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专题01 函数的概念与性质
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】函数的相关概念 【知能解读02】函数的单调性 【知能解读03】函数的奇偶性 【知能解读04】函数的周期性 【知能解读05】函数的对称性 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】函数值域的求法 【重难点突破02】常见奇/偶函数的类型及应用 【重难点突破03】函数的奇偶性、周期性、对称性关系 【重难点突破04】抽象函数的性质综合 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】复合函数定义域忽略内层值域与外层定义域关系致错 【易混易错02】忽略二次型式子最高次系数为0致错 【易混易错03】判断函数奇偶性时忽略定义域致错 【易混易错04】利用单调性解不等式时忽略定义域致错 【易混易错05】研究分段函数单调性时忽略分段点致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】函数定义域的常见类型 【方法技巧02】求函数解析式常用方法 【方法技巧03】分段函数的常见类型及解法 【方法技巧04】函数单调性的应用及方法 【方法技巧05】函数奇偶性的应用及方法
01 函数的相关概念
1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.
2、函数的三要素
（1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；
（2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集．
（3）函数的对应关系：.
3、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交．
【真题实战】（2025·北京·二模）函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】由函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
02 函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示．
3、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性．
（2）与的单调性相反．
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反．
（4）若≥0，则与具有相同的单调性．
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性．
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）：
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
【真题实战】（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】求导得，
要满足函数在区间上单调递增，
则，即，
因为，所以，即，故选：B.
03 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）为奇函数 的图象关于原点对称；为偶函数 的图象关于y轴对称．
（2）如果函数是偶函数，那么．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知对一切成立，
于是.故选：A
04 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
【真题实战】（2025·吉林·三模）已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】是偶函数，，
则，从而，
又是奇函数，则，
，进而，
所以是周期为的周期函数，
又当时，，则，
所以.故选：D.
05 函数的对称性
1、关于线对称
若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．
2、关于点对称
若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
【真题实战】（2025·湖南长沙·三模）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则（ ）
A．575 B．598 C．621 D．624
【答案】C
【解析】由为偶函数有，又为奇函数，
所以，即，
因为，所以，
又，解得，即，
所以，又，
所以，所以，故选：C.
01 函数值域的求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法．
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性．
7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性，函数最值在极值点处或区间端点处．
【典例1】（24-25高三上·福建福州·月考）下列函数最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项A，时，，最小值不是4，A错；
选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确；
选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错．故选：B．
【典例2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知正数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因正数x，y满足，故，解得，
因，设，则，且，
于是．由，可得.故选：B．
【典例3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】，令，则，
则，
且，则
因，则，则，
又，则，即，
则在上单调递增，
则的最大值为.故选：C
02 常见奇/偶函数的类型及应用
1、（）为偶函数；
2、（）为奇函数；
3、（）为奇函数；
4、（）为奇函数；
5、（）为奇函数；
6、为偶函数；
7、为奇函数．
【典例1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为偶函数，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】为奇函数，
当函数为偶函数时，函数为奇函数，
所以，解得：．经验证符合题意，
【典例2】（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：，
则，
化简为，则，解得．故选：A．
03 函数的奇偶性、周期性、对称性关系
（1）函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为．
（2）函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为．
（3）函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为．
（4）函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为．
其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．
【典例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，
所以，即得，
即，故函数是以4为周期的周期函数，
对于，令，则，
对于，令，则，B正确；
由题意可知，无法推出，A错误，
又，，而是否为0不确定，故CD错误，故选：B
【典例2】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数满足：①为奇函数；②，则 .
【答案】190
【解析】因为为奇函数，所以，即，
由，
用代替可得：，
所以，即.
又，，，，
所以，
，
，
，
，
所以.
