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第03章 导数及其应用
课标说明
在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础、通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.
课标要求
1.导数概念及其几何意义
（1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.
（2）通过函数图像直观地理解导数的几何意义.
2.导数的运算
（1）能根据导数定义求简单幂函数的导数.
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f(ax+b）]的导数.
（3）会使用导数公式表.
3.导数在研究函数中的应用
（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
（2）结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区同上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
4.生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解
决实际问题中的作用.
双基解读
3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
1、平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
如何求函数的平均变化率
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
参考试题
函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4
【详解】在区间上的平均变化率为.故选：D
2、导数的概念
（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
（2）定义法求导数步骤：一差二比三极限
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
参考试题
设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以故选：B
3 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
参考试题
若曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】定义域为，，则，
则，即在处的切线的斜率为.故选：B
4 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
参考试题
已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，则.故选：B
5 导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
参考试题
若函数，则 ．
【详解】由，，则.故答案为：.
6 曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
参考试题
已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对求导：.
将代入中，可得切线的斜率.
已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为.
将其化简为一般式： ，
的图象在点处的切线方程是.故选：D.
（3）公切线： 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
参考试题
（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【详解】解法一：令，，则，设直线与的切点为，则切线方程为，即，
又因为，所以，解得，，所以切线方程为，
令，则，
设直线与的切点为，所以 ①，
又因为切点在直线上，所以，即 ②，
由①和②可得，所以，解得．
解法二：设切点分别为，，
．∴，．
同理．∴，∴，∴．故选：B．
7、 距离最值转化为相切问题
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
参考试题
（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
【详解】由得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
则作出和图像如图：
则曲线上任意一点M到直线的最小距离，
即为斜率为3的切线的切点到直线的距离；
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，即切点为，
所以切点到直线的距离为.
故答案为：.
3.2导数与函数的单调性
1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件 恒有 结论
函数在区间上可导 在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
参考试题
已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

B． C． D．
【详解】由图可知在上单调递减，在上单调递增，
则的切线斜率在上递减，在上递增，选项A符合题意；
选项B，的切线斜率在上递增，在上递减，不符合题意；
选项C，的切线斜率在上递减，不符合题意；
选项D，的切线斜率在上递增，不符合题意.故选：A．
2 求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
参考试题
（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
【详解】因为，，
令，得，解得，
所以的单调递减区间是.故答案为：
3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，
解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，
解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
参考试题
已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.故选：A.
4 含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
参考试题
1、（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
【详解】（1）当时，，求导得：，
则，，
则在处的切线方程：，即；
（2）由求导得：，
①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；
②当时，由，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
所以在有最小值，为,无最大值.
（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
2、（2025·新疆·模拟预测）已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
【详解】（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
3、（2025·贵州黔东南·三模）设函数．
(1)若，试求函数的极值；
(2)设，讨论的单调性．
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
所以，令有，
由有，有，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2）由，
所以的定义域为，
所以，令，
当时，，，所以在单调递减；
当时，令有，，
所以，
所以由有，，有，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
综上有：当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
3.3 导数与函数的极值、最值
1、 函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
参考试题
（2025·四川·三模）函数的极小值是 .
【详解】由题意可得，
当或时，，则在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故.故答案为：.
2 函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
参考试题
已知函数在时取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间上的最小值．
【详解】（1），由题意得，
即，解得，故，
令得或，令得，
故为极小值点，满足要求；
（2）由（1）可知，，
或时，，时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由（1）知为极小值点，，
又，，
显然，故在区间上的最小值为-8
3 函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
参考试题
已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
【详解】（1）定义域，令，，
0 2
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减
当时，有极小值，极小值为；
当时，有极大值，极大值为．
（2）
0 2 3
0 0
16 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减
所以，.．
4、根据函数的极值（点）求参数
在函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
参考试题
（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由，求导可得，
由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解，
即方程存在唯一解，
令，求导可得，由，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，则，当时，，
易知当，即时，方程存在唯一解，
当时，，易知方程的解为，
由当时，，，则，同理可得当时，，
所以此时函数无极值点，不符合题意；
当时，，易知函数在上单调递增，符合题意.
故选：B.
