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专题01 三角函数的概念与三角恒等变换
01 任意角与弧度制
1.角的相关概念
（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
（2）角的表示：如图，射线OA为始边，射线OB为终边，点为角的顶点.“角”或““可简记为“”．
（3）角的分类
名称 定义 图形
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
这样,我们就把角的概念推广到了任意角，
（4）相等的角：设角由射线OA绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称．
（5）角的加、减法
①角的加法：设是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是．
②相反角：把射线OA绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.
③角的减法：像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有．这样，角的减法可以转化为角的加法．
2.终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．如图，角、角和角都是以射线OB为终边的角，它们是终边相同的角．
3.象限角与轴线角
（1）象限角、轴线角的概念：在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角．
（2）象限角的集合
①第一象限角：．【锐角是第一象限角，反之不成立.】
②第二象限角：．【钝角是第二象限角,反之不成立.】
③第三象限角：．
④第四象限角：．
（3）轴线角的集合
角终边的位置 角的集合 特点
在轴的非负半轴上 集合中角之间的差都为 360°的整数倍
在轴的非负半轴上
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴上 集合中角之间的差都为 180°的整数倍
在轴上
在坐标轴上 集合中角之间的差为90°的整数倍
象限角的注意事项
1．象限角必须具备两个条件： （1）角的顶点与原点重合； （2）角的始边与轴非负半轴重合．如图所示，为第二象限角，为第一象限角，不能确定是第几象限角，因为始边没有与轴的非负半轴重合。
2．象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，不能说第二象限角大于第一象限角．
终边在轴上的角的集合的推导过程
角的终边在轴的非负半轴上的角的集合记为，则．
角的终边在轴的非正半轴上的角的集合记为，则.
角的终边在x轴上的角的集合记为,
【真题实战】（2025·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】确定已知角所在象限
【分析】将，与的终边相同．
【详解】，
又终边在第三象限，
所在的象限为第三象限，
故选：C．
4.角度制、弧度制的概念
（1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．规定1度的角等于周角的．
（2）弧度制
定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ;.
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
角的表示的书写规范
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如，的写法都是不规范的，应写为.
5.角度与弧度的互化
（1）角度与弧度的互化
角度化弧度 角度数弧度数
弧度化角度
（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
弧度
（3）用弧度表示终边相同的角：用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为。这些角所组成的集合为.在弧度制下，
第一象限角的集合为；
第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；
第四象限角的集合为．
在弧度制下，轴线角的集合
在轴的非负半轴上的角的集合为；
在轴的非正半轴上的角的集合为；
在轴的非负半轴上的角的集合为；
在轴的非正半轴上的角的集合为．
6.扇形的弧长公式和面积公式
设扇形的半径为，弧长为，圆心角为（为其圆心角的弧度数，且），则
角度制 弧度制
弧长公式
面积公式
对扇形的弧长公式和面积公式的理解
（1）在公式中，已知中的两个量可以求出另外两个量．
（2）运用弧度制下的公式时要注意前提：为弧度数。
（3）在运用公式时，还应熟练掌握这两个公式的相关变形：
【真题实战1】（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ．
【答案】
【知识点】弧长的有关计算
【分析】把分钟转速转换成秒转速问题，然后借助比例来求出被动轮的转速，最后利用弧长公式求解即可.
【详解】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为，
所以弧长为
故答案为：
【真题实战2】（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】将图分为八部分，通过切割的思想即可得结果.
【详解】如图，作出辅助线，根据图形的对称性，可知阴影区域的面积为.
故选：D.

弧度制下扇形面积公式的记忆技巧
扇形的面积公式可类比三角形的面积公式记忆，把扇形看成曲边三角形，弧长看成三角形的底，半径看成三角形的高，面积等于底乘高除以2，即扇形的面积．
02 三角函数的概念
1.三角函数的概念
（1）利用单位圆定义任意角的三角函数
如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点，那么：
把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即，以此比值为函数值的函数称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数；余弦函数；正切函数，．
（1）在三角函数的概念中，应该明确是一个任意角.（2）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是＂正弦函数＂的一个记号，就如表示自变量为的函数一样，单独的＂＂＂＂＂＂是没有意义的.（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．（4）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，对于确定的角，其终边的位置也随之确定.
（2）利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数
①如图，设是一个任意角，是它终边上任意一点（不与原点重合），点与原点的距离是，那么：
a.比值叫做的正弦函数，记作，即；
b.比值叫做的余弦函数，记作，即；
C.比值叫做的正切函数，记作，即．
直角三角形中的三角函数
在 Rt 中， 的对边与斜边的比值叫做 的正弦函数，即 的邻直角边与斜边的比值叫做 的余弦函数，即 的对边与邻直角边的比值叫做 的正切函数，即 ．
②一些特殊角的三角函数值
0
0 1 0 -1
1 0 -1 0
0 1 — -1 0 —
三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，对于确定的角，其终边的位置也随之确定.
