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专题01 等差数列与等比数列
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】数列的概念 【知能解读02】等差数列 【知能解读03】等比数列 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】数列的单调性与最值问题 【重难点突破02】等差数列前n项和最值问题 【重难点突破03】等差数列含绝对值问题 【重难点突破04】等差数列与等比数列新背景问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】混淆数列与函数致错 【易混易错02】对等比数列“中项”理解错误致错 【易混易错03】忽视对公比q的讨论致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】由前几项归纳数列通项的方法 【方法技巧02】周期数列的解题方法 【方法技巧03】求解等差数列基本量的策略 【方法技巧04】等差数列的判断与证明方法 【方法技巧05】等差数列性质的应用 【方法技巧06】等差数列前n项和性质的应用 【方法技巧07】求解等比数列基本量的策略 【方法技巧08】等比数列判断与证明的方法 【方法技巧09】等比数列性质的应用
01 数列的概念
1、数列的有关概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
（3）数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（4）数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
2、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N*
递减数列
常数列
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列与函数的关系
数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为．
【真题实战】（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
02 等差数列
1、等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为(，为常数)．
（2）等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
2、等差数列的有关公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
3、等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
4、等差数列前项和的常用性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
03 等比数列
1、等比数列的有关概念
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．
（2）等比中项：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中．
注意：同号的两个数才有等比中项．
2、等比数列的有关公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：．
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，．
3、等比数列的常用性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为．
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列．
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列．
4、等比数列前项和的常用性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为．
（2）对，有．
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和．
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）．
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
01 数列的单调性与最值问题
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值
（3）利用“两边夹”求数列中的最大项，利用求数列中的最小项．
【注意】适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解的大小即可确定
【典例1】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项
【典例2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
02 等差数列前n项和最值问题
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【典例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于
【典例2】（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 .
03 等差数列含绝对值问题
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：
①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【典例1】（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【典例2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ）
A．80 B．208 C．680 D．780
03 等差数列与等比数列新背景问题
解决数列新背景问题的步骤
（1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意；
（2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型；
（3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和．
【典例1】（24-25高三下·北京·月考）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日．
【典例2】（24-25高三上·江苏·月考）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ．
01 混淆数列与函数致错
辨析：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错．
【典例1】（24-25高三上·河南·期中）已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【典例2】（24-25高三上·四川成都·月考）若数列满足，其前项和为，则（ ）
A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值
C．当且仅当时，取得最小值 D．，
02 对等比数列“中项”理解错误致错
辨析：若成等比数列，则为和的等比中项．由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解题时务必要注意此点．
【典例1】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为 .
【典例2】（2025·山东济宁·二模）已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
03 忽视对公比q的讨论致错
辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论．
【典例1】（24-25高三上·山东淄博·月考）等比数列的前项和为，若，则 .
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 .
01 由前几项归纳数列通项的方法
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理.
【典例1】（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2026高三·全国·专题练习）根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 .
02 周期数列的解题方法
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．
【典例1】（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（ ）
A． B． C．2 D．1
【典例2】（24-25高三下·重庆·月考）设正整数数列满足，则 ．
03 求解等差数列基本量的策略
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（25-26高三上·江西·开学考试）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．59 B．61 C．63 D．65
【典例2】（2025·江西·二模）已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
04 等差数列判断与证明的方法
1、定义法：或是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足；
3、等差中项法：为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
5、前n项和公式法：为常数为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【典例1】（24-25高三上·天津滨海新·月考）已知数列是无穷数列，则 “，”是“数列 为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（24-25高三上·福建·月考）已知正项数列满足，（且），设．
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)求的通项公式．并求其前n项和．
05 等差数列性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【典例1】（24-25高三下·山东·月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．72 B．108 C．120 D．144
【典例2】（24-25高三上·广东深圳·月考）设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．32 B．64 C．80 D．128
06 等差数列前n项和性质的应用
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
2、数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
