可以求空间向量的模、夹角以及证明垂直等.
如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形,AD=AB=2,AA1=1,∠A1AB=∠DAA1=60°,=3,=2,设=a,=b,=c.
(1)用a,b,c表示,;
(2)求AC1的长.
探究3　空间向量的正交分解
如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,向量e1,e2,e3分别为棱AB,AD,AA1上的单位向量.
问题:如何用向量e1,e2,e3表示向量
空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量,且长度都为,那么这个基底叫作单位正交基底,常用　　　　表示.
(2)正交分解:把一个空间向量分解为的向量,叫作把空间向量进行正交分解.
例3　如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.
(1)求证:EF⊥B1C.
(2)求EF与CG所成角的余弦值.
【方法总结】利用空间向量的正交分解解决问题的关键是根据几何体特征寻找单位正交基底,然后用基向量表示其他向量,再根据向量的运算性质求解.
(改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1,DD1的中点,G是棱A1B1上靠近点A1的五等分点,过E,F,G三点的平面α交棱AA1所在的直线于点H,设=λ,则λ=　　　　.
【随堂检测】
1.(多选题)下列命题正确的是(　　).
A.空间中的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c都不是零向量
C.已知{i,j,k}是单位正交基底,则{i+j,j+k,k+i}也可以构成空间的一个基底
D.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
2.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量能与向量a+c,a-c一起构成空间的另外一个基底的是(　　).
A.a
B.b+c
C.2a+c
D.a-2c
3.如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA边上,且=3,N为BC的中点,则=　　　　　.(用a,b,c表示)
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1两两的夹角为60°,AB=AD=1,AA1=2,P是CA1的中点,M是CD1的中点.设=a,=b,=c,用基底{a,b,c}表示以下向量并计算其模:
(1);
(2).
参考答案
1.2　空间向量基本定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
2.不可以,还需满足三个向量两两垂直.
3.可以.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.C　【解析】由题意知,{,,}可以构成空间的一个基底.
3.A　【解析】依题意知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的有序数组是(12,14,10).
4.BC　【解析】因为a+2c=(a+2b)-2(b-c),所以a+2b,b-c,a+2c共面,A不满足题意;
假设a+b,b+c,c+a共面,则存在m,n∈R,使得c+a=m(a+b)+n(b+c)=ma+(m+n)b+nc,
又因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以由空间向量基本定理,可得,该方程组无解,B满足题意;
假设2a,b,c-a共面,则存在λ,μ∈R,使得c-a=2λa+μb,
化简得c=(2λ+1)a+μb,则a,b,c共面,与题设矛盾,故假设不成立,C满足题意;
因为a+b+c=(a+b)+c,所以a+b,a+b+c,c共面,D不满足题意.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:可以.
问题2:三个向量不共面.
问题3:由空间向量基本定理可知,任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,所以空间的基底有无数个,因此不唯一.
问题4:不能.因为0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是0,所以0不能是基向量.
问题5:一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
新知运用
例1　C　【解析】如图所示,
令a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b+c=.由A,B1,C,D1四点不共面可知,向量x,y,z也不共面,同理可得b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,而a,b,x共面.故选C.
巩固训练　【解析】假设,,共面,由向量共面的充要条件知,存在实数x,y,使=x+y成立,∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,
∴此方程组无解,
即不存在实数x,y,使=x+y,∴,,不共面,∴{,,}能构成空间的一个基底.
探究2　情境设置
问题1:(1)三个不共面的非零向量;(2)尽量选择已知夹角和模的向量.
问题2:加法、减法、数乘以及数量积运算.
问题3:a·b=|a||b|cos,在数量积的运算中有两个经常用到的式子:a·a=|a|2和a·b=0 a⊥b(a,b为非零向量).
新知运用
例2　【解析】(1)∵M是PC的中点,∴=(+).
∵=,=-,∴=[+(-)],结合=a,=b,=c,得=[b+(c-a)]=-a+b+c.
(2)∵AB=AD=1,PA=2,∴|a|=|b|=1,|c|=2.
∵AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,∴a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 60°=1.
由(1)知=-a+b+c,
∴=-a+b+c2=(a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c)=×(1+1+4-0-2+2)=,∴||=,即BM的长为.
巩固训练　【解析】(1)=++=++-=++-(+)=++=a+b+c,
=+=+=+(-)=+(+-)=++=a+b+c.
(2)因为=++=++=a+b+c,|a|=2,|b|=2,|c|=1,a·b=0,a·c=2×1×cos 60°=1,b·c=2×1×cos 60°=1,
所以=(a+b+c)2=a2+2a·b+b2+2b·c+2a·c+c2=22+2×0+22+2×1+2×1+12=13,
所以||=,即AC1的长为.
探究3　情境设置
问题:根据向量的平行四边形法则以及向量线性运算,可得=++=2e1+2e2+2e3.
新知生成
(1)两两垂直　1　{i,j,k}　(2)三个两两垂直
新知运用
例3　【解析】(1)设=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底.
因为=+=i+j-k,=+=-i-k,所以·=0,即⊥,故EF⊥B1C.
(2)由(1)知,||=i+j-k==,
又=-=-j,所以||=,
则cos<,>===-.
因为EF与CG所成角的范围为0,,所以其夹角的余弦值为.
巩固训练　　【解析】选择,,为基向量,
则==-+,=+=-,=++=-+λ-.
由题意可知,,,共面,设=x+y,即-+λ-=x(-+)+y-,
所以解得λ=.
随堂检测·精评价
1.BC　【解析】A中忽略了基底必须为三个“不共面的向量”这个限制条件,A错误;
若{a,b,c}为空间的一个基底,则三者中任意两个都不共线,故任何一个都不能为零向量,B正确;
根据空间基底的定义可知,C正确;
任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,三个向量不共线时可能共面,D错误.
2.B　【解析】因为a=(a+c)+(a-c),
所以a与a+c和a-c共面,故A错误;
若b+c与a+c和a-c共面,则存在实数m,n,使b+c=m(a+c)+n(a-c),此时m,n无解,
所以b+c与a+c和a-c不共面,故B正确;
因为2a+c=(a+c)+(a-c),
所以2a+c与a+c和a-c共面,故C错误;
因为a-2c=-(a+c)+(a-c),
所以a-2c与a+c和a-c共面,故D错误.
故选B.
3.-a+b+c　【解析】∵=a,=b,=c,=3,N为BC的中点,
∴=+=+(+)=-++=-a+b+c.
4.【解析】连接AC,AD1(图略).
(1)因为=(+)=(++)=(a+b+c),
所以||2=(a+b+c)2=12+12+22+2×1×1×+2×1×2×+2×1×2×=,
所以||=.
(2)因为=(+)=(+++)=a+b+c,
所以||2=a+b+c2=×12+12+×22+1×1×+×1×2×+1×2×=,
所以||=.

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