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专题01 平面向量及其应用
题型1 平面向量的线性运算
1 平面向量的运算符合平行四边形法则和三角形法则； 2 平面向量的线性运算，用基底表示任一向量，方法有：首位相接法、构造平行四边形等，同时注意方法的综合运用； 3 在运算过程中，灵活运用一些小结论，比如三角形的中线； 4 掌握平面向量运算的坐标表示，利用建系的方法也可以。 【注意】在平行向量的线性运算的应用中，用到基本定理，要注意基底的选择。
1（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可.
【详解】因为在平行四边形中，，所以，
因为是的中点，所以，即，，
根据向量的加法法则，，
故选：B.
2（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算可得，计算即可求解.
【详解】由题意可得，，
因为为的中点，
所以，
则，所以.
故选：A
3（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组.
【详解】因，则，
故，
因三点共线，故设，则，
因，则，解得．
故选：D．
题型2 平面向量的共线定理
1两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 2设，则.
1（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若，则存在唯一的实数，使得，
故，
而，
存在使得成立，
所以“”是“存在，使得’的充分条件，
若且，则与方向相同，
故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件，
故“”是“存在，使得”的充分必要条件.
故选：C.
2（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可.
【详解】对于非零向量，
由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立；
由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立，
所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件，
故选：C.
3（2025·山东·模拟预测）已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用坐标表示向量共线可得.
【详解】，，
因为A，B，C三点共线，所以设，
即.
故选：B
4（2025·江苏南通·模拟预测）已知，向量，，且，则θ＝ ．
【答案】
【分析】由向量共线的坐标运算可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以， ．
故答案为：.
题型3 平面向量的垂直问题
1 若，则； 2 若 ，则. 3 在平面几何中的垂直问题，可用平面向量处理。
1（2025·甘肃白银·三模）已知角是锐角，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】因为，所以，又角是锐角，
所以或（舍去），所以，故，
所以.
故选：B.
2（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得
C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得
【答案】C
【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D.
【详解】因为向量，，则，，
对于A，当且仅当，即，
即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误；
对于B，当且仅当，
即，即，
当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得，
当时，此时，由此可知存在实数对，使得，
当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误；
对于C，当且仅当，解得，故C正确；
对于D，，
即，进而可得
故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误.
故选：C.
3（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出与的坐标，再利用向量垂直的性质列出等式，最后通过化简等式得到与的关系．
【详解】由题知，，，
，，
，整理得，
故选：B．
4（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知向量，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】应用向量数量积的运算律及已知条件得，再由数量积的坐标表示列方程求参数.
【详解】将两边同时平方，得，整理得.
因为，解得.
故选：B
5（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将已知条件平方，化简可得，利用该结论依次判断各个选项.
【详解】由于，则，
又由可得，
即，即，
对于选项，，故错误；
对于选项，由于，则，即，
所以，故正确；
对于选项，，故错误；
对于选项，，故错误．
故选：．
6（2025·浙江·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，，，且，则（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得出，再求出点的坐标及数量积公式计算，最后求出函数值.
【详解】由题干图象可知，则，所以，所以 ，
由，得，，即，，
因为，所以，则.
又，则，又 ，，
，解得（负根舍去），
所以，所以.
故选：C
题型 4 求平面向量的投影
1 向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 2向量在向量上的投影公式：； 3 求投影或其坐标，多结合图形去思考。 【注意】注意投影和投影向量的区别，投影是个数，投影向量是个向量。
1（2025·陕西商洛·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，利用向量的运算律，求得，得到，设，结合投影向量的计算公式，即可求解.
【详解】由，可得，即，
可得，所以，即，
如图所示，设，则四边形为矩形，且，
则在上的投影向量为.
故选：A.

2（2025·湖南·模拟预测）在平行四边形中，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断平行四边形是菱形，求出，再根据投影向量的概念求解.
【详解】因为，所以平分，所以平行四边形为菱形，
如图：