同一个三角函数值对应的角有无数个，如 ，则 或 ．
【真题实战1】（2025·全国·模拟预测）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】在中，根据与分别得出的值，再由充分必要条件的定义即可判断.
【详解】在中，若，则，所以；
而若，则或，所以.
所以由“”可以推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【真题实战2】（2025·北京·三模）已知集合则集合M的元素个数为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【分析】由，求出，即可求出，进而求出的值，可得答案.
【详解】因为，所以或，
所以或，
所以或，
若为偶数，则或，
若为奇数，则或，
所以或或或.
故选：B.
2.三角函数的定义域和值域
三角函数 定义域 值域
正弦函数的值域
已知角的终边上除原点外的任一点，则，所以，即.
3.三角函数值在各象限内的符号
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
口诀记忆：上加下减；左减右加；左斜减，又斜加.
【真题实战1】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、诱导公式一、二倍角的正弦公式
【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
所以，异号，
所以在第二、四象限，
又，所以在第二象限.
故选：.
【真题实战2】（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】先得到，利用诱导公式和倍角公式得到AB错误，C正确，举出反例得到D错误.
【详解】由题意得，
A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，若，此时，D错误.
故选：C
4.同角三角函数基本关系式
（1）同角三角函数的基本关系
①平方关系：
②商数关系：
（2）基本关系式的几种变形
①
.
②.
③
与的区别
是的简写，读作＂的平方＂，而是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写.
同角三角函数的基本关系的推导
如图，设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于，则是直角三角形，而且．由勾股定理得，因此，，即．显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据正切函数的定义，当时，有
.
（3）同角三角函数的基本关系的常见变形
①.
注意正负号.
②.
对同角三角函数的基本关系的理解
（1）同角三角函数的基本关系中的角都是＂同一个角＂，注意不一定成立。 ＂同角＂与角的表示形式无关，定成立，这里的角是指．
（2）同角三角函数的基本关系是针对使三角函数有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立．
【真题实战1】（2025·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平方关系求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】根据平方关系得到方程，即可求出，，再由两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，显然，所以，
则，则，解得或（舍去），
所以，则．
故选：B．
【真题实战2】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式、正、余弦齐次式的计算
【分析】根据题意，化简求解可得，由诱导公式及二倍角公式化简，再利用齐次式求解即可.
【详解】因为，则，
即，显然，
可得，整理得，
解得或，
又因为，可得，
所以．
故答案为：.
03 诱导公式
1.三角函数的诱导公式
公式1
公式2
公式3
公式4
公式5
公式6
对诱导公式的说明
1．正、余弦函数诱导公式中的角可以是任意角，但正切函数诱导公式中的角必须使公式中的角的正切值有意义。
2．在判断三角函数值的符号时，可以把看成锐角。
3．诱导公式可以根据角的终边的对称性，结合三角函数的定义进行推导或理解．
2．诱导公式的理解与记忆
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．诱导公式可以统一概括为＂＂的各三角函数值的化简公式．
（1）＂奇＂＂偶＂是对中的倍数来讲的．
（2）＂变＂与＂不变＂是针对三角函数名称而言的．当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变.
（3）＂象限＂是指中，将看成锐角时，所在的象限，根据＂一全正，二正弦，三正切，四余弦＂的符号规律确定角对应三角函数值的符号．
诱导公式的作用
公式一：将任意角转化为的角求值．
公式二：将的角转化为锐角求值。
公式三：将负角转化为正角求值。
公式四：将的角转化为的角求值．
公式五和公式六：实现正弦与余弦的相互转化．
【真题实战1】（2025·甘肃金昌·三模）已知，则 .
【答案】
【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正切公式、诱导公式一
【分析】利用诱导公式及二倍角的正切可求三角函数式的值.
【详解】
故答案为：
【真题实战2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式
【分析】由，利用二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】由，
故选：A.
【真题实战3】（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】诱导公式五、六、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解.
【详解】因为，
，，
所以，，所以，则．
故选：D．
04 三角恒等变换公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
利用两角差的余弦公式推导诱导公式
2..
3..
2.二倍角公式
（1）二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α；
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α tan 2α＝
（2）倍角公式的逆用及变形
①，.
②．
③．
（3）配方变形
.
（4）因式分解变形
（5）升幂公式
（6）降幂公式
3.辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ).
常见辅助角结论
① ②
③ ④
⑤ ⑥
【真题实战1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，则 .
【答案】
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、诱导公式一、诱导公式二、三、四
【分析】利用两角和的正弦公式、诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】因为，
则由两角和的正弦公式可得：.
因为，，
所以，
则.
故答案为：.
【真题实战2】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】根据三角恒等变换公式即可得出答案.
【详解】原式
.
故选：B.
4.半角公式
（1）半角公式的无理形式
（2）半角正切公式的有理形式
．
【真题实战】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、半角公式
【分析】由平方关系、半角公式即可求解.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
故选：D.
5.万能公式
【真题实战】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、万能公式、二倍角的余弦公式、和差化积公式
【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得.
