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第二章 函数
课标说明
1. 学科地位与教育价值
函数是高中数学的核心内容之一，是描述现实世界变化规律的重要数学模型。它贯穿于代数、几何、概率统计等多个领域，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的关键载体。函数思想贯穿初等数学到高等数学的过渡，为后续学习导数、积分等知识奠定基础。
2. 课程设计理念
以核心素养为导向：通过函数学习，发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数据分析能力。
注重概念本质理解：强调从具体实例中抽象出函数概念，理解函数的“三要素”（定义域、对应法则、值域）及表示方法。
强化数学应用意识：通过实际问题建立函数模型，体会数学与生活的联系，培养解决实际问题的能力。
渗透数学思想方法：如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。
3. 内容结构框架
高中函数部分主要包括：
函数概念与性质：函数定义、表示法、单调性、奇偶性、周期性、对称性等。
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其图像与性质。
函数应用：函数模型建立、方程与不等式求解、优化问题等。
函数与方程、不等式的关系：零点存在定理、二次函数与一元二次方程/不等式的联系。
课标要求：
1. 知识与技能目标
（1）理解函数概念
能从实际问题中抽象出函数关系，理解函数的定义域、值域及对应法则。
掌握函数的三种表示法（解析法、列表法、图像法），并能根据问题选择合适表示方法。
（2）掌握基本初等函数
理解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的定义域、图像及性质（如单调性、奇偶性、周期性）。
能运用函数性质比较大小、求值域或最值。
（3）应用函数解决问题
能建立实际问题的函数模型（如成本问题、增长率问题、运动问题等），并用函数性质分析问题。
能利用函数图像解决方程与不等式问题
2. 过程与方法目标
（1）数学抽象与建模
通过具体实例（如气温变化、人口增长）抽象出函数模型，体会数学抽象的过程。
能根据问题背景选择合适的函数类型（如线性函数、指数函数）进行建模。
（2）逻辑推理与论证
能通过定义证明函数的单调性、奇偶性等性质
理解函数性质之间的逻辑关系（如单调性与导数符号的关系）。
（3）数形结合与直观想象
能画出基本初等函数的图像，并通过图像分析函数性质，
能利用函数图像解决交点、最值等问题
3. 情感态度与价值观目标
（1）体会数学的应用价值
通过函数在物理、经济、生物等领域的应用案例，感受数学的实用性。
（2）培养严谨的科学态度
在函数定义域、性质证明等过程中，强调逻辑严密性，避免概念混淆（如混淆定义域与自然域）。
（3）发展创新意识
鼓励探索函数性质的新方法（如用信息技术工具研究函数图像变化）。
双基解读
2.1函数的概念及其表示
1、函数的概念
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
参考试题
（多选）下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
参考试题：
下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3、函数的定义域
常见函数的定义域
(1)分式函数分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3零的零次方无意义. (4)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(5)指数、对数的底数大于0且不为1 (6)y=tan x的定义域为　
参考试题：
1、函数的定义域为 ．
2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
3．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4、函数的表示
（1）列表法 （2）解析法 （3）图像法
5、求解析式的方法
（1）配凑法.由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
参考试题：
若函数，则（ ）
A． B． C． D．
(2)待定系数法.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
参考试题：
已知是一次函数，且，求的解析式 ．
(3)换元法.已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
参考试题：
若函数，则 ．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
参考试题：
已知函数满足，则函数 ．
(5)赋值法:可以通过令x或y为某个值,让式子只含一个未知量.
参考试题：
已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对任意实数x,y恒成立,且f(0)=1,则f(x)的解析式为　　　　　　.
6、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
参考试题：
1、已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2、设函数f(x)=若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
2.2 函数的单调性与最值
1、函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
2、单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
参考试题（2025·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
3证明函数单调性的方法
（1）定义法：
证明函数单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈I,且x1≠x2;(2)作差求f(x1)-f(x2);(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).
参考试题
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
（2）导数法
参考试题：
[2025·海南海口模拟] 已知函数f(x)=x-ln x,则f(x)的单调递减区间为　　　　.
（3）图象法
参考试题：函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
(4)性质法.
