资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 一元函数的导数及其应用
题型1 导数定义中的极限运算
瞬时变化率的变形形式 ．
1．（24-25高三下·云南昭通·月考）已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
2．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·上海·月考）已知，则 .
4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知，且 ．
题型2 导数公式及四则运算法运用
（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导； （2）抽象函数求导，恰当赋值时关键，然后活用方程思想求解； （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
5．（24-25高三上·上海·月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·湖南·月考）若函数及其导函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河北石家庄·一模）已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ）
A．360 B．280 C．255 D．210
题型3 导数的几何意义及其应用
（1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切线处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． （2）注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
9．（24-25高三上·河南·月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
11．（24-25高三上·天津武清·月考）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．4
12．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知满足，且在处的切线方程为，则 .
题型4 两曲线的公切线问题
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
13．（24-25高三上·河北邯郸·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三上·江西南昌·模拟测试）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三上·湖南岳阳·期末）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型5 过曲线上一点的多切线问题
过曲线上一点的多切线问题的核心是“以切点为变量，通过切线过已知点建立方程，转化为方程解的个数问题”．解题时需严格遵循“设切点→写方程→化简→分析解的个数”的步骤，结合函数单调性、极值与定义域综合判断，同时规避混淆概念、计算错误等易错点，即可高效求解．
17．（24-25高三下·上海·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ．
18．（24-25·山西太原·月考）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25高三下·海南儋州·模拟预测）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（24-25高三下·广东·月考）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型6 不含参函数的单调性问题
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
21．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C．， D．
22．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数，写出函数的单调递减区间 ．
题型7 含参函数的单调性问题
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． （2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
25．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的单调增区间为 ．
26．（24-25高三下·宁夏石嘴山·月考）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)试判断函数的单调性.
27．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
28．（24-25高三下·河南新乡·月考）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论的单调性．
题型8 根据函数的单调性求参数
由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集．
29．（24-25高三上·广东清远·月考）设函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．（24-25高三上·江苏镇江·月考）若在上是单调递增函数，则实数的取值范围为 .
31．（24-25高三上·上海·月考）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
32．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
题型9 导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造： 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9） 构造（注意的符号） （10） 构造
33．（24-25高三下·上海·月考）定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
34．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
35．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
36．（24-25高三下·重庆南岸·月考）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型10 与极值有关的函数图象问题
解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链． 极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（）、右侧下降（）→极大值点；左侧下降、右侧上升→极小值点． 注意：图象连续但“尖点”处（如的）导数不存在，但仍是极值点；光滑处导数为0且趋势转折才是极值点．
37．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值 B．在上是增函数
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
38．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的一个零点
B．是函数的极小值点
C．是函数的极大值点
D．函数在区间上单调递增
39．（24-25高三下·上海·月考）设 ，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
40．（2024·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
题型11 利用导数求解函数的极值
根据函数的极值（点）求参数的两个要领： （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性．
41．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
42．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
43．（24-25高二下·江西·月考）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
44．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 .
题型12 利用导数求解函数的最值
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
45．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知函数，则的最大值是 .
46．（2024·重庆·模拟预测）若函数，在区间的最大值为8，无最小值，则的取值范围为 ．
47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数在区间的值域为，则的取值范围为 .
48．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 .中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 一元函数的导数及其应用
题型1 导数定义中的极限运算
瞬时变化率的变形形式 ．
1．（24-25高三下·云南昭通·月考）已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为，
则.故选：C.
2．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）若函数在区间内可导，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故选：D.
3．（24-25高三下·上海·月考）已知，则 .
【答案】
【解析】由 ，
因为，所以.
4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知，且 ．
【答案】
【解析】，
而，
则.
题型2 导数公式及四则运算法运用
（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导； （2）抽象函数求导，恰当赋值时关键，然后活用方程思想求解； （3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
5．（24-25高三上·上海·月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，则.故选：D.
6．（24-25高三上·湖南·月考）若函数及其导函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，因为，
所以，解得，
所以，令，可得，解得.故选：D.
7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，令，得.
对两边同时求导，
得，即.
令，得.
令，得，故.故选：C.
8．（2025·河北石家庄·一模）已知函数的高阶导数为，即对函数连续求阶导数．例如，则，，，，，…，若，则的展开式中的系数是（ ）
A．360 B．280 C．255 D．210
【答案】D
【解析】因为
所以，
继续求二阶导数得：
，
继续求三阶导数得：
，
……
所以.