【详解】因为
，
又因为，且，,
所以，故，
又由于，所以，
由于，
故选：A．
6.积化和差与和差化积公式
（1）积化和差公式
积化和差公式的记忆口诀
前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。
和差化积公式
和差化积公式的记忆口诀
正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦．
应用和差化积与积化和差公式化简的关键点
利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式是将同名称的正弦与余弦进行恰当组合，组合时遵循原则：
（1）尽量使两角的和（差）出现特殊角；（2）对于特殊角的三角函数应求出其值．
【真题实战】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列的前n项和为，若，则 .
【答案】/0.5
【知识点】积化和差公式、裂项相消法求和
【分析】先由积化和差公式化简得到，再代入，化简可得结果.
【详解】由积化和差公式可得，
则
.
故答案为：.
01 sin α，cos α齐次式中“切弦互化”的技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
【典例1】（2025·江苏泰州·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以，用正切表示已知式子，即可求解.
【详解】.
故答案为：
【典例2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】由正切化弦得到①，利用和角公式展开，得到②，联立解得，，再利用差角公式和二倍角公式即可求得.
【详解】由可得，即，①．
由，可得，②
联立①，②，解得，，
则，
故.
故选：D．
【典例3】（2025·湖南岳阳·三模）已知，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式
【分析】利用二倍角公式化简得，再利用平方关系化简，再开方可得，从而即可.
【详解】由得：，
再两边平方得: ,
又因为，所以，
则，
故选：B.
02 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
【典例1】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、由三角函数式的符号确定角的范围或象限
【分析】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得.
【详解】，
故，
又且，故，
，故.
故选：A.
【典例2】（2025·四川成都·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系
【分析】利用条件求出，再利用倍角公式化简可得结果.
【详解】等式两边平方可得，，即..
故选：C
【典例3】（2025·山东菏泽·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】利用和差公式和二倍角公式化简即可得解.
【详解】因为，
整理得，两边平方得，得.
故选：B
03 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
【典例1】（2025·江西·一模）化简（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的正切公式化简、求值
【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.
【详解】由两角和的正切公式得
由诱导公式得，
则原式可化为，故D正确.
故选：D.
【典例2】（2025·河北·模拟预测）化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】利用二倍角公式、同角三角函数关系弦化切，及两角差的正切公式和即可求解.
【详解】.
故选：A.
【典例3】（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】根据三角恒等变换公式即可得出答案.
【详解】原式
.
故选：B.
04 寻找角的关系
1.计算与化简题中的角的关系：
对于计算与化简题，我们先要寻找式子中是不是有两个角满足其和或差为特殊角，，或者存在 2 倍的关系，然后利用这些关系，并结合诱导公式、和差角公式、倍角公式以及辅助角公式进行化简，从而解决问题．
2．“已知若干解或若干角的三角函数值，求目标解或目标解的三解函数值”问题中的解的关系：
处理“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”之类的问题时，一定要牢记目标角是若干个已知角的线性组合，即，其中常数一般只在集合中取值，这样我们就可以运用诱导公式、和差角公式以及倍角公式进行目标角的值或目标角的三角函数值的求解．
【典例1】（2025·江西·一模）化简（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.
【详解】由两角和的正切公式得
由诱导公式得，
则原式可化为，故D正确.
故选：D.
【典例2】（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可.
【详解】首先，我们先对合理变形，
得到，
，
由积化和差公式得，
同理可得，
，
则，
得到，故A正确.
故选：A
【典例3】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，利用两角差的余弦公式建立等式，得出，再利用两角和的余弦公式进行求解即可．
【详解】因为，
所以，而，
所以，
即，
所以，
所以
.
故选：D．
【典例4】（24-25·上海·模拟预测）若，且，求的值.
【答案】
【分析】根据， 得到，，再利用角的变换由求解
【详解】由已知，
从而，
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的推导及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
05 积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积解题策略
1．抓角的关系：分析角的和、差、倍或特殊角（如），明确转化方向。
2．配公式结构：
①积化和差：乘积转和差，记系数与符号（同名积和差，异名积差和）；
②和差化积：和差转乘积，拆角为，记系数与符号（正余符号对应）。
3．联用 + 验符号：结合诱导、和差角、倍角公式化简，通过角的范围判断三角函数符号，排除矛盾解．
【典例1】（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【分析】先利用条件求出，然后可得答案.
【详解】因为，所以，
由和差化积公式可得，
因为，所以，
由，
可得，所以.
故选：C
【典例2】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】因为，所以，
即
，
，
所以，，
因为、的终边不重合，则，则，
所以，则，所以，
因此，.
故选：D.
【典例3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】由，，令，求解的值，判断选项.
【详解】由，，
令，则，或，
故或，即或，
由，则或，
即或，
故或，
综上所述，存在个零点,即为.
故选：C.
【典例4】（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用偶函数定义化简解出得值，将得值代入，通过三角恒等式展开并化简，利用余弦函数的有界性求出最大值.
