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专题01 函数的概念与性质
题型1 求函数的定义域
1、求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2、求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出； （3）若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量的取值集合．
1．（24-25高三上·北京·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题设，
∴，∴.故选：D
2．（24-25高三上·安徽六安·月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意知道，解得，即.故选：D.
3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，
所以 ，解得且 ，
所以函数的定义域是，故选：B
4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
则对于函数，需满足，解得，
即函数的定义域为.故选：D.
题型2 求函数的解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出．
5．（24-25高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，
则，
因为，即，
则，解得，所以.故选：C.
6．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，则，且，则，
可得，
所以.故选：B.
7．（24-25高三上·四川内江·月考）若，则的解析式为 ．
【答案】
【解析】令，则，因为，
所以，故.
8．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 .
【答案】
【解析】由，①
将替换成，可得：，②
再将①中替换成：，可得：，③
①②相减可得：，④
③④相加可得：，
所以.
题型3 分段函数及其应用
分段函数求值问题的解题思路： （1）求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
9．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．e
【答案】B
【解析】因为函数，
所以，
所以.故选：B.
10．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】.故选：B
11．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知且，定义在上的函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为且，且，则，
则，所以，，即，
解得或（舍），故选：A.
12．（24-25高三下·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，即有，，
因为，在区间上均为单调递增函数，
所以在区间上也为单调递增函数，
因为时，，
所以的解为，
当时，即有，，
因为，在区间上均为单调递减函数，
所以在区间上也为单调递减函数，
因为时，，
所以的解为，
综上，不等式的解集为.故选：D
题型4 确定函数的单调性(单调区间)
判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
13．（24-25高三上·广东普宁·一调）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，画出函数图象，如图所示：
根据图象知：函数的单调减区间为.故选：B.
14．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由且，得，即或，
所以函数的定义域为，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数为增函数，
所以函数的单调递增区间为.故选：B.
15．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，是减函数，
根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为．故选：D.
16．（24-25高三上·天津河北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数，递减区间是 B．是奇函数，递减区间是
C．是偶函数，递增区间是 D．是偶函数，递增区间是
【答案】B
【解析】的定义域为R，且，
所以函数为奇函数，
将函数去掉绝对值得，
画出函数的图象，如图，观察图象可知，
在上单调递减.故选：B
题型5 已知函数单调性求参数范围
利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
17．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，为单调递增函数，不符合题意，
当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，
当时，在单调递增，在单调递减，
故在上单调递减，则，故选：C
18．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号，所以.
因为函数在上单调，
所以在上单调，
由复合函数单调性可知在上单调，
所以结合二次函数的性质可得：或，解得或.
综上所述，实数的取值范围为.故选：A.
19．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，
且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：A.
20．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，
在中，函数在上是增函数，
解得.故选：A
题型6 与函数最值(值域)有关的问题
求函数最值（值域）的方法 （1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法． 【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域．
21．（24-25高三上·山东济南·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】令，则，
而函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值.故选：D
22．（25-26高三上·河北衡水·一调）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设，.
所以当时，；
当时，；
当时，.
所以当时，的最小值为3，故选：C
23．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，因为函数在上单调递增，
所以，此时；
当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数，
故，即在上的值域为.
综上所述，函数的值域为.故选：A.
24．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【解析】当时，是单调减函数.
∴的值域为；
当时，
若，则，是单调增函数，
的值域为，不符合题意，
当时，令，得，令，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
,
由题意知，即，解得，
所以.故选：A.
题型7 判断函数的奇偶性
1、判断函数奇偶性的要点 （1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件； （2）若定义域关于原点对称，则判断与是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断(奇函数)或（偶函数)是否成立． 2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数， 偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数．
25．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是；
对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是；
对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是；
对于D，函数的定义域为，而，
函数是奇函数，D是.故选：D
26．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
对于A，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故A错误；
对于B，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，所以B正确；
对于C，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故C错误；
对于D，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，
所以不是奇函数，所以D不正确；故选：B.
27．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；
对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是；
对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是；
对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.故选：A
28．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A：，且定义域为R，满足；
B：，且定义域为，
在上，故在上，不符合；
C：且定义域为R，不符合；
D：且定义域为，
当时，，当且仅当时取等号，不符合.故选：A
题型8 函数奇偶性的应用
1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； 2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； 3、求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值．
29．（2025·湖北黄冈·三模）已知为奇函数，则实数的值是 ．
【答案】4
【解析】因为函数是奇函数，
，
即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
整理得恒成立，
，解得或，
当时，函数定义域为，
定义域不关于原点对称，函数不是奇函数，
当时，，
由，可得或，
，满足是奇函数，
所以.