【典例1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【典例2】（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
07 求解等比数列基本量的策略
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．
2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）记为数列的前项和，若为等比数列，则（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【典例2】（24-25高三下·河南·月考）记等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
08 等比数列判断与证明的方法
1、定义法：为常数且数列是等比数列．
2、等比中项法：数列是等比数列．
3、通项公式法：数列是等比数列．
4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
【典例1】（24-25高三下·广东茂名·月考）已知正项数列，令，则“为等差数列”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【典例2】（25-26高三上·安徽肥东·联考）已知数列满足，，．
(1)判断数列是否为等比数列；
(2)求数列的通项公式．
09 等比数列性质的应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【典例1】（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．2014 B．2024 C．2025 D．2026
【典例2】（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ ）
A．2 B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 等差数列与等比数列
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】数列的概念 【知能解读02】等差数列 【知能解读03】等比数列 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】数列的单调性与最值问题 【重难点突破02】等差数列前n项和最值问题 【重难点突破03】等差数列含绝对值问题 【重难点突破04】等差数列与等比数列新背景问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】混淆数列与函数致错 【易混易错02】对等比数列“中项”理解错误致错 【易混易错03】忽视对公比q的讨论致错 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】由前几项归纳数列通项的方法 【方法技巧02】周期数列的解题方法 【方法技巧03】求解等差数列基本量的策略 【方法技巧04】等差数列的判断与证明方法 【方法技巧05】等差数列性质的应用 【方法技巧06】等差数列前n项和性质的应用 【方法技巧07】求解等比数列基本量的策略 【方法技巧08】等比数列判断与证明的方法 【方法技巧09】等比数列性质的应用
01 数列的概念
1、数列的有关概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．
（3）数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（4）数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
2、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N*
递减数列
常数列
按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使
3、数列与函数的关系
数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为．
【真题实战】（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即.
若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，
则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出.
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：B.
02 等差数列
1、等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，定义表达式为(，为常数)．
（2）等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．
2、等差数列的有关公式
（1）通项公式：．
（2）前项和公式：．
3、等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：．
（2）若，则．
（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．
（4）若是等差数列，则也是等差数列．
4、等差数列前项和的常用性质
（1）；
（2）；
（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.
（4）数列，，，…构成等差数列．
【真题实战】（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，
则由题可得，
所以.故选：B.
03 等比数列
1、等比数列的有关概念
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．
（2）等比中项：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中．
注意：同号的两个数才有等比中项．
2、等比数列的有关公式
（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：．
（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，．
3、等比数列的常用性质
（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为．
（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
（3）若，则有．口诀：下标和相等，项的积也相等
推广：
（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列．
（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列．
4、等比数列前项和的常用性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为．
（2）对，有．
（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和．
（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）．
【真题实战】（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
01 数列的单调性与最值问题
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项．
（2）利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值
（3）利用“两边夹”求数列中的最大项，利用求数列中的最小项．
【注意】适用于单峰函数，若解不唯一时，比较各解的大小即可确定
【典例1】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项 B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项 D．没有最大项也没有最小项
【答案】A
【解析】令，因为，所以当时，
而，
所以当时，即时，取最大值；
因为，且，，因为，所以距离最近，
所以当，即时，取最小值；
所以该数列既有最大项又有最小项，故选：A．
【典例2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，令，得：，
解得：或，因此可知：；
又当时，，当时，，所以在时，取最小值：．
当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，
因为是中唯一的最小项，所以，且，
解得，且，即．故选：B
02 等差数列前n项和最值问题
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【典例1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列中，，，则数列的前n项和的最大值等于
【答案】
【解析】当时，，且，
所以，数列是首项为10，公差为的等差数列，
则数列的前n项和为，
因，故当时，取得最大值18．
【典例2】（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 .
【答案】6
【解析】设等差数列的公差为，
所以等差数列的前项和为，
则，
，，
所以数列是等差数列，公差为.
因为，所以数列单调递减，
所以，即，所以等差数列单调递减.
因为数列单调递减，所以，
因为，
，所以.
因为等差数列单调递减，且，所以，
所以当时，取最大值.
03 等差数列含绝对值问题
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：
①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【典例1】（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（ ）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【解析】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.故选：C
【典例2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前20项之和为（ ）
A．80 B．208 C．680 D．780
【答案】B
【解析】因为，即，解得，
所以，前项和，
所以数列的前20项中，前8项为负数，后12项为正数，
所以
.故选：B．
03 等差数列与等比数列新背景问题
解决数列新背景问题的步骤
（1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意；
（2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型；
（3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和．
【典例1】（24-25高三下·北京·月考）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日．
【答案】 25 8或13
【解析】对于空①，连续打卡5天的总积分
连续打卡的积分规律为：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此类推.
