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三角恒等变换
题型一：两角和与差的三角函数公式的应用
【解题方法总结】
在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
例1．已知均为锐角，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解.
【解答过程】解：因为，
所以，
即，
又均为锐角，所以，即.
故选：D.
例2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的正弦公式计算可得.
【解答过程】解：因为，所以，又，
所以，
所以
，
故选：D.
例3．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【解答过程】由题意，可得，，
因为，，可得，，
则
.
故选：C.
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
【解题方法总结】
(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.
(2)化简三角函数式的常用方法:
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.
例4．已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为、是不同的两个锐角，即，
所以，，
对于A，因为，
所以一定成立，故A错误；
对于D，可能成立，故D错误；
对于B，因为，
所以恒成立，
即一定不成立，故B正确；
对于C，可能成立，故C错误.
故选：B.
例5．化简：
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）由结合和差角公式化简即可；
（2）由结合和差角公式以及诱导公式化简即可.
【解答过程】(1)
；
(2)
.
例6．化简：
(1)(tan 10°－)·；
(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
【解题思路】（1）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式计算出正确答案.
（2）结合两角和与差的正弦公式计算出正确答案.
【解答过程】(1)
原式＝(tan 10°－tan 60°)·＝·
＝·
＝－·＝－＝－2.
(2)
原式＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]
＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.
题型三：利用二倍角公式求值
【解题方法总结】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
例7．已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【解题思路】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；
（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【解答过程】（1）由，
所以；
（2）
例8．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系式求解即可.
（2）利用正弦及余弦的二倍角公式展开后分式上下同除以，然后代入的值即可求解.
【解答过程】(1)
∵
∴
∴.
(2)
.
例9．已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.
【解题思路】（1）将已知等式分子分母同除，可构造关于的方程，求得；
（2）将所求式子利用二倍角公式化为正余弦的二次式，配凑分母，分子分母同除可构造出关于的方程，代入可求得结果.
【解答过程】(1)
，
，解得：.
(2)
题型四：给角求值
【解题方法总结】
（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
（2）给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
例10．的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】根据正弦的二倍角公式，结合诱导公式，以及余弦的和差角公式，化简即可求得结果.
【解答过程】
.
故选：A.
例11．（多选题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案.
【解答过程】因为，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
因为，
所以，故D错误．
故选：ABC.
例12．若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得
.
故选：A.
题型五：给值求值
【解题方法总结】
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式．
例13．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【解答过程】，
由于，所以，
所以.
故选：D.
例14．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用二倍角的余弦公式求得，再根据诱导公式即可得解.
【解答过程】解：因为，所以，
即，
所以.
故选：A.
例15．（多选题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】由条件结合两角差的正切公式求，再由二倍角公式求.
【解答过程】因为，又，，所以，
因为，所以，所以，
解得或3，
故选：AD.
题型六：给值求角
【解题方法总结】
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．
例16．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【解答过程】因为，则，因为，则，可得，
因为，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故选：A.
例17．已知，且，求的值为_____．
【答案】/
【解析】，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
例18．已知，，，，则________．
【答案】
【解析】因为，，则，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案为：.
题型七：正切恒等式求非特殊角
【解题方法总结】
正切恒等式：当时，．
证明：因为，，所以
故．
例19．已知，则 2 ．
【解题思路】将代入目标式，利用两角差的正切公式化简计算即可.
【解答过程】，
故答案为：2.
例20．（多选题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】由条件结合两角差的正切公式求，再由二倍角公式求.
【解答过程】因为，又，，所以，
因为，所以，所以，
解得或3，
故选：AD.
例21．若，为锐角，且，则__________；__________
【答案】
【解析】利用两角和差正切公式来构造出，代入可求得结果；根据的规律可整理得到结果.
即
故答案为：；三角恒等变换
题型一：两角和与差的三角函数公式的应用
【解题方法总结】
在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
例1．已知均为锐角，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
例2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例3．若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
【解题方法总结】
(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.
(2)化简三角函数式的常用方法:
①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.
例4．已知、是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．化简：
(1)；
(2)．
例6．化简：
(1)(tan 10°－)·；
(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
题型三：利用二倍角公式求值
【解题方法总结】
对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.
例7．已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
例8．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
例9．已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.
题型四：给角求值
【解题方法总结】
（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
（2）给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
例10．的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
例11．（多选题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例12．若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：给值求值
【解题方法总结】
给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式．
例13．若，，则（ ）
A． B． C． D．
例14．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例15．（多选题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．3
题型六：给值求角
【解题方法总结】
给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．
例16．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
例17．已知，且，求的值为_____．
例18．已知，，，，则________．
题型七：正切恒等式求非特殊角
【解题方法总结】
正切恒等式：当时，．
证明：因为，，所以
故．
例19．已知，则 ．
例20．（多选题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．3
例21．若，为锐角，且，则__________；__________

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