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专题01 等差数列与等比数列
题型1 等差数列的基本量运算
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．9 B．16 C．25 D．36
2．（24-25高三下·广东茂名·月考）已知是等比数列的前项和，若且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·山东济南·月考）记为等差数列的前项和，若，，则 .
4．（2025·河南南阳·模拟预测）已知数列中，，，若，，则前10项的和为 ．
题型2 等差数列性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
5．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44 B．33 C．66 D．77
6．（24-25高三下·重庆·月考）已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三下·重庆·月考）已知是等差数列，，，则的前11项和为 .
8．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知等差数列的前项和为，则 .
题型3 等差数列前n项和性质的应用
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
9．（24-25高三上·贵州·月考）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
10．（24-25高三上·陕西汉中·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
11．（24-25高三下·宁夏银川·模拟预测）设等差数列的前项和分别为，若，则 .
12．（25-26高三上·广东肇庆·月考）两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ．
题型4 等差数列前n项和的最值问题
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题， 但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
13．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．25
14．（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ．
16．（24-25高三下·云南丽江·月考）已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为 .
题型5 含绝对值的等差数列求和
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
17．（24-25高三上·天津·期中）在数列中，，，则等于（ ）
A．630 B．648 C．660 D．675
18．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．（24-25高三上·北京·开学考试）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式及前项和；
(2)求数列前10项和.
20．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
题型6 等差数列的判定与证明
1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
21．（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数，若数列满足，则是（ ）
A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列
22．（24-25高三下·江苏·月考）若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.
C．充要条件. D．既不充分又不必要条件.
23．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，试求数列的最小项．
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
题型7 等比数列的基本量运算
1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体．
25．（2025·江苏南京·一模）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A． B．6 C．3 D．2
26．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43 B．85 C．110 D．127
27．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
题型8 等比数列性质的应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）．
29．（2025·江西新余·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2 B．或 C． D．
30．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（ ）
A． B．3 C． D．9
31．（24-25高三下·上海·三模）已知数列满足，则 .
32．（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 .
题型9 等比数列的判定与证明
1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
33．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
35．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
36．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
题型10 等差数列与等比数列应用
解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和．
37．（25-26高三上·安徽肥东·联考）《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 .
38．（24-25高三下·重庆·月考）南宋数学家杨辉的重要著作《解析九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．227
39．（24-25高三下·四川内江·月考）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）
（参考数据：）
A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元
40．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
A． B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 等差数列与等比数列
题型1 等差数列的基本量运算
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
1．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．9 B．16 C．25 D．36
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d，
则由题可得，解得，
所以．故选：C．
2．（24-25高三下·广东茂名·月考）已知是等比数列的前项和，若且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是等比数列的前项和，
又因为且成等差数列，
所以，，
所以，所以，，
所以，
所以.故选：C.
3．（24-25高三下·山东济南·月考）记为等差数列的前项和，若，，则 .
【答案】
【解析】在等差数列中，，解得，而，则，
因此等差数列的公差，，
于是，
所以.
4．（2025·河南南阳·模拟预测）已知数列中，，，若，，则前10项的和为 ．
【答案】10
【解析】若，，则，
则数列为等差数列，设公差为，
由，可得，则，
所以，
则前10项的和为.
题型2 等差数列性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
5．（24-25高三下·福建龙岩·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44 B．33 C．66 D．77
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d，
因为，所以，
则.故选：D.
6．（24-25高三下·重庆·月考）已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为等差数列，且，
由等差数列的性质得，所以，
所以，
故.故选：C
7．（24-25高三下·重庆·月考）已知是等差数列，，，则的前11项和为 .
【答案】143
【解析】已知是等差数列，根据等差数列的性质，所以，
那么，解得.
同理，所以，那么，解得.
可得.
将，代入上式，可得.
根据等差数列的前项和公式，可得.
将代入上式，可得.
8．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知等差数列的前项和为，则 .
【答案】15
【解析】在等差数列中，，解得，
所以.
题型3 等差数列前n项和性质的应用
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
9．（24-25高三上·贵州·月考）设为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列，
且，，可知首项为4，公差为2，
所以.故选：B.
10．（24-25高三上·陕西汉中·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】36
【解析】因为数列为等差数列，则也为等差数列，
可得，即，解得.
11．（24-25高三下·宁夏银川·模拟预测）设等差数列的前项和分别为，若，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以.
12．（25-26高三上·广东肇庆·月考）两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ．
【答案】
【解析】因为，可设，
则．
题型4 等差数列前n项和的最值问题
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题， 但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
13．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．25
【答案】C
【解析】由可得，由等差数列的性质可得：，
因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列，
故，即取最小值时，的值为14.故选：C.
14．（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】假设等差数列的公差为，由得,
所以，所以，故，
则
则．故选：C．
15．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，，
，
解得，，
所以当时，取得最大值为.
