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第一章 章末小结
【知识导图】
【题型突破】
空间向量的线性运算
例1　在三棱锥O-ABC中,=a,=b,=c,点M在直线OA上,且OM=2MA,N是BC的中点,则下列结论可能成立的是(　　).
A.=(a+b)
B.=-a+b+c
C.=(+)
D.=-a-c
　空间向量线性运算的技巧
(1)巧用相反向量:向量的三角形法则是解决空间向量的加、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加、减法运算时,注意和向量、差向量的方向,必要时可利用空间向量自由平移的性质获得运算结果.
利用空间向量解决平行与垂直问题
例2　(2022年全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
　判断面面的位置关系,有两种思路:一是利用判定定理判断,二是利用两平面的法向量的关系进行判断.
利用空间向量求空间距离
例3　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,Q为棱PD的中点,PA⊥AD,PA=AB=2.
(1)求证:PA⊥平面ABCD.
(2)求直线PB到平面ACQ的距离.
　(1)求点到平面的距离,常常利用向量法,将其转化为平面外一点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的长度.(2)求直线到平面的距离,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以易于求解为准则.
利用空间向量求空间角
例4　(2024年新高考全国Ⅱ卷)如图,在平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足=,=,将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4.
(1)证明:EF⊥PD.
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
　求空间夹角问题的思路:一是利用夹角的定义,在图形中找出所求的角,解三角形求出所求角;二是建立适当的空间直角坐标系,利用向量法,根据向量的运算求解.注意线线角、线面角、面面角与对应向量满足的关系.本题渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
利用空间向量解决探索性问题
例5　(2021年全国甲卷)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC,CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1.
(1)证明:BF⊥DE.
(2)当B1D为何值时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小
　解决存在性问题的基本策略:通常假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出与条件吻合的数据或事实,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明;若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论,则说明假设不成立,即不存在.本题第二问中通过余弦值的绝对值最大,得到正弦值最小是关键一步,本题渗透了直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养.
【拓展延伸】
空间向量的发展及应用
向量是高中数学新课程中的重要内容,早在19世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象.20世纪初被引入中学数学.我国在1996年高中数学大纲中引入了向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道了力可以表示成向量,他在《力学》一书中记载了“速度”的平行四边形法则,3个世纪以后该法则又被海伦证明.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间向量的结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间向量的性质与向量的运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.
向量在物理中应用广泛,通过本章的学习我们已经有所了解.例如,在日常生活中,你可能有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.向量知识是解决物理问题的有力工具,此外用数学的方法审视相关物理现象,研究相关的物理问题也可使我们对物理问题认识更深刻.
1.空间向量在生活中的应用也非常广泛.如:给定空间一组单位基底,那么任意一个空间向量都可用三元有序实数组(a1,a2,a3)表示,由三元有序实数组(a1,a2,a3)表示的空间向量又称为三维向量.一般地,n元有序实数组(a1,a2,…,an)称为n维向量.n维向量的全体构成的集合,赋予相应的结构后,叫作n维向量空间.定义n维向量空间中A(a1,a2,…,an),B(b1,b2,…,bn)两点间的“距离”dAB=.
例1　某校服公司根据以往制作校服的经验,得出适用于本地区高一男生的四种校服标准型号及相应的测量指标参数值,如表所示:
型号 身高/cm 胸围/cm 腰围/cm 肩宽/cm
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
为了给某中学高一的男生制作校服,该校统计了每名男生的身高、胸围、腰围、肩宽,我们把测量得到的数据按照身高a1,胸围a2,腰围a3,肩宽a4的顺序排列,则每名学生的身材可以用四维向量(a1,a2,a3,a4)表示,并且可以把它看作四维向量空间中的一个点.依据“距离”来选择衣服型号是一种常用的方法,即计算每个向量与标准点的距离,哪个与标准点的距离最近,就选择哪种型号.若某同学的身材点为P(172,95,80,43),试问该同学应该订的校服的最佳型号是哪种
解析 依题意,
dPL=
=,
dPXL=
=,
dPXXL=
=,
dPXXXL=
=,
因为<<<,所以该同学应该订的校服的最佳型号为XL.
2.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现平面上到两定点A,B距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息,解决下面的问题:
例2　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,点E在棱AB上,BE=2AE,动点P满足BP=PE.
(1)若点P在平面ABCD内运动,求点P所形成的阿氏圆的半径;
(2)若点P在长方体ABCD-A1B1C1D1内部运动,F为棱C1D1的中点,M为CP的中点,求点M到平面B1CF的距离的最小值.
解析 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(6,0,0),E(2,0,0).
(1)设P(x,y,0),由|BP|=|PE|,得(x-6)2+y2=3[(x-2)2+y2],
所以x2+y2=12,所以若点P在平面ABCD内运动,则点P所形成的阿氏圆的半径为2.
(2)设点P(x,y,z),由|BP|=|PE|,得(x-6)2+y2+z2=3[(x-2)2+y2+z2],
所以x2+y2+z2=12.
由题意得F(3,3,3),B1(6,0,3),C(6,3,0),
所以=(3,-3,0),=(0,3,-3).