参考试题：（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数
4、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
参考试题：（多选）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；齐次式用分离常数。形如
(2)反解法；利用反函数的性质。
(3)配方法；主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围。
(4)不等式法；利用基本不等式。注意“一正二定三相等”
(5)单调性法；
(6)换元法；（如代数换元、三角换元），要注意新自变量的取值范围。
(7)数形结合法；
(8)导数法.利用函数的导数求极值，从而求出最值。
参考试题：
1、已知函数f(x)=x2-2x-2,x∈[-2,2],则函数f(x)的值域为 (　 )
A.[-3,6] B.[-2,6] C.[2,10] D.[1,10]
2、函数y=的值域为 (　 )
A. B.[2,+∞) C.∪ D.(-∞,2)∪(2,+∞)
变式1、函数的值域为　　　　 若加条件呢？
函数的值域为　　　　
3、已知函数,则f(x)的值域是　　　　
变式1、函数,则f(x)的值域是　　　　
2、函数,则f(x)的值域是　　　　
3、函数,则f(x)的值域是　　　　
4、已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
5、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2.3 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2、函数的奇偶性的判定
（1）定义法（判断函数的奇偶性，首先要注意定义域必须关于原点对称。）
（2）图像法：奇函数关于原点对称；偶函数关于轴对称。
参考试题：
判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3）
3、奇偶性的性质
（1）奇函数在原点有定义
参考试题
定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．则在上的解析式；
（2）偶函数
参考试题：已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ．
4、利用奇偶性求函数的解析式
参考试题
已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，
2.4 周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为
参考试题：
1、设是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ， ．
2、（2025·青海海东·三模）（多选）定义在上的函数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．2为的一个周期
2.5对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即；
（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
2．不同函数对称性
（1）函数与的图像关于直线成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线对称。
参考试题：
1、（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
2、（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
2.5 幂函数
1、幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
2、幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
参考试题：给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
2.6 一元二次方程
1、
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
参考试题：设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ．
2、二次函数及其性质
1、二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
2、二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
参考试题：在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.7 一元二次、分式、绝对值不等式
1、解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根
二次函数 的图象
的解集
的解集
2、解分式不等式
① ②
③ ④
3、解单绝对值不等式
或，
参考试题：不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
2.8 指数与指数函数
1．根式
（1）次方根的概念与性质
次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.
性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作.
（2）根式的概念与性质
根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
性质 ①.
②当为奇数时，.
③当为偶数时，.
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
.
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）实数指数幂
对于任意实数，均有下面的运算性质：
①；②；③.
参考试题：求值： ； .
3、 指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
【注】指数函数的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数与的图象关于y轴对称
过定点 过定点，即时，
图象
单调性 在上是减函数 在上是增函数
函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时，
底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大 小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
参考试题：已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是 ，实数b的取值范围是 ．
2.5 对数与对数函数
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数式与指数式的互化：.
（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.
2．对数的性质
（1）1的对数等于0，即；
（2）底数的对数等于1，即；
（3）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：（1）；
（2）； （3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式的变形及推广：
（1）；（2）；
参考试题：（多选）下列关系表示正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若设，且，则
D．若，则
5．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
6．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质 过定点，即时，
在上是减函数 在上是增函数
当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；
当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
7．反函数(对数函数与指数函数的关系）
指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
参考试题：（多选）已知的定义域为，值域为，则（ ）
A．若，则
B．对任意，使得
C．对任意的图象恒过一定点
D．若在上单调递减，则的取值范围是
2.6 函数的图象
1、函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2、描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
参考试题：函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
3、 图象变换
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
（3）伸缩变换
①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)
②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)
③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)
④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)
（4）翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
【常用结论】
（1）若恒成立，则的图象关于直线对称．
（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．
（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．
（4）函数与函数的图象关于直线对称．
（5）函数与函数的图象关于直线对称．
（6）函数与函数的图象关于点中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
参考试题：定义在区间上的函数的图象如下图所示，
则的图象为（ ）
A．B．C． D．
2.7 函数与方程
1、 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
参考试题：（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R B．在R上单调递增
C． D．的零点大于
2、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
①确定零点的初始区间，验证
②求区间的中点
③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
参考试题：设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125 0.4375 0.75 2
0.49 3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.8 函数的模型及其应用
1 三种函数模型的性质
三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
参考试题：图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快
B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快
C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢
D．以上均错误
2 常见的函数模型
常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
参考试题：为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）
与树高y（米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：
①；②；③；④中
（其中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的
是 （填写序号），估计该树生长8年后的树高为 米．
3 解函数模型的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
参考试题：近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示：
5 10 15 20 25
45 50 55 50 45
已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③.
