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高中数学人教 A 版（2019）必修第一册
第一章 1.1 集合的概念
一、单选题
1.（2024 天津南开区统考）下列给出的对象能构成集合的有（ ）
① 某校 2023 年入学的全体高一年级新生；
② 的所有近似值；
③ 某个班级中学习成绩较好的所有学生；
④ 不等式 的所有正整数解.
A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个
2. （2024 湖南株洲阶段练习） 下列元素与集合的关系中, 正确的是 （ ）
A. B. C. D.
3.（2024 湖北仙桃中学月考）一次函数 与 图象的交点组成的集合是（ ）
A. B. C. D.
4.（2024 山东潍坊期中）已知集合 ,若 ,则 （ ）
A.-2 B.0 C.2 D.-1
5.（2024 重庆十八中期中）已知集合 ,则集合 中元素的个数是（ ）
6. （2025 江苏省新海高级中学质检） 集合 用列举法可表示为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
7. （2024 浙江宁波检测） 下列说法正确的是（ ）
A. 最小的两个质数组成的集合为
B. 实数集可以表示为 为所有实数 或
C. 集合 用列举法可表示为
D.集合 “全体正偶数”,用描述法可表示为
8.（2024 甘肃兰州联考）已知集合 ,
,且 ,则下列判断正确的是 （ ）
A. B. C. D.
9.下列四个命题中正确的是（ ）
A. 方程的解集为；
B. 同时满足的整数解的集合为；
C. 由实数，，，，所组成的集合最多含2个元素；
D. 中含有3个元素
三、填空题
10.（2024 广东东莞四中月考）集合 _____
11.（2024 天津八中月考）若 ,用列举法表示集合 _____
12. （2025 湖南师范大学附属中学期中）已知集合 中的元素为自然数,且满足 ,则只有 1 个元素的集合 _____
四、解答题
13. （2025 江苏省新海高级中学质检） 选择适当的方法表示下列集合。
（1）大于 1 且小于 70 的正整数构成的集合 ；
（2）小于 8 的质数组成的集合 ；
（3）函数 图象上的点组成的集合 ；
（4）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合 。
14. （2023 北京朝阳区期末） 已知集合 为非空数集,且同时满足下列条件:
（1） ;
（2）对任意的 ,任意的 ,都有 ；
（3）对任意的 且 ,都有 。
给出下列四个结论: ① ; ② ; ③对任意的 ,都有 ;
④对任意的 ,都有 。
判断上述结论的正确性, 并说明理由。
15. （2025 山东临沂沂水一中开学考试） 设数集 由实数构成,且满足: 若 ,则 。
（1）若 ,试证明 中还有另外两个元素；
（2）判断集合 是不是双元素集合,并说明理由。
一、单选题
1.B
解析：①元素确定（2023级高一新生），可构成集合；②的近似值无明确标准（如1.4、1.41均为近似值），不可构成；③“成绩较好”无明确界定，不可构成；④不等式的正整数解为1、2、3，元素确定，可构成。综上，①④可构成集合，共2个。
2.A
解析：A选项，为自然数集（含0），故，正确；B选项，为实数集，，故错误；C选项，Z为整数集，，错误；D选项，Q为有理数集，是无理数，故，错误。
3.C
解析：联立，解得，交点为点，点集表示为，故选C。
4.A
解析：由，分情况讨论：
若，则，元素重复（违背互异性），舍去；
若，则，，符合集合性质；
若，矛盾，舍去。故。
5.C
解析：计算、时的取值：，，，，，，元素为，共4个。
6.D
解析：解不等式得，又，故，集合为。
二、多选题
7.AD
解析：A选项，最小两个质数为2、3，集合，正确；B选项，实数集表示为是实数或，“为所有实数”表述冗余，错误；C选项，的自然数解为，集合（），错误；D选项，全体正偶数表示为，正确。
8.ABC
解析：为奇数集（），为偶数集（）：
A选项，奇数×奇数=奇数，故，正确；
B选项，奇数×偶数=偶数，故，正确；
C选项，奇数+奇数=偶数，故，正确；
D选项，偶数+偶数=偶数，故（非），错误。
9.BC
解析：A选项，由二次根式和绝对值的非负性，得，即方程的解为，因此解集为，错误；
B选项，解不等式组：
由得；
由得；
所以不等式组的解集为，其整数解组成的集合为，正确；
C选项，由于，，分析，，的关系：
当时，；
当时，；
当时，；
因此三者中至少有两个相等，由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，正确；
D选项，分析且的情况：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当等时，不是自然数；
所以集合，含有4个元素，错误.
三、填空题
10.
解析：解不等式：左半，右半，又，故。
11.
解析：将代入：；解方程得或，集合为。
12.
解析：由且，单元素集合需，故。
四、解答题
13.解：
（1）描述法：且（正整数范围明确，描述法更简洁）；
（2）列举法：小于8的质数为2、3、5、7，故；
（3）点集表示：（含横纵坐标关系）；
（4）第二象限点特征：横坐标负、纵坐标正，故且。
14.解：
① 正确：由，取、，根据条件（2），；
② 错误：由、，得（）；又，由条件（3）得；取、，得；再取、，得，故；
③ 正确：对任意，由得（）；根据条件（2），；
④ 正确：若或，则；若且，由条件（3）得、；结合③，可推广为“（）”，故。
15.
（1）证明：
由（且），得；
由（且），得；
由（且），得（循环）。
故中还有和两个元素。
解：（2）不是双元素集合，理由：
假设是双元素集合，即。由得，可推得三个元素：、、（化简得）。
若为双元素集，需其中两个元素相等：
若，则，判别式，无实根；
若，则，同上无实根；
若，则，同上无实根。
故三个元素互不相等，至少含3个元素，不是双元素集合。

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