【详解】由是偶函数，得，
展开并整理得：，
根据二倍角公式得：，
整理得：，结合，得，
代入，，则
，
利用积化和差公式：
化简得：，
当时，取得最大值.
故选：B
01 忽略角的度量单位的一致性
角的终边相关集合问题三个核心规律
1．单位必统一：角度制、弧度制不可混用，写集合时，角度制用，弧度制用，保证单位一致。
2．周期看场景：＂终边重合（射线）＂，周期为（转一圈重合）；＂终边在直线上（双向射线）＂，周期为（转半圈仍在直线）。
3．直线双向性：终边在直线上时，要考虑两个相反方向射线，用含（弧度）或（角度）的形式，覆盖双向情况。
【典例1】与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据终边相同的角定义判断即可.
【详解】一般来说，角度、弧度不能混用，故A，D错误，
与角终边相同的角的集合是，B错误，C正确，
故选：C
【典例2】终边在直线上的角的集合为 ．
【答案】
【分析】由任意角与弧度制的定义求解，
【详解】由题意得与轴的夹角为，
故终边在直线上的角的集合为，
故答案为：
02 忽略终边相同角的公式中π的系数的要求，不能分类讨论
处理终边相关集合问题时，需警惕忽略对分类讨论这一关键易错点.由于终边相同角公式中，不同奇偶性或取值会让集合范围呈周期性变化，若不拆分（偶数）、（奇数）等情况，易导致范围漏判；同时，未将含的集合转化为更直观的平移形式（清晰体现周期延伸），或化简角度／弧度系数时变形失误，都会使集合关系（包含、交集等）判断出错.解题时，要通过分类取值拆分范围、转化周期形式直观对比、精准化简系数明确元素，以此避开漏解、误判陷阱，准确分析集合包含、交集等关系.
【典例1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角的范围及集合的关系即可判断.
【详解】当时，，
当时，，
所以.
故选：A
【典例2】已知集合，则M，P之间的关系为（　　）
A．M=P B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简集合，根据集合的关系即得.
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
【典例3】已知集合，集合，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可.
【详解】依题意，，
而，
所以，.
故选：A
03 应用三角函数的定义求值时遗漏终边的位置
终边落在直线Ax+By=0上,即要确定终边在哪些象限,需分类讨论,利用三角函数的定义求值时必须明确终边的条件,清楚其在坐标系中的位置.简言之，遇直线型终边，先定象限、再分类.
【典例1】若角的终边落在直线上，则的值等于（　）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．0
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义，可得sinα=cosα=或sinα=cosα=﹣．将此三角函数值代入题中的式子，化简整理即可得到结果．
【详解】解：∵角α的终边落在直线x﹣y=0上，
∴sinα=cosα=或sinα=cosα=﹣
①当sinα=cosα=时，
==1+1=2；
②当sinα=cosα=﹣时，
==﹣2
综上所述，原式的值为2或﹣2
故选C．
04 应用三角函数的定义求参数时忽略参数的取值范围
利用三角函数定义（终边过点等）求参数时，易犯以下错误：
1．忽略坐标符号关联：终边点的坐标符号由参数决定，会影响三角函数符号。需依据三角函数值的符号，判断、的符号关系（如则），缩小参数范围，避免增根。
2．遗漏解的检验：解方程得到参数值后，要代入原定义式，检验坐标符号是否符合三角函数值的符号逻辑，以及的有效性，排除不满足＂终边存在条件＂的增根。
简言之，用定义求值时，先借符号定坐标范围，再验解保结果合理，规避增根与逻辑矛盾。
【典例1】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．－4和 B． C．－4 D．1
【答案】B
【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数即可.
【详解】由三角函数的定义可得，则，
整理可得，因为，解得，
故选：B.
【典例2】已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意有，解得或，
由于，则，所以满足题意.
故选：A
05 忽略题目隐含范围致错
利用等关系求参数时，易忽略角的象限对三角函数符号的约束，以及表达式隐含的定义域条件（如分母非零、根号有意义等）。解题需分两步：先通过平方关系列方程求解，再结合角的象限符号特征、表达式自身限制（如分母），检验解的合理性，排除不符合条件的增根。
【典例1】已知，，若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】由，注意在第二象限，有即可．
【详解】∵，∴，解得或，
时，，不是第二象限角，舍去．时，符合题意．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，利用平方关系参数值时，要注意检验是否是第二象限角．
06 不能精确确定角的取值范围导致错解
利用三角恒等式（如等）求解时，易忽略 角的取值范围（象限、区间）对三角函数符号的约束，导致保留不符合符号规律的解。解题需紧扣角的区间／象限，分析该范围内三角函数的符号特征（正负、范围），验证解的合理性，排除与符号矛盾的结果。
【典例1】已知，，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】由，可得，解方程结合已知可求得.
【详解】因为，，所以，
所以，所以，
解得或，
又，所以.
故选：B.
【典例2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系式求得，代入即可求解.