3.4比较大小
1、利用指数幂的运算与性质：
（1）利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
（2）进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
参考试题
1．设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由函数在上是单调递减函数，则，即
由函数在上是单调递增函数，则，即
所以 故选：A
2．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】∵，∴，∴，
又∵，∴，∴；
又，且，
∴，∴，∴.故选：C
2、利用对数（函数）的运算与性质
（1）利用对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
（2）进行对数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．
（3）对数运算性质：
参考试题
1．（24-25高三上·广东广州·期末）设，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由于，故，由于，故，
由于，故，因此，故选：D
2．（2025·江西·模拟预测）已知，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【详解】由对数的运算性质，可得，
则；又由，则，
因为，可得，所以，所以.故选：A.
3、幂、指、对综合（含利用媒介数）
参考试题
1．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由幂函数为增函数，得；
由指数函数为减函数，得；
由对数函数为减函数，得.
所以.故选：A.
2．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，则，
，
则，所以.故选：B.
4、构造函数之指数型构造
指数型构造特征：
1、多以e为底数，构造+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小
2、构造对数幂型：，比较常见的构造式：
参考试题
1．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】易知，，构造函数，
求导，易知当时，，单调递增；
所以，所以，所以，故选：A
2．（23-24高三下·江西赣州·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，即，所以，即；
令，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，即，所以，即.所以.故选:.
5、 构造函数之对数型构造
参考试题
1．（23-24高三上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
【详解】设，则，
当时，则，可得，
可知在上单调递减，
因为，，，
且，则，所以．
故选：D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，所以，
当且仅当时取等号，则当时，，
即，所以；
因为，故，当且仅当时等号成立，
故，故．
综上可知．故选：B．
6、构造函数之三角型构造
三角线型构造特征：
构造sinx+kx+b或cosx+kx+等形式函数，求导，判断单调性比大小
参考试题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，构造，，则，
所以在上单调递增，故，即，故．
由，构造，，则，
所以在上单调递增，故，即，故．
综上，．
故选:D．
7、放缩法
（1）；
（2）（），当时取等号；变式：,当时取等号；
（3）（），当时取等号；变式：；
（4）（），当时取等号；
（5）（），当时取等号
参考试题
已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，，
所以．
因为，，
所以．综上可知，．故选：B．
3.5不等式及函数中的恒成立和有解问题
1、一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题
参考试题
1．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，，依题意可得，恒成立，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上可得的取值范围是.故选：B
2．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
【详解】因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
又当时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以实数a的最小值为.
故答案为：.
2、一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题
参考试题
1．（23-24高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根，
所以，即，解得或，
故选：D.
2．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题，，，即，即在上有解，
设，则，，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，则，所以.故选：B.
3、基本不等式中的恒成立和有解问题
参考试题
1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为正实数,满足，所以，
则：，
当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以．故选：B．
4、函数不等式的恒成立和有解问题
参考试题
（24-25高三上·广东·期末）对任意的,（且）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可得：.
因为若，当时，，，则不能恒成立.
当时，单调递增，单调递减，要使在上恒成立，须有：
.
所以实数的取值范围为：.故选：C
5、导数中单变量恒（能）成立问题
（1）、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
参考试题
已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意得在区间上有解，
可转化为，令，则，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
因此要使得在区间上有解，只需满足，即.
故选：B.
（2）、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
参考试题
（2025·湖南长沙·三模）若函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】①当时，，显然在上是增函数，
当时，，不合题意；
②当时，，符合题意；
③当且时，恒成立，
故只需时，恒成立．
若，则，故不合要求；
若，则，，显然这是一个增函数，
则，故函数在上单调递增，
则，故符合题意.
综上，可得．故选：C．
（3）等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
参考试题
若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立，
设，则单调递减，
而在上恒成立，即在上恒成立，所以.故选：C.
6、导数中双变量恒（能）成立问题
双变量问题与值域关系
（1）、第1类.“任意=存在”型
，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即.
其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高.
（2）第2类.“存在=存在”型
，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即.
其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.
（3）、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型
，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型.
（4）、第4类.型.
由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值.
上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域.
参考试题
（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，对任意恒成立，即，
令，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
，即，，又由切线放缩可知，，，即，
所以的最大值为.故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将恒成立参变分离求得，再根据切线放缩得，得解.