04 抽象函数的性质综合
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或；
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或．
【典例1】（2025·山东青岛·三模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】令，则，为奇函数，
令，则
为奇函数，
，
的周期为4，所以.故选：C
【典例2】（24-25高三上·安徽亳州·月考）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且．
(1)求证：为奇函数，并求的值；
(2)判断在上的单调性，并说明理由；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；(2)减函数，理由见解析；(3)
【解析】（1）取，则，解得．
取，则，
所以对任意恒成立，所以为奇函数．
因为，所以．
（2）是R上的减函数．
理由：任取，则，则，
所以，故是R上的减函数．
（3）因为为奇函数，所以
等价于，
即．
因为是R上的减函数，所以，即恒成立．
①时，则，解得，不符合题意；
②当时，则，解得．
综上，实数的取值范围为．
01 复合函数定义域忽略内层值域与外层定义域关系致错
辨析：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围；
2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域．
3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域．
【典例1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数的定义域是，得，
因此在函数中，，解得，
所以所示函数的定义域为.故选：A
【典例2】（24-25高三上·云南保山·全真模拟）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，解得，
所以的定义域为.故选：D
02 忽略二次型式子最高次系数为0致错
辨析：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象．
【典例1】（24-25高三上·四川内江·月考）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域是，
所以不等式对任意恒成立，
当时，，对任意恒成立，符合题意；
当时，，即，解得：，
综上，实数的取值范围是;故选：D
【典例2】（23-24高三上·陕西汉中·月考）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【解析】由函数的定义域为，得对恒成立．
当时，恒成立；
当时，，解得．
综上所述的取值范围为．故选：C．
03 判断函数奇偶性时忽略定义域致错
辨析：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数．在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数．
【典例1】（24-25高三下·重庆·月考）已知函数（为常数），则（ ）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
【答案】B
【解析】根据题意，，有，即，若存在奇偶性，
则定义域对称，必然有，即，
此时，则，则为奇函数.故选：B．
【典例2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
对于A，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故A错误；
对于B，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，所以B正确；
对于C，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故C错误；
对于D，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，
所以不是奇函数，所以D不正确；故选：B.
04 利用单调性解不等式时忽略定义域致错
辨析：解抽象函数不等式时需要注意函数的定义域，需在函数定义域前提下利用函数的单调性与奇偶性进行求解．
【典例1】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是奇函数，则可化为．
又在上单调递减且是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减．
则，解得或，
即实数a的取值范围是．故选：C
【典例2】（24-25高三下·甘肃白银·月考）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，又因为定义域为关于原点对称，
所以是奇函数，
由于，
可知函数在定义域上单调递减，
所以
即，即，
则，该不等式组无解，所以解集为.故选：D.
05 研究分段函数单调性时忽略分段点致错
辨析：分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况．
【典例1】（24-25高三上·天津·月考）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数，
则，解得，
即实数的取值范围是.故选：D.
【典例2】（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为时，是单调减函数，
又因为在上单调，所以，故时，单调递诚，
则只需满足，解得，故选：B.
01 函数定义域的常见类型
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零．
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，．
3、零次幂的底数不能为零，即中．
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集．
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．
【典例1】（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）已知函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，，解得或，
∴函数的定义域为.故选：C.
【典例2】（24-25高三上·山东·月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，即，
所以函数的定义域为.故选：A.
02 求函数解析式常用方法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题．
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得．
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式．
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出．
【典例1】（24-25高三上·河北承德·月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，且，则，
可得，
所以.故选：B.
【典例2】（24-25高三上·安徽安庆·月考）（1）已知，求的表达式；
（2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式．
【答案】（1）（2）
【解析】在中用替换，得，
于是有，
消去，得．
所求函数的表达式为．
（2）奇函数的定义域为．
当时，，又当时，，
，
．
故．
03 分段函数的常见类型及解法
1、求函数值问题：根据所给自变量值的大小，选择相应的对应关系求值，有时每段交替使用求值．
2、解方程或解不等式：分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围．
3、求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后进行比较得出最大值、最小值，合并得出值域．
4、图象及其应用：根据每段函数的定义域和解析式在同一坐标系中作出图象，作图时要注意每段图象端点的虚实．
【典例1】（2025·云南丽江·三模）已知函数，则的值为（ ）
A．24 B．4 C．12 D．8
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以.故选：A.
