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专题01 三角函数概念及公式应用
题型1 终边相同的角
1.判断两个角终边是否相同的方法：(1)计算， (2)判断是否等于(或)的整数倍；若是，则终边相同；若否则终边不相同。 2.与角终边相同的角(连同)，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
1.(23-24高一上·山东枣庄·期末)已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则( )
A． B． C． D．
2.(23-24高一上·山东菏泽·期末)集合，，，则集合中的元素个数为( )
A． B． C． D．
3.(25-26高一上·全国·课后作业)已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是( )
A．或 B．或
C． D．
4.(2025高三上·海南海口·阶段练习)若角的终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)，则角的取值范围是( )
A． B． C． D．
5.(23-24高一下·河南·阶段练习)如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是( )
A． B．
C． D．
6.(22-23高一上·北京朝阳·期末)设集合，集合，则与的关系为( )
A． B． C． D．
7.(多选)(2025高一下·湖南长沙·期末)与405°角终边相同的角是( )．
A． B．
C． D．
8.(2025高一上·重庆·阶段练习)在0到范围内，与角终边相同的角是 (用弧度制表示).
题型2 确定角的象限
确定角的象限的方法：先求出在内与终边相同的角，则的象限就是的象限。
1.(2025高一下·天津·期中)的终边在第 象限．
2.(2024·江苏苏州·模拟预测)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．(2025高一下·湖北恩施·期末)若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限( )
A．一 B．二 C．三 D．四
4.(2025高一下·安徽蚌埠·阶段练习)若角，则它是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．(20-21高一上·山东济南·期末)“”是“是第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(2025高一下·上海·期中)“为锐角”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(2025高一上·贵州毕节·期末)若是钝角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8.(2025高一上·宁夏固原·期末)若是第三象限角，则是( )
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角
9.(2025高二下·湖南郴州·阶段练习)下列说法正确的是( )
A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角
C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角
10.(23-24高一上·山东菏泽·期末)集合，，，则集合中的元素个数为( )
A． B． C． D．
11.(23-24高三下·江西·阶段练习)集合，集合，则( )
A．， B．， C．， D．，
12.(多选)(2025高一下·陕西渭南·期中)已知角的终边在第四象限，则的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．(多选)(23-24高一上·广东广州·期末)下列说法正确的是( )
A．与的终边相同 B．若，则
C．若是第二象限角，则是第一象限角
D．已知某扇形的半径为2，面积为，那么此扇形的弧长为
题型3 弧度制
角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad；(2)1 rad＝.
1.(25-26高一上·全国·课后作业)把化成角度是( )
A． B． C． D．
2．(2025·浙江温州·二模)扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于( )
A．1 B． C．3 D．6
3．(2025·河北衡水·模拟预测)已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为( )
A． B． C． D．
4．(2025高三上·湖南·阶段练习)如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
5．(2025高三上·湖南·阶段练习)某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是( )
A． B． C． D．
6．(23-24高三上·江西抚州·阶段练习)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )

A． B． C． D．
7.(2025·河南新乡·模拟预测)如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
8.(2025·广西南宁·模拟预测)某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为( )
(其中，计算结果小数点请保留到)
A． B． C． D．
9.(2025·甘肃白银·二模)已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为( )
A． B． C． D．
10.(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)下列转化结果正确的是( )
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
11.(多选)(2025高三上·云南昭通·阶段练习)下列转化结果正确的是( )
A．化成弧度是 B．化成弧度是
C．化成角度是 D．化成角度是
12．(多选)(2023·吉林·二模)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在(1，0)处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则( )
A．经过1后，扇形AOB的面积为 B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为 D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
13.(2024·全国·模拟预测)将120°化为弧度制为 ．
题型4 扇形的弧长与面积
1.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 2.相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2.
1.(2025高一下·辽宁抚顺·期中)已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为( )
A． B． C．60 D．120
2.(2025高三下·四川雅安·阶段练习)已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为( )
A． B． C． D．
3.(2024广西来宾模拟)机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是( )
A． B． C． D．
4.(2024湖南长沙一模)“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为( )
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
5. (2024山东青·一模)2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：cm，cm，cm，若，，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( )
A． B． C． D．
6．(2025·山西·三模)如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为(转/分)，被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ．
7．(2025·甘肃·一模)如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是 (填“甲”或“乙”)，两人跑动距离之差的绝对值约为 米.(结果精确到米，参考数据：，)
题型5 三角函数概念
1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： sin α＝y. cos α＝x. tan α＝(x≠0). 2.利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 3.注意定义中的关系：.