16．（24-25高三下·云南丽江·月考）已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为 .
【答案】3
【解析】由等差数列性质可得：,即 ，
因为 ,所以当且仅当 时, ,
所以 的最大值为 或，则，
题型5 含绝对值的等差数列求和
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
17．（24-25高三上·天津·期中）在数列中，，，则等于（ ）
A．630 B．648 C．660 D．675
【答案】C
【解析】依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列，
则，当时，，当时，，
所以
.故选：C
18．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）因为，且，
当时，，
得，
整理得：，
所以为首项是，公差为的等差数列，
所以.
（2）由，所以当时，，当时，；
所以当，，
当时，，
而，
所以.
19．（24-25高三上·北京·开学考试）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式及前项和；
(2)求数列前10项和.
【答案】(1)，；(2)50
【解析】（1）等差数列的公差为，，，
，，成等比数列，则，解得，
故等差数列的首项为，公差为.
所以，
.
综上所述，，；
（2）由（1）可得当时，，当时，.
.
20．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
题型6 等差数列的判定与证明
1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
21．（24-25高三下·青海海东·月考）已知函数，若数列满足，则是（ ）
A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列
【答案】A
【解析】由，得，
因为函数在上单调递增，
所以，，所以是等差数列.故选：A.
22．（24-25高三下·江苏·月考）若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.
C．充要条件. D．既不充分又不必要条件.
【答案】C
【解析】为等差数列，令其公差为，则，即为常数，
因此数列为等比数列，反之， ，数列为等比数列，
令其公比为，则，，
为常数，因此数列为等差数列，
所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.故选：C.
23．（24-25高三下·贵州贵阳·月考）各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，试求数列的最小项．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）当时，，将其代入，
整理得：，因，则，故，
其中，故，故数列为首项是1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）可得，即得.
则，
当时，，即有；
当时，，即有；
可得数列的最小项为.
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求的通项；
(3)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)3.
【解析】（1）因为，所以，故，
又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知，
当时，，
而时，不满足上式，
所以.
（3）由（2）知，当时，，
又，所以的最大值为.
题型7 等比数列的基本量运算
1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答； 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体．
25．（2025·江苏南京·一模）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A． B．6 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设数列的首项为，公比为，
则，
，
∴，即，则，
∴，
∴，故选：C.
26．（2025·海南·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（ ）
A．43 B．85 C．110 D．127
【答案】A
【解析】根据题意，已知，且各项均为整数，
得到，解得．则．
故．故选：A．
27．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，则，解得，
因此，.故选：C.
28．（2025·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，若，则，故，
由可得，
化简得，解得，
则.故选：D.
题型8 等比数列性质的应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）．
29．（2025·江西新余·模拟预测）在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，，
因为，是方程的两个实数根，
所以，且，所以，，
又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得，
所以.故选：D.
30．（2025·福建泉州·模拟预测）已知为等比数列，，，则（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【解析】由题设，又，
则，而，故.故选：A
31．（24-25高三下·上海·三模）已知数列满足，则 .
【答案】
【解析】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列，
根据等比数列的性质，可得，
因为，可得，所以.
32．（2025·湖南长沙·模拟预测）等比数列的前项和记为，若，，，则 .
【答案】219
【解析】设数列的首项为，公比为.
因为，所以，
因为，所以，所以.
所以，所以.
于是.
题型9 等比数列的判定与证明
1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
33．（24-25高三上·湖北黄冈·月考）已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，故，
又，，故为从第二项开始的等比数列，且公比为2，
故.故选：D.
34．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【解析】（1）当时，，
即，
则，而，则，
于是时，，整理得，
又，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列．
（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，
则，因此，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以数列的通项公式．
（3）由（2）知，，
，
两式相减得，，
则．
35．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)10170.
【解析】（1）由，，得，
则，而，
所以数列是等比数列.
（2）由（1）得，，所以数列的通项公式.
（3）由（2）得，，
.
36．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见；(2)
【解析】（1），
，
又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
，
又
构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
题型10 等差数列与等比数列应用
解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和．
37．（25-26高三上·安徽肥东·联考）《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 .
【答案】239
【解析】因为，
可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列，
可得，
又因为数列，的相同的数组成的数列为，
可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得，
则数列依次为，
可得，所以.
38．（24-25高三下·重庆·月考）南宋数学家杨辉的重要著作《解析九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：，则该数列的第16项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．227
【答案】D
【解析】若某个二阶等差数列的前4项为：，
即
可知，，,
累加即可得到，
则，则故选：D.
39．（24-25高三下·四川内江·月考）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）
（参考数据：）
A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元
【答案】C
【解析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，
依题意，当时，，即，
因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即，
则，
所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元.故选：C
40．（24-25高三上·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，
则，令，
则，，
因此当时，；当时，，即最大，
所以当最大时，.故选：B

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