由两边平方得，，所以，
所以，所以在上的投影向量为.
故选：D
3（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得出，可得出的值，求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】由，得，解得，
所以，，则，
所以，在上的投影向量为
.
故选：C.
5（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得，从而根据投影向量的定义运算得答案.
【详解】因为，，，
所以，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为.
故选：A
6（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ．
【答案】/
【分析】由两边平方可得，向量在向量方向上的投影化简为，再由基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以，
因为向量在向量方向上的投影为
，
当且仅当时等号成立，
故向量在向量方向上的投影的最小值为.
故答案为：．
题型 5 求平面向量的数量积
1 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 2 设，则数量积 3 求平面向量的数量积，主要有定义法(利用，往往是数量积的两个向量的模及其夹角易求时使用)、基底法（定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向量，此时利用基底法好使）、建系法（当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求）等等。 【注意】求数量积时，要注意的解题方法的选择。
1（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）
A． B．
C．8 D．
【答案】A
【分析】由，根据等面积可得，由及向量数量积几何意义求解即可.
【详解】由已知条件可知，，因此．
故．
故选：A
2（2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据得出，再利用向量的线性运算得出，即可求出.
【详解】因为，所以，
即，
所以，即，
因为，则，
则，
所以.
故选：C.
3（2025高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为平面内的任意一点，则（ ）
A．2 B．0 C． D．4
【答案】C
【分析】法一，连接交于点，连接，根据平面向量的线性运算与数量积的运算性质化简求解即可；法二，以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算求解数量积即可.
【详解】解法一 如图，连接交于点，连接，
因为，，所以，，
所以
.
故选：C.
解法二 以为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则根据题意可得，，，，
设，则，，，，
则
.
故选：C.
4（2025·浙江·三模）已知A，B，C是函数图象上的三点，A在x轴上，且轴，若，则的值为（ ）
A．0 B．－1 C．－107 D．82
【答案】C
【分析】先根据在轴，令函数值为求出坐标. 设、坐标，再根据BC长度列出方程，得到与的关系. 写出与坐标，进而算出.
求出、具体值，得到和，算出数量积结果.
【详解】令，即，得，所以.
设，（），因轴，所以.
又，且递增，所以，即，
根据运算法则得，所以.
已知，则.
，，.
展开.
由，
把，代入得，
因为，所以.
则.
由，，解方程组，得，.
，.
所以.
故选：C.
题型 6 平面向量的夹角问题
1 由数量积的定义可知； 2 设，则夹角余弦值 3 求夹角要清楚求的是哪两个向量的夹角。
1（2023·四川内江·一模）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出，从而可得出，再利用向量数量积公式即可求出结果.
【详解】因为，，又，所以，得到，
所以，得到，
所以，
故选：B.
2（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的求法及已知得，进而有，即可求夹角.
【详解】由题设，即，又，
所以，又，则.
故选：D
3（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数量积的运算律结合向量垂直得到向量夹角的余弦值，再利用基本不等式和同角的三角函数关系可得.
【详解】由题意，得，
因为，所以，当且仅当时取等号，
又由同角的平方和为1，所以．
故选：C．
4（2025·河南新乡·模拟预测）在中，记、，向量、满足，，，则此三角形AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用向量夹角公式计算求出余弦值，再结合同角三角函数关系得出是，最后结合面积公式计算求解.
【详解】在中，、，
，
又，，解得，
进而由向量夹角公式得，
于是，
，
故选：A.
5（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意且与不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不等式求解即可.
【详解】因为为锐角，则且与不共线．
由得，，
则，解得．
若与共线，则，即，
解得或，所以且，即x的取值范围是．
故选：A
题型 7 平面向量的最值问题
1 平面向量的最值是多样的，最常见的是求数量积的最值，方法有 （1）定义法(利用，往往是数量积的两个向量的模及其夹角易求时使用)，把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值； （2）基底法（定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向量，此时利用基底法好使），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值； （3）建系法（当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值； （4）极化恒等式 ① 平行四边形模式：在平行四边形中，， 即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的. ② 三角形模式：， 2 利用平面向量的等和线，可以处理类似求中的最值问题； 3 其他的一些最值问题，主要思路也是几何法或代数法。几何法强调对图形的观察，能够辨识出几何模型；代数法，主要是如何引入参数表示所求，再利用函数方法求解，引入哪个变量是难点。 【注意】采取代数法求解最值，要注意引入的变量的取值范围。
1（2025·河南·一模）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先建系解得坐标，再设坐标，根据向量数量积列函数关系式，最后根据二次函数性质求最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，
因此，
因此，设
所以
当时，最小值为选B.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
2（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.
【详解】设的中点为，因为，，所以，，
，
因为，所以.