1.(2025内蒙古包头二模)已知角的终边经过点，则( )
A．cosɑ= B． C．Sinɑ=- D．
2.(2025高一下·上海宝山·阶段练习)已知角终边上一点，若，则实数的值为( )
A．1 B．2 C．±1 D．
3.(2025高二下·浙江·阶段练习)已知角终边与单位圆交于点，则( )
A． B． C． D．
4.(2025高一下·陕西汉中·阶段练习)若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则( )
A． B． C． D．
5.(2024贵州贵阳模拟)已知点是角终边上一点，则( )
A． B． C． D．
6.(2025高一下·山东潍坊·阶段练习)设是第二象限角，为其终边上一点，且，则( )
A． B． C． D．
7.(2025高三上福建龙岩阶段练习)已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则( )
A． B． C． D．
8.(2024河南一模)角终边落在直线上，则有( )
A． B． C． D．
9.(2024北京房山一模)角终边经过点，把角终边绕原点O逆时针旋转得到角终边，则( )
A． B． C． D．
10.(2025高一下·四川成都·阶段练习)已知点在角的终边上，且，则的值为( )
A． B． C． D．
11.(2025高一下·河南·阶段练习)若角的终边经过点，则( )
A． B． C． D．2
12.(2025高一下·辽宁朝阳·阶段练习)在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则( )
A． B． C． D．
13.(2024浙江金华三模)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为角终边上的一点，则 ．
题型6 三角函数符号
符号法则：一全二正三切四余； 角的象限决定三角函数的符号。
1．(23-24高一上·广东深圳·期末)“”是“为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2022·浙江·模拟预测)已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要
3．(2024·安徽芜湖·模拟预测)角为第三象限角的充要条件是( )
A． B． C． D．
4．(2024·河南商丘·模拟预测)“”是“为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2024·北京延庆·一模)“”是“为第一或第三象限角”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．(23-24高一上·广东深圳·期末)“且”是“为第四象限角”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(23-24高一上·四川内江·期末)已知，，则的终边在( )
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
8．(23-24高三上·甘肃白银·阶段练习)“”是“为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.(2025·黑龙江·模拟预测)若且同时成立，则是( )
A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角
11．(多选)(23-24高一上·广东深圳·期末)若角的终边经过点，则下列结论正确的是( )
A．是钝角 B．是第二象限角
C． D．点在第四象限
题型7 三角函数值线
三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. 其中：，，； 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在.
1．(2024·全国·模拟预测)设，则( )
A． B． C． D．
2．(23-24高三上·云南保山·期末)已知，，，则( )
A． B． C． D．
3.(2025高三陕西榆林)在内，则满足不等式的取值集合是 .
4.(24-25高三上·北京朝阳·期末)使不等式成立的一个的值是 ．
题型8 同角关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α． 变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α．
1.(2025·云南昭通·模拟预测)“”是“”的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2025·广东深圳·二模)若，，则( )
A． B． C． D．
3．(2025·湖南长沙·三模)若，则
4.(2025·江苏泰州·二模)已知，且，则 ．
5.(2025·四川达州·模拟预测)已知，且，则 .
题型9 弦的齐次式
(1)一次：； (2)二次：； (3)1的代换：；
1.(2025·河北张家口·二模)已知，则( )
A． B． C． D．
2.(2025·江苏淮安·模拟预测)已知为第四象限角，，则( )
A． B． C． D．
3．(2025·贵州黔南·三模)若，则( )
A． B． C． D．
4.(2025高三下·江苏常州·阶段练习)已知，则( )
A． B． C． D．
5．(2025·广西柳州·模拟预测)已知，则( )
A． B． C．2 D．
6．(2025·甘肃白银·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
7．(2025·宁夏银川·三模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则( )
5° 15° 25° 35°
m n p q
A． B． C． D．
8．(2025·山东德州·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
9．(2025·山东济南·三模)已知，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型10 正余弦三剑客(sinɑ±cosɑ与 sinɑ·cosɑ)
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， 所以，在sin αcos α，sin αcos α，sin αcos α这三者中：知一求二。其中难点是符号。
1.(2025·河北·模拟预测)已知，，则( )
A． B． C． D．
2.(2025·辽宁辽阳·二模)已知为第一象限角，且，则( )
A． B． C． D．
3．(2025·四川成都·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
4.(2025·甘肃甘南·模拟预测)已知，则( )
A． B． C． D．
5.(2025高三下·湖南长沙·阶段练习)已知，，则( )
A． B． C． D．
6.(2025·湖南长沙·二模)(多选)已知，，则下列各式正确的有( )
A． B． C． D．
7.(多选)(2025高一上·吉林通化·期末)已知，，则下列等式正确的是( )
A． B． C． D．
8.(2025高一下·内蒙古赤峰·期中)已知，则 ．
9.(2025·四川·三模)赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为，则( )
A． B． C． D．
题型11 诱导公式、和差角公式、二倍角公式
1.和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ．
1.(2025·四川·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
2.(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)( )
A． B． C． D．
3.(2025·吉林长春·模拟预测)已知，则的值是( )
A． B． C． D．
4.(2025山东烟台一模)已知，则( )
A． B． C． D．2
5.(2025·山东·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
6.(2025·江西·一模)化简( )
A． B． C．1 D．
7.(2023·河北·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．1
8.(2025·海南海口·模拟预测)若，，则( )
A． B． C． D．
9.(2025·广东惠州·模拟预测)我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么( )
A． B． C． D．
10.(2024广东佛山·期中)(多选)下列选项中，值为的是( )
A． B． C． D．
11．(2025·浙江杭州·模拟预测)(多选)已知，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
12.(2025·湖南长沙·二模)已知角终边上一点，则 ；
13.(2025高三全国专题练习)已知，则 ．
14．(2024山东二模)在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ．
15.(2025·湖南长沙·三模)若，则
题型12 辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin．
1.(2025·河北保定·二模)已知，则( )
A． B． C． D．
2.(2025·江苏宿迁·模拟预测)已知，则( )
A． B． C． D．
3.(多选)(24-25高一下·四川成都·期中)下列计算正确的有( )
A． B．
C． D．
4.(2025·四川成都·模拟预测)已知，则的值为 ．
题型13 给角求值
从几个方面处理： (1)能否利用诱导公式化为同一个角(或者减少角的个数)； (2)如果化为同一个角的式子，则利用同角关系解，或者换元后化为函数利用函数知识解； (3)如果化为两个角的式子，则利用和差角公式等进行化简；
1.(2025·江西·模拟预测)的值为( )
A．1 B．2 C． D．
2.(2025·江苏宿迁·阶段练习)( )
A． B． C． D．
3．(2025·四川南充·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
4．(2025·高三上·河北石家庄·期末)( )
A． B． C． D．
5.(23-24·高一下·安徽芜湖·开学考试)( )
A． B． C． D．
6.(2025·湖南永州·模拟预测)的值为( )
A． B． C． D．
7．(2025·四川·模拟预测)(多选)下列各式正确的是( )
A． B．
C． D．
8．(2025 ·江苏) ．
题型14 给值求角
给值求角问题的一般步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求角的某一个三角函数值．即根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． 若角的范围是，选正、余弦函数皆可； 若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好； 若角的范围是，选正弦函数较好． (3)结合三角函数值及角的范围写出所求的角．
1.(2025·广东珠海·模拟预测)设，，且，则( )
A． B． C． D．
2．(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知，，且，则的值为( )
A． B． C． D．
3.(2025·黑龙江·二模)已知，且为钝角，则 .
