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第十三讲：函数奇偶性知识总结与题型归纳
一：函数的奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
定义的其他形式:
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
二：奇函数、偶函数的性质
（1）奇，偶函数定义域关于原点对称。
（2）奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性一致．偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
（4）奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.偶函数不一定有.
三：判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法
(2)图象法
四：奇偶性的运算
（1）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（2）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（3）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
五：常见的奇偶函数
（1）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
其他：对勾函数：为奇函数
飘带函数： 为奇函数
双绝对值函数：为奇函数;为偶函数
题型一：判断下列函数的奇偶性：
例1：下列关于函数奇偶性说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
例2.判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)；
题型二 奇函数、偶函数的图象
例3.（1）已知奇函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示．
①画出在区间上的图象． ②写出使的的取值集合．
（2）已知偶函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示，试画出在区间上的图象．
例4.已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型三 利用函数的奇偶性求值与求参
例5.若函数是偶函数，定义域为，则＝_____，＝________；
例6.已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例7.已知函数为奇函数，若，则___________．
例8.若函数＝为奇函数，则等于(　　)
A．1 B．2 C． D．－
例9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则( )
A． B． C． D．
例10.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型四： 利用奇偶性求函数的解析式
例11.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
例12.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．
例13.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．3
例14.若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式.
题型五：奇偶性的常用结论
例15.若为奇函数，为偶函数，且定义域相同，则的奇偶性 。
例16.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
例17.已知，且，求.
例18.设函数，且，则等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D.5
例19.已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间上有最小值为________.
题型六：函数奇偶性与单调性
例20.已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例21.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例22.设定义在上的函数和满足：①对任意的，和恒成立；②在上单调递增． 若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例23.定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例24.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型七：抽象函数奇偶性
例25.若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数
例26.．（2021·全国）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B. C. D.
例27.知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
例28．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A． B．是奇函数
C．在上有最大值 D．的解集为第十三讲：函数奇偶性知识总结与题型归纳
一：函数的奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
定义的其他形式:
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
二：奇函数、偶函数的性质
（1）奇，偶函数定义域关于原点对称。
（2）奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性一致．偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
（4）奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.偶函数不一定有.
三：判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法
(2)图象法
四：奇偶性的运算
（1）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（2）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（3）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
五：常见的奇偶函数
（1）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
其他：对勾函数：为奇函数
飘带函数： 为奇函数
双绝对值函数：为奇函数;为偶函数
题型一：判断下列函数的奇偶性：
例1：下列关于函数奇偶性说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
解析：奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，
如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．
故选：B
例2.判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)；
解析：（1）函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．
（2）f(x)的定义域为，关于原点对称．，所以为奇函数．
（3）的定义域为，且关于原点对称，
当时，，则；
当时，，则，故是偶函数．
（4）由得x2=3，解得x=±，即函数f(x)的定义域为，
从而f(x)=＋=0.因此f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
（5）的定义域为.因为，所以是奇函数.
（6）的定义域为，不关于原点对称，所 以既不是奇函数也不是偶函数.
题型二 奇函数、偶函数的图象
例3.（1）已知奇函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示．
①画出在区间上的图象．
②写出使的的取值集合．
（2）已知偶函数的定义域为，且在区间上的图象如图所示，试画出在区间上的图象．
[解]　（1）①因为函数是奇函数，所以y＝在上的图象关于原点对称．由在上的图象，可知它在上的图象，如图所示．
②由图象知，使的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
（2）因为函数是偶函数，所以在上的图象关于y轴对称．由在上的图象，可知它在上的图象，如图所示．
例4.已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
解析：有图可得，当时，，，；
当时，，，故.
所以当时，不等式的解集为.
又因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，
由奇偶性可知，当时，不等式的解集为，
所以不等式的解集是.故选：A.
题型三 利用函数的奇偶性求值与求参
例5.若函数是偶函数，定义域为，则＝_____，＝________；
[解析]　(1)∵函数f(x)在上是偶函数，∴，得.
又，即对均成立，∴＝0.
例6.已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解析：函数的定义域为，
，
函数为奇函数，则.故选：B.
例7.已知函数为奇函数，若，则___________．
解析：由题知：，
又为奇函数，则，故.
例8.若函数＝为奇函数，则等于(　　)
A．1 B．2 C． D．－
解析：依题意得，由于函数为奇函数，故，即，对比可得，故选.
例9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则( )
A． B． C． D．
解析：为R上的奇函数，则f(0)=0，∴1-a=0，a=1，
，故选：A﹒
例10.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：为奇函数，为偶函数，且，
，即，
，则，故选：A.
题型四： 利用奇偶性求函数的解析式
例11.若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
解析：当时，，
由奇函数的定义可得.故选：D.
例12.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．
解析：根据题意，设，则，有，
又由为偶函数，
则，即．
例13.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．3
解析：因为①，所以
因为分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以②所以由①、②可得，所以故选：B
例14.若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式.
解析：∵函数是偶函数，函数是奇函数
∴，
∵∴，
解方程组得:.
∴函数的解析式为.
题型五：奇偶性的常用结论
例15.若为奇函数，为偶函数，且定义域相同，则的奇偶性 。
证明：设
为奇函数，为偶函数，，
则，所以为奇函数
例16.函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
解析：令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C
例17.已知，且，求.
解析：，
例18.设函数，且，则等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D.5
解析：，,选C
例19.已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间上有最小值为________.
解析：
,
题型六：函数奇偶性与单调性
例20.已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意是偶函数，且在上单调递增，
∴不等式可变为，
∴，解得．故选：B．
例21.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
解析：由题可知，在区间上单调递减，
又为奇函数，则，且，故，
设，则，故为偶函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以的解集为，
即的解集为.故选：D.
例22.设定义在上的函数和满足：①对任意的，和恒成立；②在上单调递增． 若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：由得，所以，
故在R上为奇函数，
由在上单调递增，故在R上单调递增，
在上也单增，
由可得，
即，，解得.故选：A.
例23.定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析：是偶函数，关于对称。使成立，。故选B
例24.已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析：对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，则，解得．
故选：D．
题型七：抽象函数奇偶性
例25.若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数
解析：因为函数的图象关于点对称，所以将的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即是奇函数．
故选：C．
例26.．（2021·全国）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B. C. D.
解析：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．所以．
故选：D．
例27.知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
解： 是偶函数， ，令，则 ，
，即，是奇函数，
，令，则，
，即，由和得：
，令，则，，
，，
，的周期为： ， ，
，，令 ，则，
，.故选：A．
例28．（多选）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A． B．是奇函数
C．在上有最大值 D．的解集为
解析：因为定义在R上的函数满足，
令，得，即 ，A正确，
令，得，即，函数为奇函数，B正确，
设，则，，
由题，，即，
所以，函数在R上单调递减，所以C错误，
不等式可化为，由在R上单调递减，所以，即，不等式解集为，D错误.
故选：AB.

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