30．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ．
【答案】3
【解析】由题意有，
又，所以，
31．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函数是奇函数，函数为偶函数，
所以，，即，化简解得.故选：A.
32．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴.
∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
∴，，∴，
∴，.
∴.
故选：D.
题型9 函数的周期性及应用
常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）
33．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】因是上的奇函数，则，
又由可得，则，
故，即4为函数的一个周期.
因当时，，则，，
又，，，
，，，
则，
，
则.故选：B.
34．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2025
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，
同理，由，得，
因为，所以，即，
因为，所以，
则，则，
所以，所以，所以的周期为8，
所以，
由．得，所以．即，
所以．故选：A．
35．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以.
由，得，
两式相加得，所以，
所以，所以是以6为周期的周期函数.
当时，，
又，所以，所以，所以；
当时，，所以，
因为，
所以，
所以.
故选：D.
36．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知为奇函数，且，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解析】由关于对称，有，
又为奇函数，则即，
且即，
所以关于点对称，且，
则，作差有，
为周期函数，且周期为4，因为，，则，
因为，，则，，
则，．故选：B．
题型10 函数的对称性及应用
1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
37．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
【解析】因为，则为奇函数，
所以的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．故选：A
38．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数有意义，则，由的图象关于点对称，
得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内，
则，即，此时，，
，
因此函数的图象关于点对称，符合题意，
所以.故选：A
39．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B．ln2 C．0 D．1
【答案】C
【解析】∵，
∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的.
根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增，
故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示.
由图可知：函数与函数的图象共有两个交点，
不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.
若是方程的解，即.
又，∴是方程的解，
∴，则.故选：C.
40．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
【答案】D
【解析】由，得的图象关于对称，
函数，则，即的图象也关于对称，
因此函数与图象的交点关于对称，
不妨设关于点对称的坐标为，，则，，
则，，同理得：，，
即.故选：D
题型11 利用函数性质比较大小
比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
41．（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】定义在上的奇函数满足，
则的图象的对称轴是，
所以，则，
则，所以的周期是8，
所以，
因为在上单调递增，
所以.故选：D.
42．（24-25高三上·天津·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
，
又函数是在上单调递增，
所以，所以.故选：C.
43．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
所以，
又，
任取，且，则，则，
故在上单调递增，
又由对数函数的单调性可得，
所以，即.故选：D
44．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ）
A．b【答案】A
【解析】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称，
因对任意且都有，即函数在单调递增.
因，，
由，可得，
又由对称性可得：，
故再由单调性，可得，即.故选：A.
题型12 利用函数性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
45．（24-25高三下·福建福州·模拟预测）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
因为时，单调递增，
又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示，
由图像可知，若，则或.故选：C
46．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，则函数在上为增函数，且，
由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且，
当时，由，可得；由，可得；
当时，由，可得；由，可得.
接下来解不等式，
当时，即当时，则可得或，可得；
当时，即当时，则可得或，可得.
综上所述，不等式的解集为.故选：C.
47．（2025·河北邢台·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数且，
所以当时，，则；
当时，，则，
所以；
函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到，
作出函数在上的图象，如图所示，
由图可知不等式在上的解集为．故选：A．
48．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由可得，设函数，，
则在上单调递增，
又因为为定义在上的奇函数，，
所以为偶函数，在上单调递减，
而不等式，
又因为，所以，
所以不等式的解集为.故选：B
题型13 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
49．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，由题意，，且，
又，即①，
用替换中的，得②，
由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误；
对于B，由，可得，即，
所以，
所以是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①可得，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，为偶函数，所以，
令，则有，
令，则有，
令，则有，
，
令，则有，
所以
，故D错误.故选：BC.
50．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于对称 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为是上的偶函数，所以，
又因为，所以，即，
所以，所以，
所以函数是周期函数，为函数的最小正周期，故A正确；
对于B，因为，所以，所以函数关于点对称，
又因为函数为偶函数，所以函数关于点对称，
又因为函数的周期为，所以函数关于中心对称，故B正确；
对于C，因为，所以，即，
所以函数的图象关于对称，故C错误；
对于D，因为，所以，即，
所以为奇函数，且定义为，所以，
又因为，所以，所以，
即，所以是周期函数，为最小正周期，
所以，故D正确.故选：ABD.
51．（2025·山东·模拟预测）（多选）已知函数的图象关于原点对称，且为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．
C．在上单调递减 D．当时，
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，且为偶函数，故，
即，所以，即，得，
则的周期为4，故16也是的周期，故A正确；
对于B，作出在上的大致图象，如图所示，观察可知，
直线为图象的一条对称轴，所以，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，所以由周期性，
，故C正确；
对于D，当时，
当时，则，故，
此时，而，故，故；
当时，则，故，
此时，而，
故，故；
综上，时，故D正确.故选：ACD.