故选：A
3（2025·广东东莞·模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】设正方形的内切圆圆心为，由题可得为圆的一条直径时，弦的长度最大， ，据此可得最大值.
【详解】如下图所示：设正方形的内切圆圆心为，
当弦的长度最大时，为圆的一条直径，
则
.
当与正方形的顶点重合时，，
因此，．
故选：C
4（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可.
【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，
所以为直角三角形，，所以，
又因为所以所以，
又因为E为边上的动点，所以
，
因为，所以即
所以的最大值为6.
故选：C
5（2025·甘肃·一模）已知梯形中， ，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解.
【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则
，，
设，则，，
，
令，则，
，
可得，
故选:D.
6（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由，化简得到，两边平方化简可得：，由化简即可得到答案.
【详解】
，
所以，
所以，即，
解得.
.
故选：D
7（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】通过向量的几何意义，将转化为几何图形中的线段，利用圆的性质求解.
【详解】根据题意，作出相关图形，
设，，为中点，
以为直径作圆，设 ，
有
由于，
即，即所以在圆上运动，
所以,
因为恒成立，变形可得：
恒成立，结合前面关系，
有，所以，
故选：D.
8（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则 .
【答案】/
【分析】设、分别为、的中点，则，由三点共线可得，此时点与点重合，最小，做直线与平行，且与半圆相切，由三点共线知点在直线上时，最大，设直线与的延长线相交于点， 设，求出，可得答案.
【详解】设为的中点，连接，
设为的中点，即点为以为直径的半圆的圆心，
则，
当点在上时，由三点共线可得，此时点与点重合，
最小，即，
做直线与平行，且与半圆相切，连接点与切点，此时最大，
即由三点共线知点在直线上时， 最大，
设直线与的延长线相交于点，
连接，则，延长与相交于点，
因为，所以为半圆的一条切线，所以，
由得，
可得为等边三角形，，所以，
由得，又，所以四边形为平行四边形，
所以，，
设，则，
由得，，
可得，，
所以，
因为三点共线，所以，可得，
所以的最大值为，
则.
故答案为：.
9（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．

(1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围；
(2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定，根据数量积的运算律求得则，，可得，即可求得答案；
（2）将平方可得，根据数量运算律求出，以及求得向量和向量的模，即可求得的表达式，结合余弦函数性质利用函数单调性即可求得答案.
【详解】（1）由题意知O到弦AB的距离是，则，
故，且，
记劣弧的中点为D，

则，
，
两式相加得，
故，
由于，故，
即的取值范围为；
（2）设，
由可得，
即，结合可得，
故，
而，
由于向量和向量的夹角为，
故
，
令，则在上单调递增，
则，
即得最小值为.
题型 8 平面向量在几何的应用
1 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 2 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等：
1（2025高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【分析】根据给定的向量等式，化简得出，可得是的重心.
【详解】在中，因，
设为的中点，而，，所以是靠近的三等分点，
则是的重心；
故选：C.

2（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合.
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出，代入关系式由向量的加减法化简，得出与共线，由此得出点P的轨迹，得出答案.
【详解】
中，根据正弦定理，
，即.
设，，
所以，
，
，
设D为中点，则，故，
所以共线，
点的轨迹为射线（不含端点）.
的重心一定属于集合.
故选：A.
3（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】由题意可得为直径，且，当共线且方向相同时模长最长，即可得出答案.
【详解】因为，所以为直径且过原点，的中点为原点，
所以由平行四边形法则可得：，
所以，
所以当共线且方向相同时模长最长，即当运动到时，
取得最大值为.
故选：C.
4（2025高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
【答案】C
【分析】作的边上的中线，过点作于点，过点作于点，根据数量积的几何意义可得，结合重心性质可得点重合，从而得解.
【详解】作的边上的中线，
因为为的外心，所以．
因为为的重心，所以．
过点作于点，过点作于点．
由及，由于为在方向上的投影向量，
由数量积的几何意义，得．

由及，得．而，
所以点重合，故．
故选：C．
5（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若 的面积是的面积的2倍，则的长度为 .
【答案】
【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由 的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B 点坐标，即可得答案.
【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴，
以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系.
又
则.
过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则.
又注意到，则.设，则，
则.
注意到B，E，D三点共线，则，则.
又
则或，又由图可得，则.
则.
故答案为：