设平面B1CF的法向量为n=(x0,y0,z0),
所以令x0=1,则n=(1,1,1).
由题意得=(x-6,y-3,z),所以点P到平面B1CF的距离h==.
因为3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=(x+y+z)2,
所以-6≤x+y+z≤6,
所以hmin==,
所以点M到平面B1CF的最小距离为.
总之,向量在物理、数学、现代科学技术中的应用非常广泛,在生活、学习中,同学们要注意挖掘空间向量的应用.记住,留心,人生处处是学问!
参考答案
第一章章末小结
题型突破·知方法
例1　BC　【解析】由N是BC的中点,可得=(+)=(b+c),A不正确;
当点M在线段OA上时,由OM=2MA,可得=,则=-=(+)-=-a+b+c,B正确;
当点M在线段OA的延长线上时,由OM=2MA,可得A为OM的中点,则=(+),C正确;
当点M在线段OA上时,可得=-=a-c,
当点M在线段OA的延长线上时,=-=2a-c,
当点M在线段AO的延长线上时,OM=2MA不可能成立,所以D不正确.
综上可得,可能正确的结论为B,C.故选BC.
例2　A　【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,
又EF 平面ABCD,所以EF⊥DD1.
因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以EF∥AC,所以EF⊥BD.
又BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1,
所以EF⊥平面BDD1,
又EF 平面B1EF,
所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确.
如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设AB=2,
则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),
则=(-1,1,0),=(0,1,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(0,0,2),=(-2,2,0),=(-2,2,0).
设平面B1EF的法向量为m=(x1,y1,z1),则有可取m=(2,2,-1),
同理可得平面A1BD的一个法向量为n1=(1,-1,-1),
平面A1AC的一个法向量为n2=(1,1,0),平面A1C1D的一个法向量为n3=(1,1,-1),
则m·n1=2-2+1=1≠0,所以平面B1EF与平面A1BD不垂直,故B错误.
因为m与n2不平行,所以平面B1EF与平面A1AC不平行,故C错误.
因为m与n3不平行,所以平面B1EF与平面A1C1D不平行,故D错误.
例3　【解析】(1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,又PA 平面PAD,所以PA⊥平面ABCD.
(2)因为底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,建立空间直角坐标系Axyz.
因为PA=AB=2,
所以A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),Q(0,1,1),=(2,2,0),=(0,1,1).
设平面ACQ的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,则y=-1,z=1,于是n=(1,-1,1).
因为=(2,0,-2),
所以·n=0,又PB 平面ACQ,
所以PB∥平面ACQ,
则直线PB到平面ACQ的距离即点P到平面ACQ的距离.
因为=(0,0,2),
所以点P到平面ACQ的距离为=,
即直线PB到平面ACQ的距离为.
例4　【解析】(1)由AB=8,AD=5,=,=,得AE=2,AF=4,又∠BAD=30°,所以在△AEF中,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠BAD=16+12-2×4×2×=4,所以AE2+EF2=AF2,所以AE⊥EF,即EF⊥AD,所以EF⊥PE,EF⊥DE,又PE∩DE=E,且PE,DE 平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又PD 平面PDE,所以EF⊥PD.
(2)连接CE,由∠ADC=90°,ED=3,CD=3,得CE2=ED2+CD2=36,所以CE=6.
在△PEC中,PC=4,PE=2,EC=6,故EC2+PE2=PC2,所以PE⊥EC.
由(1)知PE⊥EF,又EC∩EF=E,EC,EF 平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.
又ED 平面ABCD,所以PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,
则E(0,0,0),P(0,0,2),D(0,3,0),C(3,3,0),F(2,0,0),A(0,-2,0),由F是AB的中点,得B(4,2,0),所以=(3,3,-2),=(0,3,-2),=(4,2,-2),=(2,0,-2).
设平面PCD和平面PBF的法向量分别为n=(x1,y1,z1),m=(x2,y2,z2),
则
令y1=2,x2=,得x1=0,z1=3,y2=-1,z2=1,所以n=(0,2,3),m=(,-1,1),
所以|cos|===.
设平面PCD和平面PBF所成的二面角的平面角为θ,则sin θ==,即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为.
例5　【解析】因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,又AB,BC 平面ABC,所以BB1⊥AB,BB1⊥BC,
因为A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,
又BB1∩BF=B,BB1,BF 平面BB1C1C,所以AB⊥平面BB1C1C,
所以BA,BC,BB1两两垂直.
如图,以B为原点,BA,BC,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
所以B(0,0,0),A(2,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1).
由题意设D(a,0,2)(0≤a≤2).
(1)因为=(0,2,1),=(1-a,1,-2),
所以·=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,所以BF⊥DE.
(2)设平面DFE的法向量为m=(x,y,z),
因为=(-1,1,1),=(1-a,1,-2),
所以即
令z=2-a,则m=(3,1+a,2-a).
平面BB1C1C的一个法向量为=(2,0,0),
设平面BB1C1C与平面DFE的二面角的平面角为θ,
则|cos θ|===.
当a=时,2a2-2a+14取得最小值,最小值为,
此时|cos θ|取得最大值,最大值为=,
所以(sin θ)min==,此时B1D=.

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