(1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式；
(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？第二章 函数
课标说明
1. 学科地位与教育价值
函数是高中数学的核心内容之一，是描述现实世界变化规律的重要数学模型。它贯穿于代数、几何、概率统计等多个领域，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的关键载体。函数思想贯穿初等数学到高等数学的过渡，为后续学习导数、积分等知识奠定基础。
2. 课程设计理念
以核心素养为导向：通过函数学习，发展学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数据分析能力。
注重概念本质理解：强调从具体实例中抽象出函数概念，理解函数的“三要素”（定义域、对应法则、值域）及表示方法。
强化数学应用意识：通过实际问题建立函数模型，体会数学与生活的联系，培养解决实际问题的能力。
渗透数学思想方法：如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。
3. 内容结构框架
高中函数部分主要包括：
函数概念与性质：函数定义、表示法、单调性、奇偶性、周期性、对称性等。
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其图像与性质。
函数应用：函数模型建立、方程与不等式求解、优化问题等。
函数与方程、不等式的关系：零点存在定理、二次函数与一元二次方程/不等式的联系。
课标要求：
1. 知识与技能目标
（1）理解函数概念
能从实际问题中抽象出函数关系，理解函数的定义域、值域及对应法则。
掌握函数的三种表示法（解析法、列表法、图像法），并能根据问题选择合适表示方法。
（2）掌握基本初等函数
理解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的定义域、图像及性质（如单调性、奇偶性、周期性）。
能运用函数性质比较大小、求值域或最值。
（3）应用函数解决问题
能建立实际问题的函数模型（如成本问题、增长率问题、运动问题等），并用函数性质分析问题。
能利用函数图像解决方程与不等式问题
2. 过程与方法目标
（1）数学抽象与建模
通过具体实例（如气温变化、人口增长）抽象出函数模型，体会数学抽象的过程。
能根据问题背景选择合适的函数类型（如线性函数、指数函数）进行建模。
（2）逻辑推理与论证
能通过定义证明函数的单调性、奇偶性等性质
理解函数性质之间的逻辑关系（如单调性与导数符号的关系）。
（3）数形结合与直观想象
能画出基本初等函数的图像，并通过图像分析函数性质，
能利用函数图像解决交点、最值等问题
3. 情感态度与价值观目标
（1）体会数学的应用价值
通过函数在物理、经济、生物等领域的应用案例，感受数学的实用性。
（2）培养严谨的科学态度
在函数定义域、性质证明等过程中，强调逻辑严密性，避免概念混淆（如混淆定义域与自然域）。
（3）发展创新意识
鼓励探索函数性质的新方法（如用信息技术工具研究函数图像变化）。
双基解读
2.1函数的概念及其表示
1、函数的概念
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
参考试题
（多选）下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【详解】选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义．【答案】ABD
2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
参考试题：
下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；
对B，和的定义域均为，且，故B正确；
对C，的定义域为，的定义域为，故C错误；
对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误.故选：B.
3、函数的定义域
常见函数的定义域
(1)分式函数分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3零的零次方无意义. (4)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(5)指数、对数的底数大于0且不为1 (6)y=tan x的定义域为　
参考试题：
1、函数的定义域为 ．
【详解】由函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.故答案为：.
2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【详解】由函数的定义域为得，解得．【答案】
3．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【详解】在中，，∴，∴的定义域是，
故在中，解得，∴的定义域是.故选：A.
4、函数的表示
（1）列表法 （2）解析法 （3）图像法
5、求解析式的方法
（1）配凑法.由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
参考试题：
若函数，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，且，所以．
故选：D.
(2)待定系数法.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
参考试题：
已知是一次函数，且，求的解析式 ．
【详解】设，则，
故，所以，解得或，
故或.故答案为：或.
(3)换元法.已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
参考试题：
若函数，则 ．
【详解】利用换元法即可得到答案．
令，则，，
∴函数的解析式为．故答案为：．
(4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
参考试题：
已知函数满足，则函数 ．
【详解】由题知用代换得到，，
与两式联立，消去，解得．
故答案为：.
(5)赋值法:可以通过令x或y为某个值,让式子只含一个未知量.
参考试题：
已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对任意实数x,y恒成立,且f(0)=1,则f(x)的解析式为　　　　　　.
【详解】令x=y,可得f(0)=f(x)-x(2x-x+1),整理可得f(x)=x2+x+1.
6、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
参考试题：
1、已知函数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】由分段函数的解析式可得：，
故选：A.
2、设函数f(x)=若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
【详解】作出函数f(x)=的图象,如图所示,
由图可知,函数f(x)=在R上单调递增,所以由f(a2-3)>f(a-1),可得a2-3>a-1,即a2-a-2>0,解得a<-1或a>2,则实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选A.
2.2 函数的单调性与最值
1、函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
2、单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
参考试题（2025·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
【解答过程】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.故选：B.
3证明函数单调性的方法
（1）定义法：
证明函数单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2∈I,且x1≠x2;(2)作差求f(x1)-f(x2);(3)变形(通常是因式分解和配方);(4)定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);(5)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性).
