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第十讲：基本不等式题题型归纳（提升篇）
1公式再现：
2.公式变形：
3.公式拓展：
①
②
（平方平均数）（算术平均数）（几何平均数）（调和平均数）
③柯西不等式
④权方和不等式
已知，则有(当且仅当时，等号成立)．
题型一：和为定值积最大
例1：已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
例2.若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
例3.若，则当取得最大值时，x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
例4.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
例5：已知，求的最大值。
例6：已知为正数，，则的最大值为？
题型二：积为定值和最小
例7.已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A． B． C． D．3
例8已知，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
例9.若，，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
例10.已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：“1”的代换
例11.若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
例12.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例13.若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
例14.已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例15.已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
例16.已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例17.若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．或 B．或 C． D．
题型四：分离常数
例18.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
例19：设为正数，且，则的最小值？
例20：已知，满足，求的最小值？
题型五：反解代入消元型
例21.已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
例22.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：和积对称，求谁留谁.
例23.若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例24.知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例25.若，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
例26.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：常数代换型与换元法
例27.已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．
例28.已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
例29.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八：平方平均数（当且仅当时=成立）
例30：已知，且，则的最小值？
例31：已知，且，则的最大值？
题型九：因式分解型（如：）
例32.（多选）已知，，，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
例33：已知，且，求的最小值？
例34：（1）已知，且，求的最小值？
（2）已知，且，求的最小值？
题型十：构造齐次式
例35：已知，若不等式恒成立，求实数的最大值？
例36：若对任意满足的正实数，满足，则正整数的取值为 。
题型十一：多次使用基本不等式（取等条件一致或者取等无关联）
例37：已知，则的最小值为 。
例38：已知，，则的最小值为 。
例39：已知，且，则的最小值为 。
例40：已知，则的最小值为 。
例41：已知为正实数，且，则最小值为 。
题型十二：万能“K”法
一般情况下的“万能K法”
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
例42.已知，若，则的最小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
例43.已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型十三　柯西不等式
例44.已知，，求的最值．
例45．实数满足，则的最小值是(　　)
A．－5 B．－6 C．3 D．4
题型十四　权方和不等式
已知，则有(当且仅当时，等号成立)．
例46..若，，则的最小值为________．
例47.已知正数满足，则的最小值为________．
例48.已知正数满足，则的最小值为________．
例49.已知，且，则的最小值为(　　)
A．1 B．3 C．6 D．9第十讲：基本不等式题题型归纳（提升篇）
1公式再现：
2.公式变形：
3.公式拓展：
①
②
（平方平均数）（算术平均数）（几何平均数）（调和平均数）
③柯西不等式
④权方和不等式
已知，则有(当且仅当时，等号成立)．
题型一：和为定值积最大
例1：已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
解析：因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.故选：D
例2.若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
解析：因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立. 故选：A.
例3.若，则当取得最大值时，x的值为（ ）
A．1 B． C． D．
解析：因为，所以，则，
当且仅当时取“=”. 故选：D.
例4.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
解析：由题意，，，
所以，
当且仅当时取“=”. 故选：D.
例5：已知，求的最大值。
解析：.
当且仅当时即时取“=”.
例6：已知为正数，，则的最大值为？
解析：=2
当且仅当时取“=”.
题型二：积为定值和最小
例7.已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（ ）
A． B． C． D．3
解析：∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C
例8已知，则函数的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
解析：由题设，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴函数最小值为.故选：D.
例9.若，，则的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
解析：由基本不等式得，
当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A.
例10.已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析：∵，
∴，当且仅当，即，时取等号.故选：C.
题型三：“1”的代换
例11.若正数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．5 D．6
解析：，当且仅当时等号成立，∴的最小值是5.故选：C
例12.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：因为，所以，∴
，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.
例13.若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：因为，则，又，是正数.
所以，
当取得等号，即且时取等号，
所以的最小值为9，故选：B.
例14.已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解：由可知，
，当，即时，“”成立，故选：A.
例15.已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
解析:令，，则，即，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.
例16.已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：由得：，，，，
（当且仅当时取等号），当恒成立时，.故选：D.
例17.若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．或 B．或 C． D．
解析：因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.故选：A.