5.(2025 江苏扬州·期中)已知，，，，则的值为 .
6．(2024·陕西铜川·模拟预测)若，且，则的值为 ．
题型15 给值求值
给值求值问题的一般思路： (1)确定已知式子中的角与要求式子的角是否有关系：即观察要求式子的角能否用已知角表示． (2)将要求式子的角化为已知角的式子， (3)通过三角恒等变换，利用和差角公式、二倍角公式等化简成与已知角的正弦、余弦、正切有关的式子，(4)最后根据已知的值即可求出．
1.(2025·湖南长沙·模拟预测)已知，，，则( )
A． B． C． D．
2.(2025·安徽淮北·模拟预测)已知且则tanβ=( )
A．3 B．2 C． D．
3.(2025·河南·三模)已知，且，则( )
A． B． C． D．
4．(2025·甘肃白银·一模)已知，则( )
A． B． C． D．
5．(2025·广东广州·三模)已知都是锐角，，则的值为( )
A． B． C． D．
6．(2025·湖南长沙·模拟预测)已知，，，则( )
A． B． C． D．
7．(2025·安徽蚌埠·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
8.(2025·内蒙古包头·模拟预测)已知，则 .
题型16 角的拼凑
(1)； (2)；； (3)；； (4)；.
1.(2025·甘肃白银·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
2.(2025·河北张家口·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
3.(2025·黑龙江大庆·三模)若，则( )
A． B． C． D．
4．(2025河北秦皇岛模拟预测)已知为锐角，若，则( )
A． B． C． D．
5.(2025山东模拟预测)已知，则( )
A． B． C． D．
6.(2025·安徽蚌埠·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
7.(2025福建莆田二模)已知，则( )
A． B． C． D．
8.(2025·河北·二模)已知，则( )
A． B． C． D．
9.(2025高三下江西开学考试)已知，则( )
A． B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 三角函数概念及公式应用
题型1 终边相同的角
1.判断两个角终边是否相同的方法：(1)计算， (2)判断是否等于(或)的整数倍；若是，则终边相同；若否则终边不相同。 2.与角终边相同的角(连同)，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
1.(23-24高一上·山东枣庄·期末)已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.85【知识点】判断两个集合的包含关系、由已知角所在的象限确定某角的范围
【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.
【解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，
又第二象限角的范围为，
不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，故选：C.
2.(23-24高一上·山东菏泽·期末)集合，，，则集合中的元素个数为( )
A． B． C． D．
【答案】B【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解.
【解】解不等式，可得，
所以，整数的取值有、、，
又因为集合，，
则，即集合中的元素个数为.故选：B.
3.(25-26高一上·全国·课后作业)已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是( )
A．或 B．或
C． D．
【答案】D【解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是．
4.(2025高三上·海南海口·阶段练习)若角的终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)，则角的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解.
【解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，
终边在阴影内部分对应角的范围是，所以角的取值范围是．故选：D．
5.(23-24高一下·河南·阶段练习)如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是( )
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.
【解】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是．故选：B．
6.(22-23高一上·北京朝阳·期末)设集合，集合，则与的关系为( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.94【知识点】找出终边相同的角
【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.
【解】由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
由于集合，所以集合表示终边落在轴上的角的集合；
所以.故选：A.
7.(多选)(2025高一下·湖南长沙·期末)与405°角终边相同的角是( )．
A． B．
C． D．
【答案】BC【分析】根据终边相同的角定义判断.
【解】由于，故与405°终边相同的角应为或．
故选：BC
8.(2025高一上·重庆·阶段练习)在0到范围内，与角终边相同的角是 (用弧度制表示).
【答案】【分析】根据终边相同的角的表示方法得解.
【解】与角终边相同的角为();当时，得.故答案为：
题型2 确定角的象限
确定角的象限的方法：先求出在内与终边相同的角，则的象限就是的象限。
1.(2025高一下·天津·期中)的终边在第 象限．
【答案】三【难度】0.94【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限
【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可.
【解】，所以与终边相同，故的终边在第三象限.故答案为：三
2.(2024·江苏苏州·模拟预测)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C【分析】将，与的终边相同．
【解】，又终边在第三象限，
所在的象限为第三象限，故选：C．
3．(2025高一下·湖北恩施·期末)若，则的终边位于平面直角坐标系第几象限( )
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B【分析】根据角的弧度判断该角的象限即可.
【解】因为，所以的终边位于第二象限.故选：B．
4.(2025高一下·安徽蚌埠·阶段练习)若角，则它是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C【分析】根据象限角和弧度制判断.
【解】因为，所以角是第三象限角.故选：C.
5．(20-21高一上·山东济南·期末)“”是“是第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案.
【解】若，则一定是第一象限角，充分性成立；
若是第一象限角，则，无法得到一定属于，必要性不成立.
所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件.故选：A
6．(2025高一下·上海·期中)“为锐角”是“”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可.