参考试题
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
【详解】(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,可得f(1)=2f(1),解得f(1)=0.
(2)证明:因为f(xy)=f(x)+f(y),所以f(xy)-f(x)=f(y),
任取x1>x2>0,则>1,当x>1时,f(x)>0,则f>0,
则f(x1)-f(x2)=f>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
（2）导数法
参考试题：
[2025·海南海口模拟] 已知函数f(x)=x-ln x,则f(x)的单调递减区间为　　　　.
【详解】f(x)=x-ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-=.令f'(x)=<0,得0（3）图象法
参考试题：函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【详解】作出函数的图象，如图所示．
由图象得的单调递增区间为和．
【答案】C
(4)性质法.
参考试题：（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数
【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立．【答案】BCD
4、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
参考试题：（多选）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增．
【答案】BD
5．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；齐次式用分离常数。形如
(2)反解法；利用反函数的性质。
(3)配方法；主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围。
(4)不等式法；利用基本不等式。注意“一正二定三相等”
(5)单调性法；
(6)换元法；（如代数换元、三角换元），要注意新自变量的取值范围。
(7)数形结合法；
(8)导数法.利用函数的导数求极值，从而求出最值。
参考试题：
1、已知函数f(x)=x2-2x-2,x∈[-2,2],则函数f(x)的值域为 (　 )
A.[-3,6] B.[-2,6] C.[2,10] D.[1,10]
2、函数y=的值域为 (　 )
A. B.[2,+∞) C.∪ D.(-∞,2)∪(2,+∞)
变式1、函数的值域为　　　　 若加条件呢？
函数的值域为　　　　
3、已知函数,则f(x)的值域是　　　　
变式1、函数,则f(x)的值域是　　　　
2、函数,则f(x)的值域是　　　　
3、函数,则f(x)的值域是　　　　
4、已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【解答过程】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.
故选：C.
5、函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】换元法，令，得到，从而得到函数值域.
【解答过程】令，则，
则，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以的值域为.
故选：D.
2.3 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2、函数的奇偶性的判定
（1）定义法（判断函数的奇偶性，首先要注意定义域必须关于原点对称。）
（2）图像法：奇函数关于原点对称；偶函数关于轴对称。
参考试题：
判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3）
【详解】（1）的定义域关于原点对称，，则，则是奇函数．
（2）对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
（3）当时，，而当时，函数无意义，故是非奇非偶函数
3、奇偶性的性质
（1）奇函数在原点有定义
参考试题
定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．则在上的解析式；
【详解】（1）时，，则，
因为奇函数，则；因的最小正周期为，则，
又，则，则
（2）偶函数
参考试题：已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ．
【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或．
4、利用奇偶性求函数的解析式
参考试题
已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，
【分析】根据条件得到时，，又，求出答案.
【详解】当时，，故，又是定义在上的奇函数，
故，所以，故.故答案为：
2.4 周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为
参考试题：
1、设是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ， ．
【详解】解析：，，
故答案为：；
2、（2025·青海海东·三模）（多选）定义在上的函数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．2为的一个周期
【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确.故选：ACD
2.5对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即；
（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
2．不同函数对称性
（1）函数与的图像关于直线成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线对称。
参考试题：
1、（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以，
即， 所以的图象关于点成中心对称，所以.
又因为为偶函数，所以，
即，所以的图象关于直线对称，所以.故选：D.
2、（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【详解】因为，则为奇函数，所以的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．故选：A
2.5 幂函数
1、幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
2、幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
参考试题：给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）


A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.故选：C
2.6 一元二次方程
1、
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
参考试题：设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ．
【详解】因为关于的一元二次方程的两个实根分别为、，
则，解得，
所以，，
又，即，解得或（舍去）；
故答案为：
2、二次函数及其性质
1、二次函数
①一般式：()，对称轴是
顶点是；
②顶点式：()，对称轴是顶点是；
③交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点
2、二次函数的性质
①函数的图象关于直线对称。
②时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值
参考试题：在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】若，则，，A可能；
若，则的图象开口向下，过点，对称轴为，
的图象过点和，且，B可能；
若，则的图象开口向上，对称轴为，与轴有两个交点，过点，
的图象过点和，且，C不可能；
若，则的图象开口向上，与轴没有交点，过点，对称轴为，
的图象过点和，且，D可能．故选：C.
2.7 一元二次、分式、绝对值不等式
1、解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根
二次函数 的图象
的解集
的解集
2、解分式不等式
① ②
③ ④
3、解单绝对值不等式
或，
参考试题：不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【详解】，
当时，不等式显然不成立；
当时，，所以原不等式，解得.