题型四：分离常数
例18.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
解析：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C．
例19：设为正数，且，则的最小值？
解析：
当且仅当时等号成立
例20：已知，满足，求的最小值？
解析：
当且仅当即时等号成立.
题型五：反解代入消元型
例21.已知，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
解析：由题意，可知，且，则，
则，
当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.
例22.已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .故选：A.
题型六：和积对称，求谁留谁.
例23.若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为，所以，
由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即
当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.
例24.知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析∵，，，
∴，
∴，当且仅当，即，时“”成立．
故选：A．
例25.若，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
解析：由，且，则，即，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
整理得，即，
因为，所以，所以，解得.故选：D
例26.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：，又，，令，
则，，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．故选：A．
题型七：常数代换型与换元法
例27.已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．
解析：由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号，
∴ 的最小值为6；故选：B.
例28.已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
解：因为，所以，
则，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.故选：B.
例29.对任意正数x，y，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：令，则，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为，故，
故选：B.
题型八：平方平均数（当且仅当时=成立）
例30：已知，且，则的最小值？
解析：
当且仅当，时取等号，
例31：已知，且，则的最大值？
解析：，又
当且仅当时即取等号.
题型九：因式分解型（如：）
例32.（多选）已知，，，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A选项：由均值不等式得，则，
令，，解得，即，，
当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又，
∴，解得，（舍），
当且仅当，时，等号成立，故B正确；
对于C，D选项：令，，则，
则可化为，整理，
∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C错误，D正确.
故选：ABD.
例33：已知，且，求的最小值？
解析：
当且仅当时，即等号成立
例34：（1）已知，且，求的最小值？
（2）已知，且，求的最小值？
解析：（1）
当且仅时，即等号成立
（2）
当且仅当时，即等号成立
题型十：构造齐次式
例35：已知，若不等式恒成立，求实数的最大值？
解析：由恒成立，可得
当且仅当时，即等号成立.
例36：若对任意满足的正实数，满足，则正整数的取值为 。
解析：
当且仅当即时“=”成立
题型十一：多次使用基本不等式（取等条件一致或者取等无关联）
例37：已知，则的最小值为 。
解析：
当且仅当时，等号成立.
例38：已知，，则的最小值为 。
解析：
当且仅当时，等号成立.
例39：已知，且，则的最小值为 。
解析：
当且仅当时，等号成立.
例40：已知，则的最小值为 。
解析：
当且仅当时，等号成立.
例41：已知为正实数，且，则最小值为 。
解析：
当且仅当时，等号成立.
题型十二：万能“K”法
一般情况下的“万能K法”
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
例42.已知，若，则的最小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
解：设，则，∴
∴整理得：，
由得，当且仅当时取“=”.
∴，
解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A.
例43.已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：，，令，
，，当且仅当时取等号，可得，
，，，，的最小值为.故选：A
题型十三　柯西不等式
例44.已知，，求的最值．
解　方法一　由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]＝(3x2＋2y2)≤11.
当且仅当x·＝y·，
即或时等号成立，
于是2x＋y的最大值为，最小值为－.
方法二　由柯西不等式得
|2x＋y|≤＝≤，
当且仅当x·＝y·，
即或时等号成立，
于是2x＋y的最大值为，最小值为－.
例45．实数满足，则的最小值是(　　)
A．－5 B．－6 C．3 D．4
解析　∵实数x，y满足3x2＋4y2＝12，∴＋＝1，
∴(16＋9)≥(2x＋y)2，即－5≤2x＋y≤5，当且仅当3x＝8y，
即时，左边取等号，当时，右边取等号，
∴z＝2x＋y的最小值是－5.
题型十四　权方和不等式
已知，则有(当且仅当时，等号成立)．
例46..若，，则的最小值为________．
答案　＋2
解析　＋＝＋＝＋≥＝，
即2≥，因为x>0，y>0，则6x＋5y≥＋2，
当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
例47.已知正数满足，则的最小值为________．
答案　
解析　≥＝，
当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时取等号．
例48.已知正数满足，则的最小值为________．
答案　27
解析　＝＋≥＝27，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号．
例49.已知，且，则的最小值为(　　)
A．1 B．3 C．6 D．9
答案　D
解析　∵，
∴＝
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．

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