【解】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角，
所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件.故选：A
7．(2025高一上·贵州毕节·期末)若是钝角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】A【分析】利用钝角的取值范围得出的范围即可得出其对应象限.
【解】若是钝角可得，因此；显然此时是第一象限角.故选：A
8.(2025高一上·宁夏固原·期末)若是第三象限角，则是( )
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角
【答案】C【分析】首先利用不等式写出的范围，即可求解.
【解】由题意可知，
所以，所以是第二或第四象限角.故选：C.
9.(2025高二下·湖南郴州·阶段练习)下列说法正确的是( )
A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角
C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角
【答案】B【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断.
【解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误；
对于选项B：若是钝角，则，可得，所以是第一象限角，故B正确；
对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误；
对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误；故选：B.
10.(23-24高一上·山东菏泽·期末)集合，，，则集合中的元素个数为( )
A． B． C． D．
【答案】B【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解.
【解】解不等式，可得，所以，整数的取值有、、，
又因为集合，，则，
即集合中的元素个数为.故选：B.
11.(23-24高三下·江西·阶段练习)集合，集合，则( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】A【分析】根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可.
【解】依题意，，而，
所以，.故选：A
12.(多选)(2025高一下·陕西渭南·期中)已知角的终边在第四象限，则的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BCD【分析】根据角的终边在第四象限，得，
即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.
【解】由为第四象限角，得，得，
令，时，，，得的终边在第四象限；
令，时，，，得的终边在第二象限，
令，时，，，得的终边在第三象限，故选：BCD.
13．(多选)(23-24高一上·广东广州·期末)下列说法正确的是( )
A．与的终边相同 B．若，则
C．若是第二象限角，则是第一象限角
D．已知某扇形的半径为2，面积为，那么此扇形的弧长为
【答案】AD【分析】对于A，由终边相同的角的特点可得答案；对于B，利用三角函数值在各象限的符合即可得出结果；对于C，由所在象限，即可求得所在象限；对于D，由弧度制下扇形的面积公式可得答案.
【解】对于A，与的终边相同，都是x轴的非负半轴，故A正确；
对于B，，是第二象限角，所以，故B错误；
对于C，若是第二象限角，即，则，则是第一象限或第三象限角，故C错误；
对于D，设此扇形的弧长为，则，解得，故D项正确.故选：AD.
题型3 弧度制
角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad；(2)1 rad＝.
1.(25-26高一上·全国·课后作业)把化成角度是( )
A． B． C． D．
【答案】A【解】．
2．(2025·浙江温州·二模)扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于( )
A．1 B． C．3 D．6
【答案】C【分析】根据扇形面积公式计算求解.
【解】设圆心角为，所以，所以3；故选：C.
3．(2025·河北衡水·模拟预测)已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积.
【解】因为该扇形的圆心角为，面积为25，
根据，可得，所以.故选：
4．(2025高三上·湖南·阶段练习)如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解.
【解】因为圆的半径为1，劣弧的长为，所以，
则，所以阴影部分的面积为.故选：B.
5．(2025高三上·湖南·阶段练习)某机器上有相互啮合的大小两个齿轮(如图所示)，大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据给定条件，求出大轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得
【解】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为，
因此大轮每秒钟转的弧度数为，所以大轮每秒转过的弧长是.
6．(23-24高三上·江西抚州·阶段练习)蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为( )

A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.
【解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
则第段圆弧的半径为，弧长记为，则，所以.故选：D．
7.(2025·河南新乡·模拟预测)如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据圆和扇形面积公式，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积.
【解】如图所示，根据已知和图形知，
设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即，
在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知，
由扇形面积公式可得，
易知以直径的半圆的半径为，即，于是，故选：A.
8.(2025·广西南宁·模拟预测)某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为( )
(其中，计算结果小数点请保留到)
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据题意可得扇形面积，又均分成三块，即，再利用三角形面积公式可求解.
【解】设，
；；
即；故选：B.
9.(2025·甘肃白银·二模)已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果.
【解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为.
故选：D.
10.(多选)(25-26高一上·全国·课后作业)下列转化结果正确的是( )
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】AB【解】，故A正确；，故B正确；
，故C错误；，故D错误．
11.(多选)(2025高三上·云南昭通·阶段练习)下列转化结果正确的是( )
A．化成弧度是 B．化成弧度是
C．化成角度是 D．化成角度是
【答案】ABD【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案.
【解】对于A：，所以化成弧度是，故A正确.
对于B，，化成弧度是，故B正确.
对于C，化成角度是，故C错误.
对于C，，化成角度是，故D正确.故选：ABD.
12．(多选)(2023·吉林·二模)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在(1，0)处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则( )
A．经过1后，扇形AOB的面积为 B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为 D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
【答案】BD【分析】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.
【解】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，故选项正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，
故选：.
13.(2024·全国·模拟预测)将120°化为弧度制为 ．
【答案】【分析】利用弧度制和角度制的转化即可得出答案.
【解】因为；所以；所以；故答案为：
题型4 扇形的弧长与面积
1.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ 2.相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r. (2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝|α|r2.
1.(2025高一下·辽宁抚顺·期中)已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为( )
A． B． C．60 D．120
【答案】B【分析】先将圆心角转化为弧度制，然后根据扇形的弧长公式计算即可.
【解】圆心角为20°，即圆心角为，又扇形的半径为6，
由弧长公式得，该扇形的弧长为，故选：B
2.(2025高三下·四川雅安·阶段练习)已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为( )
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据扇形的弧长公式求值.
【解】手表分针转动的弧度数为：，所以分针尖端所走过的弧长为：.故选：B
3.(2024广西来宾模拟)机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角、半径、弧长的关系，即可求解.