52．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于，因为为偶函数，所以，
即①，所以，所以关于对称，
则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，
所以关于对称，由①求导，和，
得，
所以，所以关于对称，
因为其定义域为，所以，结合关于对称，
从而周期，所以，，故B、D正确；
若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，
所以无法确定的函数值，故A错误，故选：BCD．
题型14 抽象函数的性质及其应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或．
53．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．
C．是增函数 D．是减函数
【答案】B
【解析】对于A，，则，
令，则，故错误；
故，则，
对于B，令，则，则，
同理可得，
令，则，故正确；
对于CD，令，显然满足在，，，
得，令得，
显然当时，，此时单调递减，故C错误；
此时，显然在定义域上单调递增，故D错误.
故选：B.
54．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．方程无解
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意可得，故A正确；
对于B，假设存在使得，即方程有解，
则由题意可得，
则，令，
所以方程无解，故B正确；
对于CD，由题意可得，
所以，
，
所以，
所以，
所以当时，
，
时，
，
满足，所以对任意有，
所以，
，故C正确，D错误.
故选：ABC
55．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
【答案】ABC
【解析】对于A,根据题意令，则由
可得，解得，即A正确；
对于B,令可得，所以，
即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确；
对于C,令，则由可得，
即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确；
对于D,由于是偶函数，所以满足，即，
可得，也即，所以是的一个周期，即D错误.
故选：ABC
56．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3).
【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且，
取，则，即，
取，则，所以，
所以为奇函数.
（2）在R上的单调递减，证明如下：
任取，且，则，
令，则，
因为为奇函数，所以，
因为当时，，所以，
即，所以在上的单调递减.
（3）由，得，
因为，所以，
因为在上的单调递减，所以，
即时，恒成立，
等价于对任意时，恒成立，
令，则，
所以，所以，
故实数的取值范围为.中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 函数的概念与性质
题型1 求函数的定义域
1、求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2、求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出； （3）若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量的取值集合．
1．（24-25高三上·北京·月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·安徽六安·月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型2 求函数的解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出．
5．（24-25高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·四川内江·月考）若，则的解析式为 ．
8．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 .
题型3 分段函数及其应用
分段函数求值问题的解题思路： （1）求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
9．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知函数，则（ ）
A． B． C．1 D．e
10．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（ ）
A． B． C．0 D．2
11．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知且，定义在上的函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25高三下·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型4 确定函数的单调性(单调区间)
判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性．
13．（24-25高三上·广东普宁·一调）函数的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三上·天津河北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数，递减区间是 B．是奇函数，递减区间是
C．是偶函数，递增区间是 D．是偶函数，递增区间是
题型5 已知函数单调性求参数范围
利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题．
17．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型6 与函数最值(值域)有关的问题
求函数最值（值域）的方法 （1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法． 【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域．
21．（24-25高三上·山东济南·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
22．（25-26高三上·河北衡水·一调）已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
题型7 判断函数的奇偶性
1、判断函数奇偶性的要点 （1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件； （2）若定义域关于原点对称，则判断与是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断(奇函数)或（偶函数)是否成立． 2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数， 偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数．
25．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）
A． B． C． D．
题型8 函数奇偶性的应用
1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； 2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； 3、求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值．
29．（2025·湖北黄冈·三模）已知为奇函数，则实数的值是 ．
30．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ．
31．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
32．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
题型9 函数的周期性及应用
常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）
33．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C．6 D．
34．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．2025
35．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．0
36．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知为奇函数，且，则（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
题型10 函数的对称性及应用
1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
37．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
38．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
39．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B．ln2 C．0 D．1
40．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
题型11 利用函数性质比较大小
比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
41．（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
42．（24-25高三上·天津·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
43．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
44．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ）
A．b题型12 利用函数性质解不等式
解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响．
45．（24-25高三下·福建福州·模拟预测）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
46．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
47．（2025·河北邢台·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
48．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型13 函数性质的综合应用
函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
49．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数
C． D．
50．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于对称 D．
51．（2025·山东·模拟预测）（多选）已知函数的图象关于原点对称，且为偶函数，当时，，则（ ）
A． B．
C．在上单调递减 D．当时，
52．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
题型14 抽象函数的性质及其应用
1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或．
53．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．
C．是增函数 D．是减函数
54．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B．方程无解
C． D．
55．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．是的一个周期
56．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．

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