题型 9平面向量在物理的应用
1 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； 2 力的合成与分解符合平行四边形法则.
1（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】利用条件，先求出两个力的合力及，再利用功的计算公式即可求出结果.
【详解】因为，，所以，又，，所以，故.
故选：A.
2（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】由数量积的运算律，定义，结合模长计算可得.
【详解】由题意可得质点P位移为，
所以
因为，，所以，
设的夹角为，所以，
因为所以，
所以.
故选：D
3（多选）（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ）
A．当船的航行时间最短时，
B．当船的航行距离最短时，
C．当时，船的航行时间为6分钟
D．当时，船的航行距离为
【答案】AC
【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D.
【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度，
河宽，则渡河时间 ，
当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，
则，所以，故B错误；
对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度，
船的航行时间，即6分钟，故C正确；
对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则，
当时，，
所以，
因为船垂直河岸方向的分速度，
所以船的航行时间，
所以船的航行距离为，故D错误.
故选：AC.
4（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．
【答案】
【分析】设三条绳受的力分别为，则，根据向量加法法则和直角三角形三边关系得到，得到答案.
【详解】设三条绳受的力分别为，则，
合力为，，
如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高．
故答案为：
题型 10 平面向量的新定义
处理新定义问题，理解新定义的内容是重点，多结合简单的特例感性了解，再试图寻找其中的共性，把理解升华到理性分析，力求明白其中的本质。
1（2025·吉林·模拟预测）设，，定义余弦距离（为原点）.若，，则的最小值为（ ）.
A． B．1 C． D．0
【答案】C
【分析】分析可得在半圆上，结合图象确定的最小值，即可得解.
【详解】，则，且，
在半圆上，
如图，当在时，取最小值，最小值为，取得最大值，
此时取最小值，最小值为.
故选：C.
2（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据条件设出向量和，以及向量的坐标，代入条件中定义，即可求解.
【详解】依题意设，
则，，，，
则.
故选：C．
3（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】D
【分析】根据，得到，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到，，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为，
设向量和的夹角为，因为，所以，
得到，
又，所以，
又在集合中，所以，即，得到，
又因为，所以或，
所以或，
故选：D.
4（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
如下图所示：
记点、、、，
则点的轨迹为四边形，
因为，，同理可得，
故四边形为矩形，且，
所以，点的轨迹围成的图形面积为；
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
因为，要求其最大值，令，
不妨设，，于是，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹所围成图形的面积，解题的关键在于紧扣题中的定义，分析出动点的轨迹图形，通过作出图形求解.
5（2025·浙江宁波·三模）设维向量，，定义运算：.
(1)当时，若且，，试比较与的大小；
(2)已知，记且和均为的某一排列}.
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若，求.（提示：.）
【答案】(1)；
(2)（ⅰ），；
（ⅱ）.
【分析】（1）根据题设定义并应用作差法比较大小即可；
（2）（i）根据定义得，结合可能取值有，即可得，讨论，同理求；
（ⅱ）根据定义确定的最值，进而有的元素均属于集合，设表示集合且的元素个数，即（注意表示集合的元素个数），并证明，即可得.
【详解】（1）由题设，所以；
（2）（i）先求：设，，其中为的排列，
所以，
而可能取值有，故，
再求：设，，其中为的排列，
当，，可能取值有，则可能值为；
当，，可能取值有，则可能值为；
当，，可能取值有，则可能值为；
当，，可能取值有，则可能值为；
综上，；
（ⅱ）由（1），若存在，，则不妨交换，则的值会变大，
设，
，则最小；
，则最大；
所以的元素均属于集合，
设表示集合且的元素个数，即（注意表示集合的元素个数），
下证：当时，由上知，
考虑及：由中最小元素为，最大元素为，即中的元素均在中，
设，，其中为的任一排列，
所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合中的个元素，
当，，其中为的任一排列，
所以可能取值为，即恰好没有覆盖到集合中的个元素，
当时，，
即，
故不覆盖集合的元素至多有个，故，
又，所以，
所以.中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 平面向量及其应用
题型1 平面向量的线性运算
1 平面向量的运算符合平行四边形法则和三角形法则； 2 平面向量的线性运算，用基底表示任一向量，方法有：首位相接法、构造平行四边形等，同时注意方法的综合运用； 3 在运算过程中，灵活运用一些小结论，比如三角形的中线； 4 掌握平面向量运算的坐标表示，利用建系的方法也可以。 【注意】在平行向量的线性运算的应用中，用到基本定理，要注意基底的选择。
1（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形中，为边的中点，为边上靠近点的三等分点，为的中点，记，则（ ）
A． B． C． D．
3（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型2 平面向量的共线定理
1两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 2设，则.
1（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2（23-24高一下·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3（2025·山东·模拟预测）已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ）
A． B． C． D．2
4（2025·江苏南通·模拟预测）已知，向量，，且，则θ＝ ．
题型3 平面向量的垂直问题
1 若，则； 2 若 ，则. 3 在平面几何中的垂直问题，可用平面向量处理。
1（2025·甘肃白银·三模）已知角是锐角，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·浙江·二模）已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（ ）
A．存在唯一的实数对，使得 B．存在唯一的实数对，使得
C．存在唯一的实数对，使得 D．存在唯一的实数对，使得
3（2025·河北邯郸·模拟预测）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）已知向量，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6（2025·浙江·二模）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，，，且，则（ ）