【详解】因为，所以，
又，即，解得，
所以.
故选：B.
一、确定角终边所在象限的方法
（1）分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
（2）几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。
【典例1】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】C
【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限.
【详解】由为第三象限角，得,
则,
当，此时在第二象限；
当，此时在第四象限.
故是第二或第四象限角.
故选：C.
【典例2】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知是钝角三角形中最大的角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角
【答案】A
【分析】先得到钝角的取值范围，进而求得的取值范围，从而确定正确答案.
【详解】因为是钝角三角形中最大的角，所以，
则，故是第一象限角．
故选：A
【典例3】（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【答案】C
【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解.
【详解】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C
【典例4】（24-25高三·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.
【详解】∵α为第三象限角，∴，
∴，
令，，时，，，
可得的终边在第一象限；
令，时，，，
可得的终边在第三象限，
令，时，，，
∴可得的终边在第四象限，
故选:B．
二、扇形的弧长与面积应用
1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【典例1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解.
【详解】因为圆的半径为1，劣弧的长为，所以，
则，
所以阴影部分的面积为.
故选：B.
【典例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ）
A．1 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】根据扇形面积公式计算求解.
【详解】设圆心角为，所以，所以3
故选：C.
【典例3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式可以求出扇形的半径，从而求出扇形对应圆的面积.
【详解】因为该扇形的圆心角为，面积为25，
根据，可得，
所以.
故选：
三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1.已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2.已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
3.已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。
【典例1】（2025·北京模拟）角的终边经过的一点的坐标是，则“”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由任意角三角函数的定义即可求出答案.
【详解】当时：，故是的充分不必要条件；
，故是的充要条件；
，故是的充分不必要条件；
，故是的既不充分也不必要条件；
故选：B.
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案.
【详解】由题意可得，，
则.
故选：D.
【典例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与直线位于第三象限的图象重合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在终边上取一点的坐标为，利用三角函数的定义，结合勾股定理求出斜边的长度，进而得到的值.
【详解】由于终边在第三象限且在直线上，
取，则,因此，终边上一点 的坐标为，
设 ，根据勾股定理，,
则由三角函数的定义可得.
故选：D
四、对sin α，cos α，tan α的知一求二问题
1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系 求解.
2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式建立联系，注意 的灵活应用.
3.知切求弦：先利用商数关系得出或然后利用平方关系求解.
【典例1】（2025·河南信阳·模拟预测）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的关系，已知，，可求，然后代入计算即可.
【详解】由题知，，解得，
则，
故选：A.
【典例2】（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用及角的范围变形得到，从而得到.
【详解】，
又，所以，
所以，
又，所以，，
所以，
故．
故选：B
【典例3】（2025·辽宁·二模）已知，则 .
【答案】2
【分析】根据题意结合同角三角关系可得，即可得结果.
【详解】因为，
所以,
故答案为：2.
【典例4】（2025·江西·一模）已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在等式两边平方，求出的值，再利用切化弦可求得的值.
【详解】在等式两边平方可得，可得，
所以.
故选：B.
五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
【典例1】（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】由，结合的范围求出的值，再利用诱导公式将化简，即可得解.
【详解】，
，．
．
故选：A
【典例2】（2024·辽宁·三模）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
【详解】，
故选：D.
【典例3】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.
【详解】因为，
所以角的终边在第二象限，
又因为
，
且，
所以.
故选：B.
【典例4】（20235·陕西模拟）已知角的终边过点，则 .
【答案】/
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及三角函数的定义求得正确答案.
【详解】有角的终边过点，所以，
.
故答案为：
六、给值求值问题的求解策略
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
等.
【典例1】（2025高三·湖北模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由两角差的正弦公式化简题设得，再结合诱导公式和倍角公式即可求解.
【详解】由得，
所以．
故选：A．
【典例2】（2025·四川成都·模拟）已知，，且，，求，及的值.
【答案】，，
【分析】由题中条件及同角三角函数的平方关系可求得和的值，利用两角和与差的余弦公式即可求解，的值，结合角即可求解的值.
【详解】因为，且，所以.
因为，且，所以.
所以，
.
又因为，，所以，所以，即.
【典例3】（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可.
【详解】.
.
故选：D.
【典例4】（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解.
【详解】因为 ，所以，
因为 ，所以，
所以
==.
故选：D.
【典例5】（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：，可得，进而利用可求值.
【详解】法一：由是锐角，得.
因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
法二：由已知可得，所以，
∴.
故选：C.
七、给值求角问题的求解策略
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
【典例1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为，为锐角，，，
所以，，
所以，
则
，
所以，
故选：A．
【典例2】（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得.
【详解】由题设，
所以，
因为，，则，又，
所以或，即或（舍），
故．
故选：D
【典例3】（2025·黑龙江·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 三角函数的概念与三角恒等变换
01 任意角与弧度制
1.角的相关概念
（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
（2）角的表示：如图，射线OA为始边，射线OB为终边，点为角的顶点.“角”或““可简记为“”．
（3）角的分类
名称 定义 图形
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
这样,我们就把角的概念推广到了任意角，
（4）相等的角：设角由射线OA绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称．
（5）角的加、减法
①角的加法：设是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是．
②相反角：把射线OA绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.