【解】由已知，．得，则莱洛三角形的周长是；故选：A．
4.(2024湖南长沙一模)“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为( )
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
【答案】B【分析】根据给定条件，结合垂径定理计算即可得解.
【解】依题意，点共线，，，
所以(米)；故选：B
5. (2024山东青·一模)2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”(图1)就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：cm，cm，cm，若，，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.
【解】显然为等腰三角形，，则，，即，
于是，所以璜身的面积近似为.故选：C
6．(2025·山西·三模)如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为(转/分)，被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ．
【答案】【分析】把分钟转速转换成秒转速问题，然后借助比例来求出被动轮的转速，最后利用弧长公式求解即可.
【解】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为，
所以弧长为故答案为：
7．(2025·甘肃·一模)如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是 (填“甲”或“乙”)，两人跑动距离之差的绝对值约为 米.(结果精确到米，参考数据：，)
【答案】甲；【分析】连接、，求出的值，可求出、的长，可求出甲、乙两人的跑动的距离，即可得解.
【解】连接、，可知，，则，，
在中，，所以，，
所以，，，所以，，
则甲跑步的距离约为米，
因为，，则乙跑步的距离约为米，
所以甲跑动的距离更短，少跑米.故答案为：甲；.
题型5 三角函数概念
1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： sin α＝y. cos α＝x. tan α＝(x≠0). 2.利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么： sin α＝. cos α＝. tan α＝(x≠0). 3.注意定义中的关系：.
1.(2025内蒙古包头二模)已知角的终边经过点，则( )
A．cosɑ= B． C．Sinɑ=- D．
【答案】D【解】因为角的终边经过点，可得，
由三角函数的定义，可得，故A，B，C错误，D正确.故选：D.
2.(2025高一下·上海宝山·阶段练习)已知角终边上一点，若，则实数的值为( )
A．1 B．2 C．±1 D．
【答案】A【难度】0.85【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数
【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解.
【解】依题意，，解得.故选：A
3.(2025高二下·浙江·阶段练习)已知角终边与单位圆交于点，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】由三角函数的定义即可求解.
【解】由三角函数定义，横坐标即，纵坐标即，故有，．故选：D．
4.(2025高一下·陕西汉中·阶段练习)若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【解】设，，则，所以，，故．故选：B.
5.(2024贵州贵阳模拟)已知点是角终边上一点，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由三角函数的定义计算即可.
【解】点到原点的距离为，所以由三角函数定义可知，故选：C.
6.(2025高一下·山东潍坊·阶段练习)设是第二象限角，为其终边上一点，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】由三角函数的定义计算即可.
【解】依题意，，且，解得，则，故选：D.
7.(2025高三上福建龙岩阶段练习)已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由三角函数定义求出，相减即得．
【解】角终边与单位圆交于点，则，..故选：A.
8.(2024河南一模)角终边落在直线上，则有( )
A． B． C． D．
【答案】C【分析】易求得或，分别求出角的正弦、余弦值，即可判断.
【解】因角的终边落在直线上，故或.
对于A，当，时，，故A项错误；
对于B，当时，，故B项错误；
对于C，当，时，，
当时，，故C正确；
对于D项，当，时， ，则；
当时，，，则.故D项错误；故选：C.
9.(2024北京房山一模)角终边经过点，把角终边绕原点O逆时针旋转得到角终边，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由题意可得，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解.
【解】因为角的终边经过点，所以，
因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，所以，
所以；故选：D.
10.(2025高一下·四川成都·阶段练习)已知点在角的终边上，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】根据三角函数的定义即可求解.
【解】由题意可得，结合，故，故选：B
11.(2025高一下·河南·阶段练习)若角的终边经过点，则( )
A． B． C． D．2
【答案】C【难度】0.85【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四
【分析】结合诱导公式及三角函数的定义即可.
【解】.故选：C
12.(2025高一下·辽宁朝阳·阶段练习)在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.85【知识点】特殊角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值
【分析】利用特殊角的正余弦值及三角函数的定义即可求解．
【解】，则，故选：B．
13.(2024浙江金华三模)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为角终边上的一点，则 ．
【答案】【分析】根据余弦的定义可得出答案.
【解】为角终边上的一点，则.故答案是：.
题型6 三角函数符号
符号法则：一全二正三切四余； 角的象限决定三角函数的符号。
1．(23-24高一上·广东深圳·期末)“”是“为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】利用充分条件与必要条件得定义进行判断.
【解】等价于或，
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
所以“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.故选：B.
2．(2022·浙江·模拟预测)已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要
【答案】B【分析】利用定义法进行判断.
【解】充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足；
必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立.故选：B.
3．(2024·安徽芜湖·模拟预测)角为第三象限角的充要条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据三角函数在各象限符号，结合充要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【解】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意；
对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意；
对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意；
对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意.故选：B.
4．(2024·河南商丘·模拟预测)“”是“为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.
【解】易知，所以
为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，显然不满足充分性，满足必要性.故选：B
5．(2024·北京延庆·一模)“”是“为第一或第三象限角”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】由二倍角公式、充分必要条件的定义即可得解.
【解】因为或，
所以“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件.故选：C.
6．(23-24高一上·广东深圳·期末)“且”是“为第四象限角”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】先考查充分性，根据条件确定的终边位置，再考查必要性，有终边位置确定符号即可.
【解】充分性：因为，所以为第一象限角或第四象限角或终边在轴的非负半轴，
又，则，所以为第三象限角或第四象限角或终边在轴的非正半轴，
综上知，为第四象限角，故充分性成立；
必要性：若为第四象限角，则且，此时，
故必要性成立，故“且”是“为第四象限角”的充要条件，故选:A.