综上，原不等式的解集为.故选：C
2.8 指数与指数函数
1．根式
（1）次方根的概念与性质
次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.
性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作.
（2）根式的概念与性质
根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
性质 ①.
②当为奇数时，.
③当为偶数时，.
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
.
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）实数指数幂
对于任意实数，均有下面的运算性质：
①；②；③.
参考试题：求值： ； .
【详解】；.
故答案为：2；
3、 指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
【注】指数函数的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数与的图象关于y轴对称
过定点 过定点，即时，
图象
单调性 在上是减函数 在上是增函数
函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时，
底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大 小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
参考试题：已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是 ，实数b的取值范围是 ．
【详解】当时，如图1，由图象上下平移的可能情况，可知函数的图象不可能同时过第一、二、四象限；当时，满足条件，如图2，所以，得．
2.5 对数与对数函数
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数式与指数式的互化：.
（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.
2．对数的性质
（1）1的对数等于0，即；
（2）底数的对数等于1，即；
（3）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：（1）；
（2）； （3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式的变形及推广：
（1）；（2）；
参考试题：（多选）下列关系表示正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若设，且，则
D．若，则
【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确；
对于B，由，得，故，所以B正确；
对于C，设，取对数得.所以.所以C正确；
对于D，因为，所以，所以，所以D错误.故选：ABC.
5．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
6．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质 过定点，即时，
在上是减函数 在上是增函数
当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；
当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
7．反函数(对数函数与指数函数的关系）
指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
参考试题：（多选）已知的定义域为，值域为，则（ ）
A．若，则
B．对任意，使得
C．对任意的图象恒过一定点
D．若在上单调递减，则的取值范围是
【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立，
所以判别式，即，
所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确；
对于B，若，即，
化简，
故解得，故B错误；
对于C，，因为与无关，所以，
，故定点为，故C正确；
对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减，且，即，解得，故.故D正确.故选：ACD
2.6 函数的图象
1、函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2、描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
参考试题：函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【详解】函数与都是偶函数，其中，，
在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D
3、 图象变换
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
（3）伸缩变换
①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)
②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)
③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)
④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)
（4）翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
【常用结论】
（1）若恒成立，则的图象关于直线对称．
（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．
（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．
（4）函数与函数的图象关于直线对称．
（5）函数与函数的图象关于直线对称．
（6）函数与函数的图象关于点中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
参考试题：定义在区间上的函数的图象如下图所示，
则的图象为（ ）
A．B．C． D．
【详解】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象，
再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象.故选：B.
2.7 函数与方程
1、 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
参考试题：（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R B．在R上单调递增
C． D．的零点大于
【详解】函数单调递增，且值域为单调递增，且值域为，
所以单调递增且值域为R，故A正确；在上单调递增，故B错误；
，故C正确；，
因为单调递增，所以的零点大于，故D正确．故选：ACD．
2、二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
①确定零点的初始区间，验证
②求区间的中点
③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
参考试题：设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125 0.4375 0.75 2
0.49 3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确.
2.8 函数的模型及其应用
1 三种函数模型的性质
三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
参考试题：图（1）（2）（3）分别是函数和在不同范围内的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．由图（1）可知函数的图象增长得越来越快
B．由图（3）可知函数的图象增长得越来越快
C．在（0，2）范围内函数的图象比的图象增长得慢
D．以上均错误
【详解】由图易知C错误；函数的图象增长速度越来越快，的图象增长速度一直不变，均匀增长，故A错误，B正确．
2 常见的函数模型
常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
参考试题：为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t（年）
与树高y（米）之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：
①；②；③；④中
（其中a为正的常数），生长年数与树高的关系拟合最好的
是 （填写序号），估计该树生长8年后的树高为 米．
【详解】由散点图的走势，知模型①③不合适．
曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②；③；④，当时，代入④中，得，与图不符，易知拟合最好的是②，将代入②式，得（米）．
故答案为：②；
3 解函数模型的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
参考试题：近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示：
5 10 15 20 25
45 50 55 50 45
已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③.
(1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式；
(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？
【详解】（1）由表格中的数据知，随着x的增大，先增后减，
①③函数模型描述的都是单调函数，不符合该数据模型，所以选择函数模型②：，
由，可得，解得，因为，解得，
则日销售量与时间x的关系式为.
（2）因为第5天的日销售收入为459元，
则，解得，所以，
由（1）知，
则.
（3）当，时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当，时，单调递减，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值元.
所以该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元.

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