③角的减法：像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有．这样，角的减法可以转化为角的加法．
2.终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．如图，角、角和角都是以射线OB为终边的角，它们是终边相同的角．
3.象限角与轴线角
（1）象限角、轴线角的概念：在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，便称此角为第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角．
（2）象限角的集合
①第一象限角：．【锐角是第一象限角，反之不成立.】
②第二象限角：．【钝角是第二象限角,反之不成立.】
③第三象限角：．
④第四象限角：．
（3）轴线角的集合
角终边的位置 角的集合 特点
在轴的非负半轴上 集合中角之间的差都为 360°的整数倍
在轴的非负半轴上
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴上 集合中角之间的差都为 180°的整数倍
在轴上
在坐标轴上 集合中角之间的差为90°的整数倍
象限角的注意事项
1．象限角必须具备两个条件： （1）角的顶点与原点重合； （2）角的始边与轴非负半轴重合．如图所示，为第二象限角，为第一象限角，不能确定是第几象限角，因为始边没有与轴的非负半轴重合。
2．象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，不能说第二象限角大于第一象限角．
终边在轴上的角的集合的推导过程
角的终边在轴的非负半轴上的角的集合记为，则．
角的终边在轴的非正半轴上的角的集合记为，则.
角的终边在x轴上的角的集合记为,
【真题实战】（2025·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.角度制、弧度制的概念
（1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．规定1度的角等于周角的．
（2）弧度制
定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ;.
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
角的表示的书写规范
角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，如，的写法都是不规范的，应写为.
5.角度与弧度的互化
（1）角度与弧度的互化
角度化弧度 角度数弧度数
弧度化角度
（2）一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度
弧度
（3）用弧度表示终边相同的角：用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为。这些角所组成的集合为.在弧度制下，
第一象限角的集合为；
第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；
第四象限角的集合为．
在弧度制下，轴线角的集合
在轴的非负半轴上的角的集合为；
在轴的非正半轴上的角的集合为；
在轴的非负半轴上的角的集合为；
在轴的非正半轴上的角的集合为．
6.扇形的弧长公式和面积公式
设扇形的半径为，弧长为，圆心角为（为其圆心角的弧度数，且），则
角度制 弧度制
弧长公式
面积公式
对扇形的弧长公式和面积公式的理解
（1）在公式中，已知中的两个量可以求出另外两个量．
（2）运用弧度制下的公式时要注意前提：为弧度数。
（3）在运用公式时，还应熟练掌握这两个公式的相关变形：
【真题实战1】（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ．
【真题实战2】（2025·甘肃白银·二模）已知动点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
弧度制下扇形面积公式的记忆技巧
扇形的面积公式可类比三角形的面积公式记忆，把扇形看成曲边三角形，弧长看成三角形的底，半径看成三角形的高，面积等于底乘高除以2，即扇形的面积．
02 三角函数的概念
1.三角函数的概念
（1）利用单位圆定义任意角的三角函数
如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点，那么：
把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即；
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即，以此比值为函数值的函数称为正切函数．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数；余弦函数；正切函数，．
（1）在三角函数的概念中，应该明确是一个任意角.（2）要明确是一个整体，不是与的乘积，它是＂正弦函数＂的一个记号，就如表示自变量为的函数一样，单独的＂＂＂＂＂＂是没有意义的.（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．（4）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，对于确定的角，其终边的位置也随之确定.
（2）利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数
①如图，设是一个任意角，是它终边上任意一点（不与原点重合），点与原点的距离是，那么：
a.比值叫做的正弦函数，记作，即；
b.比值叫做的余弦函数，记作，即；
C.比值叫做的正切函数，记作，即．
直角三角形中的三角函数
在 Rt 中， 的对边与斜边的比值叫做 的正弦函数，即 的邻直角边与斜边的比值叫做 的余弦函数，即 的对边与邻直角边的比值叫做 的正切函数，即 ．
②一些特殊角的三角函数值
0
0 1 0 -1
1 0 -1 0
0 1 — -1 0 —
三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，对于确定的角，其终边的位置也随之确定.
同一个三角函数值对应的角有无数个，如 ，则 或 ．
【真题实战1】（2025·全国·模拟预测）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【真题实战2】（2025·北京·三模）已知集合则集合M的元素个数为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
2.三角函数的定义域和值域
三角函数 定义域 值域
正弦函数的值域
已知角的终边上除原点外的任一点，则，所以，即.
3.三角函数值在各象限内的符号
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
口诀记忆：上加下减；左减右加；左斜减，又斜加.
【真题实战1】（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【真题实战2】（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（ ）
A． B． C． D．
4.同角三角函数基本关系式
（1）同角三角函数的基本关系
①平方关系：
②商数关系：
（2）基本关系式的几种变形
①
.