【典例2】（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，的取值范围为，
要使的值域为，必有在上单调递增，且，
所以解得.故选:D.
【典例3】（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，，；
当时，，，；
且当时，，所以为奇函数，
易知为上的递减函数，
则，
所以原不等式的解集为.故选：A
04 函数单调性的应用及方法
1、比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
2、解函数不等式：根据函数的单调性条件脱去“”，转化为自变量间的大小问题，应注意函数的定义域．
3、利用函数的单调性求参数
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间上的任意子集区间上也是单调的．
【典例1】（24-25高三下·湖北·月考）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由可知，函数的图象关于直线对称，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以在上单调递减，又，
因为，所以，即.故选：D.
【典例2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】由于是偶函数，根据偶函数的定义，.
因此，不等式可以转化为.
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得或.故选：C.
【典例3】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，因为为上的增函数，
而在内单调递增，
故为内的增函数，且在内恒成立，
故，故，故选：D.
05 函数奇偶性的应用及方法
1、判断函数的奇偶性：（1）定义法；（2）图象法；（3）性质法．
2、利用奇偶性求值：将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
3、根据函数的奇偶性求解解析式中的参数：根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等行得参数的方程（组），进而求得参数的值．
4、涉及两个奇偶函数的和或差的解析式：求奇偶函数的解析式需要用代替后，利用奇偶函数的性质构造方程组求解．
【典例1】（24-25高三下·安徽·月考）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误；
B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误；
A选项，函数定义域为，，
函数是奇函数，C选项正确；
D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误.
故选：C.
【典例2】（24-25高三下·河南·月考）已知函数为奇函数，则实数 ．
【答案】
【解析】由题意有，
所以，
即，
化简整理有：解得，
故答案为：.
【典例3】（24-25高三上·广东茂名·月考）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是 ．
【答案】
【解析】因为，
又因为是奇函数，是偶函数，所以．
由、解得．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 函数的概念与性质
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】函数的相关概念 【知能解读02】函数的单调性 【知能解读03】函数的奇偶性 【知能解读04】函数的周期性 【知能解读05】函数的对称性 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】函数值域的求法 【重难点突破02】常见奇/偶函数的类型及应用 【重难点突破03】函数的奇偶性、周期性、对称性关系 【重难点突破04】抽象函数的性质综合 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】复合函数定义域忽略内层值域与外层定义域关系致错 【易混易错02】忽略二次型式子最高次系数为0致错 【易混易错03】判断函数奇偶性时忽略定义域致错 【易混易错04】利用单调性解不等式时忽略定义域致错 【易混易错05】研究分段函数单调性时忽略分段点致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】函数定义域的常见类型 【方法技巧02】求函数解析式常用方法 【方法技巧03】分段函数的常见类型及解法 【方法技巧04】函数单调性的应用及方法 【方法技巧05】函数奇偶性的应用及方法
01 函数的相关概念
1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.
2、函数的三要素
（1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；
（2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集．
（3）函数的对应关系：.
3、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．
（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交．
【真题实战】（2025·北京·二模）函数的定义域为 ．
02 函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示．
3、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性．
（2）与的单调性相反．
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反．
（4）若≥0，则与具有相同的单调性．
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性．
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）：
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
【真题实战】（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
03 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）为奇函数 的图象关于原点对称；为偶函数 的图象关于y轴对称．
（2）如果函数是偶函数，那么．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
【真题实战】（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
04 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
【真题实战】（2025·吉林·三模）已知是定义在R上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
05 函数的对称性
1、关于线对称
若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．
2、关于点对称
若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
【真题实战】（2025·湖南长沙·三模）已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则（ ）
A．575 B．598 C．621 D．624
01 函数值域的求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法．
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性．
7、导数法：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性，函数最值在极值点处或区间端点处．
【典例1】（24-25高三上·福建福州·月考）下列函数最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知正数x，y满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
02 常见奇/偶函数的类型及应用
1、（）为偶函数；
2、（）为奇函数；
3、（）为奇函数；
4、（）为奇函数；
5、（）为奇函数；
6、为偶函数；
7、为奇函数．
【典例1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数为偶函数，则实数的值为 ．
【典例2】（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
03 函数的奇偶性、周期性、对称性关系
（1）函数是偶函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为．
（2）函数是奇函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为．
（3）函数是奇函数；②函数图象关于直线对称；③函数的周期为．
（4）函数是偶函数；②函数图象关于点对称；③函数的周期为．
其中，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．
【典例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数满足：①为奇函数；②，则 .