所以的系数为.故选：D
题型3 导数的几何意义及其应用
（1）处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切线处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． （2）注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
9．（24-25高三上·河南·月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为，所以，
所求的切线方程为，即．故选：A.
10．（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【解析】由，
当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线；
当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为，
切线方程为：，该切线过点，
于是有
或（舍去），
综上所述：过点可作曲线的切线条数为，故选：B
11．（24-25高三上·天津武清·月考）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切于点，
求导可得，因此切线斜率，
又切线过原点，可得，化简可得，
令，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，，
因此可得，即可得.故选：
12．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知满足，且在处的切线方程为，则 .
【答案】-2
【解析】函数的定义域为R，
因为，所以函数是R上的奇函数，
所以，解得，所以，
又，
故符合要求，则，
因为在处的切线方程为，
所以，即，解得，所以.
题型4 两曲线的公切线问题
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．
13．（24-25高三上·河北邯郸·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，
与曲线的切点为，
而的导数为，的导数为，
所以两曲线的切线分别为，
两条切线对应相同，可得，解得，
所以切线方程为，即，
则.故选：C.
14．（24-25高三上·江西南昌·模拟测试）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程可为．故选：D．
15．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设公切线与函数及函数的切点分别为，
，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，
所以有解，消去后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，
即的最小值为，即实数的最小值为．故选：B．
16．（24-25高三上·湖南岳阳·期末）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两个函数求导分别为，
设，图象上的切点分别为，，
则过这两点处的切线方程分别为，，
则，，所以，
设，，，
令，所以，
所以在上单调递增，且，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，.故选：B.
题型5 过曲线上一点的多切线问题
过曲线上一点的多切线问题的核心是“以切点为变量，通过切线过已知点建立方程，转化为方程解的个数问题”．解题时需严格遵循“设切点→写方程→化简→分析解的个数”的步骤，结合函数单调性、极值与定义域综合判断，同时规避混淆概念、计算错误等易错点，即可高效求解．
17．（24-25高三下·上海·月考）从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】切点设为，其中
有三个不同的解
即有三个不同的解
设 ，该函数有三个不同零点,
，
令，则或，
令，则或，
令，则，
所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在和处取得极值，
要想函数有三个不同零点，
则，即，所以
18．（24-25·山西太原·月考）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，设切点坐标为，由，求导得，
则函数的图象在点处的切线方程为，
由切线过点，得，
令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，而当时，恒有，
又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点，
所以实数的取值范围是.故选：B
19．（24-25高三下·海南儋州·模拟预测）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.故选：B
20．（24-25高三下·广东·月考）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，∴切线的斜率，
∴切线方程是，
∵切线过点A（a，0），
∴，即，
∵过点A（a，0）可以作两条切线，
∴方程有两个不同的根，
∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3．故选：D.
题型6 不含参函数的单调性问题
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
21．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知定义在区间上的函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】C
【解析】，，则，，
由有，由，解得或，
所以的单调递增区间为和.故选：C.
22．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的定义域为，
，
令，解得，
故的单调递减区间为，故选：B
23．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，
在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误.
对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误.
对于C，，满足在上单调递增，故C正确.
对于D，在上单调递减，在上单调递增，
不满足在上单调递增，故D错误.故选：C.
24．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知函数，写出函数的单调递减区间 ．
【答案】
【解析】，，
令，即，解得或.
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
综上可知，函数的单调递减区间为.
题型7 含参函数的单调性问题
（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． （2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
25．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的单调增区间为 ．
【答案】当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为
【解析】函数的导函数，
①，若，；若，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
②，，此时函数在上单调递增．
③，若，；若，，
此时函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为.
故答案为：当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为
26．（24-25高三下·宁夏石嘴山·月考）已知函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)试判断函数的单调性.
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，则，所以，，，
故当时，函数在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，，
当时，，的减区间为，无增区间；
当时，令，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上所述，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为.
27．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
（2）由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，
由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
28．（24-25高三下·河南新乡·月考）已知函数
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)试讨论的单调性．
【答案】(1)；(2)见解析
【解析】（1）当，，
所以，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，
所以.
当时，，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
当时，，所以在上单调递增.