②.
③
与的区别
是的简写，读作＂的平方＂，而是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写.
同角三角函数的基本关系的推导
如图，设点是角的终边与单位圆的交点，过作轴的垂线，交轴于，则是直角三角形，而且．由勾股定理得，因此，，即．显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．根据正切函数的定义，当时，有
.
（3）同角三角函数的基本关系的常见变形
①
注意正负号.
②.
对同角三角函数的基本关系的理解
（1）同角三角函数的基本关系中的角都是＂同一个角＂，注意不一定成立。 ＂同角＂与角的表示形式无关，定成立，这里的角是指．
（2）同角三角函数的基本关系是针对使三角函数有意义的角而言的，对一切恒成立，而仅对成立．
【真题实战1】（2025·河北·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【真题实战2】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则 ．
03 诱导公式
1.三角函数的诱导公式
公式1
公式2
公式3
公式4
公式5
公式6
对诱导公式的说明
1．正、余弦函数诱导公式中的角可以是任意角，但正切函数诱导公式中的角必须使公式中的角的正切值有意义。
2．在判断三角函数值的符号时，可以把看成锐角。
3．诱导公式可以根据角的终边的对称性，结合三角函数的定义进行推导或理解．
2．诱导公式的理解与记忆
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．诱导公式可以统一概括为＂＂的各三角函数值的化简公式．
（1）＂奇＂＂偶＂是对中的倍数来讲的．
（2）＂变＂与＂不变＂是针对三角函数名称而言的．当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变.
（3）＂象限＂是指中，将看成锐角时，所在的象限，根据＂一全正，二正弦，三正切，四余弦＂的符号规律确定角对应三角函数值的符号．
诱导公式的作用
公式一：将任意角转化为的角求值．
公式二：将的角转化为锐角求值。
公式三：将负角转化为正角求值。
公式四：将的角转化为的角求值．
公式五和公式六：实现正弦与余弦的相互转化．
【真题实战1】（2025·甘肃金昌·三模）已知，则 .
【真题实战2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【真题实战3】（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
04 三角恒等变换公式
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义．
利用两角差的余弦公式推导诱导公式
2..
3..
2.二倍角公式
（1）二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α；
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
T2α tan 2α＝
（2）倍角公式的逆用及变形
①，.
②．
③．
（3）配方变形
.
（4）因式分解变形
（5）升幂公式
（6）降幂公式
3.辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ).
常见辅助角结论
① ②
③ ④
⑤ ⑥
【真题实战1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，则 .
【真题实战2】（2025·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.半角公式
（1）半角公式的无理形式
（2）半角正切公式的有理形式
．
【真题实战】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5.万能公式
【真题实战】（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C．3 D．
6.积化和差与和差化积公式
（1）积化和差公式
积化和差公式的记忆口诀
前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。
和差化积公式
和差化积公式的记忆口诀
正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦．
应用和差化积与积化和差公式化简的关键点
利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式是将同名称的正弦与余弦进行恰当组合，组合时遵循原则：
（1）尽量使两角的和（差）出现特殊角；（2）对于特殊角的三角函数应求出其值．
【真题实战】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设数列的前n项和为，若，则 .
01 sinα，cosα齐次式中“切弦互化”的技巧
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
【典例1】（2025·江苏泰州·模拟预测）若，则 ．
【典例2】（2025·海南海口·模拟预测）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·湖南岳阳·三模）已知，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
02 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，
若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
【典例1】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·四川成都·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·山东菏泽·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
03 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等．
【典例1】（2025·江西·一模）化简（ ）
A． B． C．1 D．
【典例2】（2025·河北·模拟预测）化简：（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．2
04 寻找角的关系
1.计算与化简题中的角的关系：
对于计算与化简题，我们先要寻找式子中是不是有两个角满足其和或差为特殊角，，或者存在 2 倍的关系，然后利用这些关系，并结合诱导公式、和差角公式、倍角公式以及辅助角公式进行化简，从而解决问题．
2．“已知若干解或若干角的三角函数值，求目标解或目标解的三解函数值”问题中的解的关系：
处理“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”之类的问题时，一定要牢记目标角是若干个已知角的线性组合，即，其中常数一般只在集合中取值，这样我们就可以运用诱导公式、和差角公式以及倍角公式进行目标角的值或目标角的三角函数值的求解．
【典例1】（2025·江西·一模）化简（ ）
A． B． C．1 D．
【典例2】（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2025·上海·模拟预测）若，且，求的值.