7、导数中双函数恒（能）成立问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
参考试题
（23-24高三上·江苏南通·月考）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】函数，因为，，所以，
故在上单调递增，所以.
又，所以在上也是单调递增，所以.
因为对任意的，总存在，使成立，等价于，
所以，解得，故实数a的范围是.故选：D.第03章 导数及其应用
课标说明
在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础、通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.
课标要求
1.导数概念及其几何意义
（1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.
（2）通过函数图像直观地理解导数的几何意义.
2.导数的运算
（1）能根据导数定义求简单幂函数的导数.
（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数[仅限于形如f(ax+b）]的导数.
（3）会使用导数公式表.
3.导数在研究函数中的应用
（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
（2）结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区同上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.
4.生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解
决实际问题中的作用.
双基解读
3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
1、平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
如何求函数的平均变化率
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
参考试题
函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4
【详解】在区间上的平均变化率为.故选：D
2、导数的概念
（1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
（2）定义法求导数步骤：一差二比三极限
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
参考试题
设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
参考试题
若曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
4 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
参考试题
已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5 导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
参考试题
若函数，则 ．
6 曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
（2）过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
参考试题
已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（3）公切线： 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
参考试题
（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．e
7、 距离最值转化为相切问题
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
参考试题
（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
3.2导数与函数的单调性
1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件 恒有 结论
函数在区间上可导 在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
参考试题
已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

B． C． D．
2 求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
参考试题
（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，
解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，
解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
参考试题
已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4 含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
参考试题
1、（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
2、（2025·新疆·模拟预测）已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
3、（2025·贵州黔东南·三模）设函数．
(1)若，试求函数的极值；
(2)设，讨论的单调性．
导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
3.3 导数与函数的极值、最值
1、 函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
参考试题
（2025·四川·三模）函数的极小值是 .
2 函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
参考试题
已知函数在时取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间上的最小值．
3 函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
参考试题
已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
4、根据函数的极值（点）求参数
在函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
参考试题
（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.4比较大小
1、利用指数幂的运算与性质：
（1）利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
（2）进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
参考试题
1．设，，，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2、利用对数（函数）的运算与性质
（1）利用对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
（2）进行对数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．
（3）对数运算性质：
参考试题
1．（24-25高三上·广东广州·期末）设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江西·模拟预测）已知，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
3、幂、指、对综合（含利用媒介数）
参考试题
1．（2025·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·福建龙岩·月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4、构造函数之指数型构造
指数型构造特征：
1、多以e为底数，构造+kx+b等形式函数，求导，判断单调性比大小
2、构造对数幂型：，比较常见的构造式：
参考试题
1．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·江西赣州·月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5、 构造函数之对数型构造
参考试题
1．（23-24高三上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6、构造函数之三角型构造
三角线型构造特征：
构造sinx+kx+b或cosx+kx+等形式函数，求导，判断单调性比大小
参考试题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7、放缩法
（1）；
（2）（），当时取等号；变式：,当时取等号；
（3）（），当时取等号；变式：；
（4）（），当时取等号；
（5）（），当时取等号
参考试题
已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3.5不等式及函数中的恒成立和有解问题
1、一元二次不等式在实数集和区间上的恒成立问题
参考试题
1．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
2、一元二次不等式在实数集和区间上的有解问题
参考试题
1．（23-24高三上·福建龙岩·月考）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3、基本不等式中的恒成立和有解问题
参考试题
1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、函数不等式的恒成立和有解问题
参考试题
（24-25高三上·广东·期末）对任意的,（且）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、导数中单变量恒（能）成立问题
（1）、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．
③求最值.
参考试题
已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）、分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．
参考试题
（2025·湖南长沙·三模）若函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）等价转化法
当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
参考试题
若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、导数中双变量恒（能）成立问题
双变量问题与值域关系
（1）、第1类.“任意=存在”型
，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即.
其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高.
（2）第2类.“存在=存在”型
，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即.
其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.
（3）、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型
，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型.
（4）、第4类.型.
由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值.
上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域.
参考试题
（2025·山西晋中·模拟预测）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7、导数中双函数恒（能）成立问题
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
参考试题
（23-24高三上·江苏南通·月考）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．

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