A．4 B． C． D．
题型 4 求平面向量的投影
1 向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 2向量在向量上的投影公式：； 3 求投影或其坐标，多结合图形去思考。 【注意】注意投影和投影向量的区别，投影是个数，投影向量是个向量。
1（2025·陕西商洛·模拟预测）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2（2025·湖南·模拟预测）在平行四边形中，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5（2025·辽宁大连·模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量坐标为（ ）
A． B． C． D．
6（2025·海南·模拟预测）已知平面向量，满足，且，则向量在向量方向上的投影的最小值为 ．
题型 5 求平面向量的数量积
1 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 2 设，则数量积 3 求平面向量的数量积，主要有定义法(利用，往往是数量积的两个向量的模及其夹角易求时使用)、基底法（定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向量，此时利用基底法好使）、建系法（当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求）等等。 【注意】求数量积时，要注意的解题方法的选择。
1（2025·广东佛山·三模）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）
A． B．
C．8 D．
2（2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，，，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
3（2025高三·全国·专题练习）在菱形中，，，为平面内的任意一点，则（ ）
A．2 B．0 C． D．4
4（2025·浙江·三模）已知A，B，C是函数图象上的三点，A在x轴上，且轴，若，则的值为（ ）
A．0 B．－1 C．－107 D．82
题型 6 平面向量的夹角问题
1 由数量积的定义可知； 2 设，则夹角余弦值 3 求夹角要清楚求的是哪两个向量的夹角。
1（2023·四川内江·一模）设，向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4（2025·河南新乡·模拟预测）在中，记、，向量、满足，，，则此三角形AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
5（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型 7 平面向量的最值问题
1 平面向量的最值是多样的，最常见的是求数量积的最值，方法有 （1）定义法(利用，往往是数量积的两个向量的模及其夹角易求时使用)，把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值； （2）基底法（定义法不好使时，而题中有两个向量的模和夹角已知或易求，它们又较容易表示其他向量，此时利用基底法好使），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值； （3）建系法（当题中有垂直的相关信息，比如等腰三角形、零下、正方形等，建系把数量积问题用坐标表示易求），把数量积掌握为某个变量的式子，再用函数的方法求最值； （4）极化恒等式 ① 平行四边形模式：在平行四边形中，， 即向量的数量积等于对应平行四边形的对角线的平方差的. ② 三角形模式：， 2 利用平面向量的等和线，可以处理类似求中的最值问题； 3 其他的一些最值问题，主要思路也是几何法或代数法。几何法强调对图形的观察，能够辨识出几何模型；代数法，主要是如何引入参数表示所求，再利用函数方法求解，引入哪个变量是难点。 【注意】采取代数法求解最值，要注意引入的变量的取值范围。
1（2025·河南·一模）如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为
A． B． C． D．
2（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3（2025·广东东莞·模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）．
A． B．0 C． D．
4（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5（2025·甘肃·一模）已知梯形中， ，点为边上的动点，若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
6（2024·河北保定·二模）如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7（2025高三·全国·专题练习）已知非零向量满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在中，，点在以为直径的半圆（外）内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则 .
9（2025·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．

(1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围；
(2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值．
题型 8 平面向量在几何的应用
1 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 2 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲” 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系. Eg 点不在同一直线上 证明直线平行或共线： 证明直线垂直： 求线段比值：且 证明线段相等：
1（2025高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及平面内一点满足，则为的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2（2025高三·全国·专题练习）为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合.
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
3（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
4（2025高三·全国·专题练习）已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
5（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若 的面积是的面积的2倍，则的长度为 .
题型 9平面向量在物理的应用
1 速度、力是向量，都可以转化为向量问题； 2 力的合成与分解符合平行四边形法则.
1（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
2（2025·宁夏·一模）如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（ ）
A．9 B． C． D．
3（多选）（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ）
A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时，
C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为
4（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．
题型 10 平面向量的新定义
处理新定义问题，理解新定义的内容是重点，多结合简单的特例感性了解，再试图寻找其中的共性，把理解升华到理性分析，力求明白其中的本质。
1（2025·吉林·模拟预测）设，，定义余弦距离（为原点）.若，，则的最小值为（ ）.
A． B．1 C． D．0
2（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
4（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．
5（2025·浙江宁波·三模）设维向量，，定义运算：.
(1)当时，若且，，试比较与的大小；
(2)已知，记且和均为的某一排列}.
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若，求.（提示：.）

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