05 积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积解题策略
1．抓角的关系：分析角的和、差、倍或特殊角（如），明确转化方向。
2．配公式结构：
①积化和差：乘积转和差，记系数与符号（同名积和差，异名积差和）；
②和差化积：和差转乘积，拆角为，记系数与符号（正余符号对应）。
3．联用 + 验符号：结合诱导、和差角、倍角公式化简，通过角的范围判断三角函数符号，排除矛盾解．
【典例1】（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A． B．7 C． D．
【典例2】（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【典例4】（2025·江西·二模）已知函数，是偶函数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
01 忽略角的度量单位的一致性
角的终边相关集合问题三个核心规律
1．单位必统一：角度制、弧度制不可混用，写集合时，角度制用，弧度制用，保证单位一致。
2．周期看场景：＂终边重合（射线）＂，周期为（转一圈重合）；＂终边在直线上（双向射线）＂，周期为（转半圈仍在直线）。
3．直线双向性：终边在直线上时，要考虑两个相反方向射线，用含（弧度）或（角度）的形式，覆盖双向情况。
【典例1】与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】终边在直线上的角的集合为 ．
02 忽略终边相同角的公式中π的系数的要求，不能分类讨论
处理终边相关集合问题时，需警惕忽略对分类讨论这一关键易错点.由于终边相同角公式中，不同奇偶性或取值会让集合范围呈周期性变化，若不拆分（偶数）、（奇数）等情况，易导致范围漏判；同时，未将含的集合转化为更直观的平移形式（清晰体现周期延伸），或化简角度／弧度系数时变形失误，都会使集合关系（包含、交集等）判断出错.解题时，要通过分类取值拆分范围、转化周期形式直观对比、精准化简系数明确元素，以此避开漏解、误判陷阱，准确分析集合包含、交集等关系.
【典例1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知集合，则M，P之间的关系为（　　）
A．M=P B．
C． D．
【典例3】已知集合，集合，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
03 应用三角函数的定义求值时遗漏终边的位置
终边落在直线Ax+By=0上,即要确定终边在哪些象限,需分类讨论,利用三角函数的定义求值时必须明确终边的条件,清楚其在坐标系中的位置.简言之，遇直线型终边，先定象限、再分类.
【典例1】若角的终边落在直线上，则的值等于（　）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．0
04 应用三角函数的定义求参数时忽略参数的取值范围
利用三角函数定义（终边过点等）求参数时，易犯以下错误：
1．忽略坐标符号关联：终边点的坐标符号由参数决定，会影响三角函数符号。需依据三角函数值的符号，判断、的符号关系（如则），缩小参数范围，避免增根。
2．遗漏解的检验：解方程得到参数值后，要代入原定义式，检验坐标符号是否符合三角函数值的符号逻辑，以及的有效性，排除不满足＂终边存在条件＂的增根。
简言之，用定义求值时，先借符号定坐标范围，再验解保结果合理，规避增根与逻辑矛盾。
【典例1】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．－4和 B． C．－4 D．1
【典例2】已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．2 B． C． D．
05 忽略题目隐含范围致错
利用等关系求参数时，易忽略角的象限对三角函数符号的约束，以及表达式隐含的定义域条件（如分母非零、根号有意义等）。解题需分两步：先通过平方关系列方程求解，再结合角的象限符号特征、表达式自身限制（如分母），检验解的合理性，排除不符合条件的增根。
【典例1】已知，，若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．或 D．
06 不能精确确定角的取值范围导致错解
利用三角恒等式（如等）求解时，易忽略 角的取值范围（象限、区间）对三角函数符号的约束，导致保留不符合符号规律的解。解题需紧扣角的区间／象限，分析该范围内三角函数的符号特征（正负、范围），验证解的合理性，排除与符号矛盾的结果。
【典例1】已知，，则的值为（ ）．
A． B． C．或 D．
【典例2】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
一、确定角终边所在象限的方法
（1）分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
（2）几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。
【典例1】（24-25高一下·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【典例2】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知是钝角三角形中最大的角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角
【典例3】（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第三象限
C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限
【典例4】（24-25高三·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、扇形的弧长与面积应用
1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【典例1】（24-25高三上·湖南·阶段练习）如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ）
A．1 B． C．3 D．6
【典例3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知某扇形的圆心角为2rad，面积为25，则该扇形所对应圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1.已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2.已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
3.已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值。
【典例1】（2025·北京模拟）角的终边经过的一点的坐标是，则“”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（ ）
A． B．1 C． D．
【典例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与直线位于第三象限的图象重合，则（ ）
A． B． C． D．
四、对sin α，cos α，tan α的知一求二问题
1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系 求解.
2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式建立联系，注意 的灵活应用.
3.知切求弦：先利用商数关系得出或然后利用平方关系求解.
【典例1】（2025·河南信阳·模拟预测）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2025·辽宁·二模）已知，则 .
【典例4】（2025·江西·一模）已知 ， 则（ ）
A． B． C． D．
五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
【典例1】（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（ ）
A． B． C．0 D．
【典例2】（2024·辽宁·三模）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【典例3】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（20235·陕西模拟）已知角的终边过点，则 .
六、给值求值问题的求解策略
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;
②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：
等.
【典例1】（2025高三·湖北模拟）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·四川成都·模拟）已知，，且，，求，及的值.
【典例3】（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【典例5】（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
七、给值求角问题的求解策略
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
【典例1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知，为锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·黑龙江·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．

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