7．(23-24高一上·四川内江·期末)已知，，则的终边在( )
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限.
【解】因为，，所以为第二象限角，即，
所以，则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.故选：D.
8．(23-24高三上·甘肃白银·阶段练习)“”是“为第一象限角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】判断，即判断，根据在象限中恒成立即可判断出所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.
【解】，若为第一象限角或第三象限角，则，即；
若为第二象限角或第四象限角，则，即.
故“”是“为第一象限角”的必要不充分条件.故选：B.
9．(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【分析】根据据余弦函数符号的分布情况结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【解】若，则成立，故充分性成立；
若，则，不一定为，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
10.(2025·黑龙江·模拟预测)若且同时成立，则是( )
A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角
【答案】B【分析】利用三角函数值的符号判断所在象限即可.
【解】因为，，所以，即是第三象限角，故B正确.故选：B
11．(多选)(23-24高一上·广东深圳·期末)若角的终边经过点，则下列结论正确的是( )
A．是钝角 B．是第二象限角
C． D．点在第四象限
【答案】BC【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案.
【解】由点在第二象限，可得是第二象限角，但不一定是钝角，B正确， A错误；
，C正确；
由，，则点在第二象限，D错误.故选：BC.
题型7 三角函数值线
三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值. 其中：，，； 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0; 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在.
1．(2024·全国·模拟预测)设，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由，可证，，得结论.
【解】先证明：当时，.

如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T，
则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线，
设弧长，由图形可知：，即，
所以，即.则，所以．
而，所以，所以.故选：D．
2．(23-24高三上·云南保山·期末)已知，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由，，可判断，再由切线不等式，可判断，得解.
【解】由当时，由三角函数线知识可得，所以，
又令，，，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，即，当且仅当时等号成立，
故而，所以.故选：A.
3.(2025高三陕西榆林)在内，则满足不等式的取值集合是 .
【答案】或【分析】作图，根据三角函数线求出集合.
【解】作出单位圆如下图所示：
满足不等式的角的区域如图中的阴影部分所示(位于直线的下方)，
故在内，则满足不等式的取值集合是或.
故答案为：或.
4.(24-25高三上·北京朝阳·期末)使不等式成立的一个的值是 ．
【答案】(答案不唯一)【分析】结合单位圆中的正弦线，余弦线及正切线可解.
【解】结合单位圆中的正弦线，余弦线及正切线可知：当时，.
故答案为：.(答案不唯一)
题型8 同角关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α． 变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α．
1.(2025·云南昭通·模拟预测)“”是“”的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知正(余)弦求余(正)弦
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解】若，则，即，得不出，如，
所以“”不是“”的充分条件；
若，则，可得，即，
所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要而不充分条件，故选：A．
2．(2025·广东深圳·二模)若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由同角关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【解】因为，则，所以，
因此.故选：A.
3．(2025·湖南长沙·三模)若，则
【答案】/【分析】先由，求出的值，再利用拆角变换与差角的余弦公式计算即得.
【解】因为，所以，由可得，
所以．故答案为：.
4.(2025·江苏泰州·二模)已知，且，则 ．
【答案】【分析】对原式两边平方后，确定的正负，从而确定的正负；结合韦达定理即可求得.
【解】由题可知，两边平方可得：，解得，
又，故，则；
故为方程的两根，则，解得或，则.
故答案为：.
5.(2025·四川达州·模拟预测)已知，且，则 .
【答案】【分析】利用同角公式中的平方关系求值即可.
【解】由已知得，
则，所以.故答案为：.
题型9 弦的齐次式
(1)一次：； (2)二次：； (3)1的代换：；
1.(2025·河北张家口·二模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【解】由题意可得，则.故选：D.
2.(2025·江苏淮安·模拟预测)已知为第四象限角，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【解】因为，，所以，
因为为第四象限角，所以，
所以.
故选：B.
3．(2025·贵州黔南·三模)若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【解】因为，所以，解得.故选：B
4.(2025高三下·江苏常州·阶段练习)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】先利用条件求出，再利用平方关系和倍角公式将化简，得，进行切弦互化，即可求解.
【解】由，得，
故.
故选：D.
5．(2025·广西柳州·模拟预测)已知，则( )
A． B． C．2 D．
【答案】D【分析】先应用两角和正切公式计算得出，再弦化切得出齐次式的值.
【解】因为，所以，
所以，则.故选：D.
6．(2025·甘肃白银·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【解】因为，所以，解得，于是，故选：A．
7．(2025·宁夏银川·三模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值(用字母代替)，则( )
5° 15° 25° 35°
m n p q
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用诱导公式，再利用二倍角公式，接着齐次化转化为正切可求.
【解】，故选：B.
8．(2025·山东德州·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】利用差角的正弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解.
【解】由得，，
整理得，即，
所以.故选：D
9．(2025·山东济南·三模)已知，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【分析】根据二倍角公式进行弦化切即可得到答案.
【解】.故选：B.
题型10 正余弦三剑客(sinɑ±cosɑ与 sinɑ·cosɑ)
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α， 所以，在sin αcos α，sin αcos α，sin αcos α这三者中：知一求二。其中难点是符号。
1.(2025·河北·模拟预测)已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.94【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、sinα±cosα和sinα·cosα的关系
【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得.
【解】，故，
又且，故，，故.故选：A.
2.(2025·辽宁辽阳·二模)已知为第一象限角，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.85【知识点】二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系
【分析】由平方，利用平方关系化简，再开方求解.
【解】．
3．(2025·四川成都·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.94【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】利用条件求出，再利用倍角公式化简可得结果.
【解】等式两边平方可得，，即.