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
当时，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时， 在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
题型8 根据函数的单调性求参数
由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集．
29．（24-25高三上·广东清远·月考）设函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
因为，所以，，
由解得，
由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在区间上单调递减，
故，解得.故选：A
30．（24-25高三上·江苏镇江·月考）若在上是单调递增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知，
因为恒成立，
所以在上是单调递增函数，即在上恒成立，
因为是一元二次函数，对称轴为，
所以在单调递减，在单调递增，
所以在上恒成立，只需，解得，
即实数的取值范围为，
31．（24-25高三上·上海·月考）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】法一：，
由题意可知在上有解，即有正实数解，
当时，显然满足要求，
当时，只需满足，即，
综上：的取值范围为.
法二：，
由题意可知在上有解，
即在上有解，即在上有解，
所以，则的取值范围为.
32．（24-25高三上·河北张家口·月考）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题得定义域为R，，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数在区间上不单调，
所以，故m的取值范围是.
题型9 导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造： 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9） 构造（注意的符号） （10） 构造
33．（24-25高三下·上海·月考）定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，当时，，
所以在上单调递减，又因为函数为定义在上奇函数，
为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数，
则在上单调递减，即函数在上单调递减，
所以由可得：，
即，所以，故选：C.
34．（24-25高三上·福建宁德·月考）已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
由题可知，当时，，故在单调递减；
又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；
又，则，画出的模拟草图如下所示：

当时，，则，数形结合可知，此时；
当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；
当，，则，数形结合可知，此时；
综上所述：的解集为.故选：A.
35．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.故选：D.
36．（24-25高三下·重庆南岸·月考）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设.
对求导，则.
已知，即，而恒成立，所以恒成立.
这说明函数在上单调递增.
已知，则.
不等式可变形为，即，也就是.
因为在上单调递增，所以.
不等式的解集为，.故选：B
题型10 与极值有关的函数图象问题
解决与极值有关的函数图象问题，需紧扣“导数→单调性→极值点→图像特征”的逻辑链． 极值点对应图象的“转折点”：在该点左侧图象上升（）、右侧下降（）→极大值点；左侧下降、右侧上升→极小值点． 注意：图象连续但“尖点”处（如的）导数不存在，但仍是极值点；光滑处导数为0且趋势转折才是极值点．
37．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值 B．在上是增函数
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
【答案】D
【解析】根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
故ABC错误，D正确.故选：D.
38．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的一个零点
B．是函数的极小值点
C．是函数的极大值点
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】根据导函数的图像可知，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点.
因为函数在上单调递增，
可知不是函数的极小值点，也不是函数的极大值点，
所以ABC不正确，故D正确.故选：D.
39．（24-25高三下·上海·月考）设 ，若函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
由图可知当时，当时，所以，，
又，
由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点小于极小值点，
所以有两个零点，不妨设为，则，，且，
所以导函数的图象如下图所示：
所以，，则，所以，，，.故选：A
40．（2024·贵州黔南·一模）三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【解析】函数，求导得，
观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，
函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；
由，得则，
，得，排除C；
由不等式的解集为，得，即，排除B；
又是方程的二根，，则，选项D符合题意.故选：D
题型11 利用导数求解函数的极值
根据函数的极值（点）求参数的两个要领： （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：求解后验证根的合理性．
41．（2025·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】由已知得，令，得，
当时，单调递减，
当或时，单调递增，
所以的极小值为，解得.故选：A.
42．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，由，可得
函数有两个极值点，即方程在内有两个不等实根，
即函数与在上有两个交点，
因，，，
所以，解得.故选：A.
43．（24-25高二下·江西·月考）若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数，可得，
因为函数存在极值点，则满足，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.故选：B.
44．（2025·四川成都·模拟预测）若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】，因为存在唯一极值点，
所以存在唯一变号根.
即存在唯一变号根，设，，
函数在上单减；在上单增，在上单减；
当时，；当时，；
则实数a的取值范围为.
题型12 利用导数求解函数的最值
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
45．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知函数，则的最大值是 .
【答案】
【解析】，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则时，有最大值，
最大值为.
46．（2024·重庆·模拟预测）若函数，在区间的最大值为8，无最小值，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
且，，，
因为在区间的最大值为8，无最小值，
所以且，解得，
则.
47．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数在区间的值域为，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为，则，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
且，，，
因为在区间的值域为，所以，解得，
此时，，
又，∴，则.
48．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】，
令，原式可化为，
当单调递增，当单调递减，
当且仅当时，取得最小值1，
所以有解，即有解.
记，
当在单调递增，当在单调递减，
故，且当，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.

展开更多......

收起↑