04 抽象函数的性质综合
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值．
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试．
①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或；
②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或．
【典例1】（2025·山东青岛·三模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【典例2】（24-25高三上·安徽亳州·月考）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且．
(1)求证：为奇函数，并求的值；
(2)判断在上的单调性，并说明理由；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
01 复合函数定义域忽略内层值域与外层定义域关系致错
辨析：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
1、已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围；
2、已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域．
3、已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域．
【典例1】（24-25高三上·福建宁德·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·云南保山·全真模拟）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
02 忽略二次型式子最高次系数为0致错
辨析：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象．
【典例1】（24-25高三上·四川内江·月考）已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·陕西汉中·月考）函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
03 判断函数奇偶性时忽略定义域致错
辨析：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．若不具备这个条件，一定是非奇非偶函数．在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数．
【典例1】（24-25高三下·重庆·月考）已知函数（为常数），则（ ）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
【典例2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
04 利用单调性解不等式时忽略定义域致错
辨析：解抽象函数不等式时需要注意函数的定义域，需在函数定义域前提下利用函数的单调性与奇偶性进行求解．
【典例1】（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三下·甘肃白银·月考）若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
05 研究分段函数单调性时忽略分段点致错
辨析：分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况．
【典例1】（24-25高三上·天津·月考）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
01 函数定义域的常见类型
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零．
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中
奇次方根的被开方数取全体实数，即中，．
3、零次幂的底数不能为零，即中．
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集．
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．
【典例1】（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）已知函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高三上·山东·月考）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
02 求函数解析式常用方法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．
2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题．
（1）先令，注意分析的取值范围；
（2）反解出x，即用含的代数式表示x；
（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得．
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．
4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式．
例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出．
【典例1】（24-25高三上·河北承德·月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高三上·安徽安庆·月考）（1）已知，求的表达式；
（2）已知奇函数的定义域为，当时，．求函数的解析式．
03 分段函数的常见类型及解法
1、求函数值问题：根据所给自变量值的大小，选择相应的对应关系求值，有时每段交替使用求值．
2、解方程或解不等式：分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围．
3、求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后进行比较得出最大值、最小值，合并得出值域．
4、图象及其应用：根据每段函数的定义域和解析式在同一坐标系中作出图象，作图时要注意每段图象端点的虚实．
【典例1】（2025·云南丽江·三模）已知函数，则的值为（ ）
A．24 B．4 C．12 D．8
【典例2】（2025·湖北·二模）已知且，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（ ）
A． B． C． D．
04 函数单调性的应用及方法
1、比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
2、解函数不等式：根据函数的单调性条件脱去“”，转化为自变量间的大小问题，应注意函数的定义域．
3、利用函数的单调性求参数
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间上的任意子集区间上也是单调的．
【典例1】（24-25高三下·湖北·月考）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【典例3】（24-25高三下·江苏南通·月考）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
05 函数奇偶性的应用及方法
1、判断函数的奇偶性：（1）定义法；（2）图象法；（3）性质法．
2、利用奇偶性求值：将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
3、根据函数的奇偶性求解解析式中的参数：根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等行得参数的方程（组），进而求得参数的值．
4、涉及两个奇偶函数的和或差的解析式：求奇偶函数的解析式需要用代替后，利用奇偶函数的性质构造方程组求解．
【典例1】（24-25高三下·安徽·月考）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（24-25高三下·河南·月考）已知函数为奇函数，则实数 ．
【典例3】（24-25高三上·广东茂名·月考）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是 ．

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