.故选：C
4.(2025·甘肃甘南·模拟预测)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系
【分析】由题意得，解一元二次方程即可得解.
【解】因为，所以，
化简得，
解得或(舍去，因为，且等号不能成立)．故选：D．
5.(2025高三下·湖南长沙·阶段练习)已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.85【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】两边平方可求得，进而可求得，利用立方和公式可求的值.
【解】由两边平方，得，∴，，
而，，∴，∴，
∴.故选：C.
6.(2025·湖南长沙·二模)(多选)已知，，则下列各式正确的有( )
A． B． C． D．
【答案】AD【解】A项：由已知：，因此，故A项正确；
B项：因为，且，所以，因此．又因为，因此，故B项错误；
C项：，故C项错误；
D项：由方程组，解得于是，故D项正确．故选：AD.
7.(多选)(2025高一上·吉林通化·期末)已知，，则下列等式正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】ABD【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解.
【解】对于A，由，则，化简得，故A正确；
对于B，由，，则，即，
，，故B正确；
对于C，由，解得，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.故选：ABD.
8.(2025高一下·内蒙古赤峰·期中)已知，则 ．
【答案】【分析】根据题意，平方后，利用三角函数的基本关系式，即可求解.
【解】由，平方可得，
所以.故答案为：.
9.(2025·四川·三模)赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式
【分析】根据题意，由条件可得，再由同角三角函数的平方关系以及二倍角公式，代入计算，即可得到结果.
【解】由题意，大、小正方形的边长分别为13，7，于是有，
即有，两边平方得，所以．故选：D
题型11 诱导公式、和差角公式、二倍角公式
1.和差角公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β)) (T(α－β)) (T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ．
1.(2025·四川·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.85【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、二倍角的正弦公式
【分析】应用平方关系求得，再由二倍角正弦公式求函数值.
【解】由题设(负值舍)，所以.故选：C
2.(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.94【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的余弦公式化简、求值
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角的正弦求解.
【解】.故选：C
3.(2025·吉林长春·模拟预测)已知，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式【分析】根据诱导公式及二倍角公式化简求值.
【解】因为，所以
.故选：D.
4.(2025山东烟台一模)已知，则( )
A． B． C． D．2
【答案】C【解】原式.故选：C
5.(2025·山东·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【解】
.故选：C.
6.(2025·江西·一模)化简( )
A． B． C．1 D．
【答案】D【解】由两角和的正切公式得
由诱导公式得，
则原式可化为，故D正确.故选：D.
7.(2023·河北·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．1
【答案】C【难度】0.65【知识点】万能公式、二倍角的余弦公式
【分析】将用替换后，解方程解出即可.
【解】因为，可得，
可得，解得，因为，所以，所以，
所以.故选：C.
8.(2025·海南海口·模拟预测)若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式
【分析】由正切化弦得到①，利用和角公式展开，得到②，联立解得，，再利用差角公式和二倍角公式即可求得.
【解】由可得，即，①．
由，可得，②
联立①，②，解得，，
则，故.故选：D．
9.(2025·广东惠州·模拟预测)我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】二倍角的正切公式
【分析】设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，由勾股定理可得，求出，再由正切的二倍角公式可得答案.
【解】由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为1，
设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，
由勾股定理可得，
解得，，所以，因此.故选：D.
10.(2024广东佛山·期中)(多选)下列选项中，值为的是( )
A． B． C． D．
【答案】BCD【解】选项A：，故选项A不符合题意；
选项B：，故选项B符合题意；
选项C：，故选项C符合题意；
选项D：，故选项C符合题意.故选：BCD.
11．(2025·浙江杭州·模拟预测)(多选)已知，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】BD【解】由，，所以，即，故A错误；
由于，所以，则有，
即，故B正确；
因为，，所以，
又因为，所以，故C错误；
由，
因为，，所以，则，故D正确；故选：BD.
12.(2025·湖南长沙·二模)已知角终边上一点，则 ；
【答案】/0.5【难度】0.85【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】运用三角函数定义求出，再结合二倍角公式化简计算即可.
【解】根据三角函数定义，可得，则.故答案为：.
13.(2025高三全国专题练习)已知，则 ．
【答案】1【分析】由诱导公式化简，化为齐次式，然后代入计算，即可得到结果.
【解】原式.故答案为：.
14．(2024山东二模)在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【答案】/【难度】0.85【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】先利用角的终边所经过的点求出，再求.
【解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，
所以，；
.故答案为：
15.(2025·湖南长沙·三模)若，则
【答案】/【难度】0.85【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值
【分析】先由，求出的值，再利用拆角变换与差角的余弦公式计算即得.
【解】因为，所以，由可得，
所以．故答案为：.
题型12 辅助角公式
辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin．
1.(2025·河北保定·二模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】结合已知根据辅助角公式得，然后根据辅助角公式及二倍角余弦公式求解即可.
【解】由，得，所以，
所以．故选：B
2.(2025·江苏宿迁·模拟预测)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【解】由得，
又因为，故选：B.
3.(多选)(24-25高一下·四川成都·期中)下列计算正确的有( )
A． B．
C． D．
【答案】AB【分析】逆用两角和的余弦公式可判断A；逆用两角和的正余弦公式结合诱导公式可判断B；利用辅助角公式结合两角差的正弦公式可判断C；由二倍角的正切公式可判断D.
【解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D不正确.故选：AB.
4.(2025·四川成都·模拟预测)已知，则的值为 ．
【答案】【难度】0.85【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】根据两角和差公式及二倍角余弦公式计算求解.
【解】因为，
则．故答案为：.
题型13 给角求值
从几个方面处理： (1)能否利用诱导公式化为同一个角(或者减少角的个数)； (2)如果化为同一个角的式子，则利用同角关系解，或者换元后化为函数利用函数知识解； (3)如果化为两个角的式子，则利用和差角公式等进行化简；
1.(2025·江西·模拟预测)的值为( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】D【解】.故选：D.
2.(2025·江苏宿迁·阶段练习)( )
A． B． C． D．
【答案】C【解】
.故选：C.
3．(2025·四川南充·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【解】
.故选：C
4．(2025·高三上·河北石家庄·期末)( )
A． B． C． D．
【答案】D【解】因为，同理可得，
.故选：D.
5.(23-24·高一下·安徽芜湖·开学考试)( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得.
【解】
.故选：A
6.(2025·湖南永州·模拟预测)的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】给角求值型问题
【解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可．
【分析】.故选：D.
7．(2025·四川·模拟预测)(多选)下列各式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD【解】对于A：，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：因为，即，
，即，，即，
所以，所以，所以，故C错误；
对于D：
，故D正确.故选：ABD
8．(2025 ·江苏) ．
【答案】【解】
.故答案为：.
题型14 给值求角
给值求角问题的一般步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求角的某一个三角函数值．即根据已知条件，选取合适的三角函数求值． ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． 若角的范围是，选正、余弦函数皆可； 若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好； 若角的范围是，选正弦函数较好． (3)结合三角函数值及角的范围写出所求的角．
1.(2025·广东珠海·模拟预测)设，，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题
【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得.
【解】由题设，所以，
因为，，则，又，
所以或，即或(舍)，故．故选：D
2．(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知，，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【解】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．故选：D
3.(2025·黑龙江·二模)已知，且为钝角，则 .
【答案】【解】由题意可得，
因为钝角，即，则，则，即.故答案为：.
4.(2025·重庆·模拟预测)已知，均为锐角，，，则 .
【答案】/【解】因为，
所以，所以，
因为，均为锐角，，所以，
所以，所以.故答案为：
5.(2025 江苏扬州·期中)已知，，，，则的值为 .
【答案】【解】因为，，则，所以，
则，且，，，
则.故答案为：
6．(2024·陕西铜川·模拟预测)若，且，则的值为 ．
【答案】或.【难度】0.85【知识点】二倍角的余弦公式、给值求角型问题
【分析】由二倍角公式及两角差的正弦公式得到，再分与两种情况讨论，分别求出即可.
【解】由，得，
即，
当时，，即，由，得；
当时，，所以，
即，由，得，
所以，所以．故的值为或．故答案为：或.
题型15 给值求值
给值求值问题的一般思路： (1)确定已知式子中的角与要求式子的角是否有关系：即观察要求式子的角能否用已知角表示． (2)将要求式子的角化为已知角的式子， (3)通过三角恒等变换，利用和差角公式、二倍角公式等化简成与已知角的正弦、余弦、正切有关的式子，(4)最后根据已知的值即可求出．
1.(2025·湖南长沙·模拟预测)已知，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题
【分析】由及，得，再将正切变成正弦和余弦，化简并结合同角三角函数的基本关系可求解出，再利用二倍角关系求解即可.
【解】由及，得.又由，得，
得，所以，而，故选：B.
2.(2025·安徽淮北·模拟预测)已知且则tanβ=( )
A．3 B．2 C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、给值求值型问题
【分析】根据求得，代入题意中的等式，利用二倍角的余弦公式求出，结合同角的商数关系计算即可求解.
【解】因为，所以，得，
又，解得，由，解得，
所以，所以.故选：C
3.(2025·河南·三模)已知，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、给值求值型问题
【分析】根据题意利用两角和差公式可得，进而可得，进而可求.
【解】因为，即，
可得，即，．
因为，则，可得，
又因为，可得．
所以．故选：D.
4．(2025·甘肃白银·一模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题
【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.
【解】.
故选：D.
5．(2025·广东广州·三模)已知都是锐角，，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.85【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：，可得，进而利用可求值.
【解】法一：由是锐角，得.因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
法二：由已知可得，所以，
∴.故选：C.
6．(2025·湖南长沙·模拟预测)已知，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题
【分析】由及，得，再将正切变成正弦和余弦，化简并结合同角三角函数的基本关系可求解出，再利用二倍角关系求解即可.
【解】由及，得.
又由，得，得，
所以，而，故选：B.
7．(2025·安徽蚌埠·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、诱导公式五、六、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题
【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解.
【解】因为 ，所以，
因为 ，所以，
所以
==.故选：D.
8.(2025·内蒙古包头·模拟预测)已知，则 .
【答案】【难度】0.85【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、给值求值型问题【分析】以为整体，利用诱导公式可得，再根据倍角公式结合齐次式问题运算求解.
【解】因为
由.
故答案为：.
题型16 角的拼凑
(1)； (2)；； (3)；； (4)；.
1.(2025·甘肃白银·模拟预测)若，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【解】，．故选：A
2.(2025·河北张家口·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式
【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.
【解】因为，
则.故选：D
3.(2025·黑龙江大庆·三模)若，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【解】.故选：A.
4．(2025河北秦皇岛模拟预测)已知为锐角，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【解】由，得.故选：D
5.(2025山东模拟预测)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【解】因为，
所以.故选：D
6.(2025·安徽蚌埠·三模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、诱导公式五、六、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题
【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解.
【解】因为 ，所以，因为 ，
所以，
所以
==.故选：D.
7.(2025福建莆田二模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【解】.故选：C.
8.(2025·河北·二模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【解】因为，所以，
即，所以，
则.故选：A.
9.(2025高三下江西开学考试)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【解】，，
，可得，
，．故选：A．

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