这实际上是一个首项为1、公差为2的等差数列.
前5天的总积分为：
对于空②，确定未打卡的日期
若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，
且首项为1，公差为2，第天所得积分为．
假设他连续打卡天，第天中断了，则他所得积分之和为：
，化简得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故答案为：25；8或13
【典例2】（24-25高三上·江苏·月考）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ．
【答案】 64 126
【解析】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号，
第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号，
第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号，
第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号，
第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号，
显然第六次报数时向前一步的编号为，
因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为，
所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为.
01 混淆数列与函数致错
辨析：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错．
【典例1】（24-25高三上·河南·期中）已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】为递增数列
，
而“”是“”的充分不必要条件，
故“”是“是递增数列”的充分不必要条件.故选：B.
【典例2】（24-25高三上·四川成都·月考）若数列满足，其前项和为，则（ ）
A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值
C．当且仅当时，取得最小值 D．，
【答案】D
【解析】因为数列、均为递增数列，所以，数列为递增数列，
因为，，
故当时，；当时，.
无最大值，但有最小值，且最小值为、，即.
所以，D对，ABC均错.故选：D.
02 对等比数列“中项”理解错误致错
辨析：若成等比数列，则为和的等比中项．由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解题时务必要注意此点．
【典例1】（2025·湖北·模拟预测）1与2025的等比中项为 .
【答案】.
【解析】设1与2025的等比中项为为，所以，所以.
【典例2】（2025·山东济宁·二模）已知为等比数列，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意知，为等比数列，
当时，得，所以，故充分性成立；
当时，，解得，
又同号，所以，故必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.故选：C.
03 忽视对公比q的讨论致错
辨析：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论．
【典例1】（24-25高三上·山东淄博·月考）等比数列的前项和为，若，则 .
【答案】2
【解析】设等比数列的公比为，
当时，，不符合题意；
当时，则，
且，则，解得.
【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 .
【答案】
【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
01 由前几项归纳数列通项的方法
1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理.
【典例1】（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：检验可知对均成立，故D正确；故选：D.
【典例2】（2026高三·全国·专题练习）根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 .
【答案】/
【解析】，，，，，
归纳得.
02 周期数列的解题方法
1、周期数列的常见形式
（1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；
（2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；
（3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．
2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和．
【典例1】（2025·湖北·二模）若数列满足，，则该数列的前2 025项的乘积是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为数列满足，，所以，
同理可得，所以数列{an}的周期为4，即，
且，而，
所以该数列的前2 025项的乘积是.故选：C.
【典例2】（24-25高三下·重庆·月考）设正整数数列满足，则 ．
【答案】3
【解析】因为正整数数列满足①，，
所以，则或，
由题意得②，
①②得，，即数列是周期为3的周期数列，
所以.
03 求解等差数列基本量的策略
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
【典例1】（25-26高三上·江西·开学考试）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．59 B．61 C．63 D．65
【答案】D
【解析】设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列前项和公式，
，化简为，
，化简为，
联立解得，则．故选：D．
【典例2】（2025·江西·二模）已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，则，A不是；
对于B，设等差数列的公差为，，B不是；
对于D，，则，D不是；
对于C，，而值不确定，
因此不确定，C是.故选：C
04 等差数列判断与证明的方法
1、定义法：或是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足；
3、等差中项法：为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
5、前n项和公式法：为常数为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
【典例1】（24-25高三上·天津滨海新·月考）已知数列是无穷数列，则 “，”是“数列 为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，，则，
由的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，
所以数列为等差数列，故充分性成立；
若数列为等差数列，则，
即，，故必要性成立；
所以“，”是“数列为等差数列”的充要条件.故选：C
【典例2】（24-25高三上·福建·月考）已知正项数列满足，（且），设．
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(3)求的通项公式．并求其前n项和．
【答案】(1)，，；(2)是等差数列，理由见解析；(3)，．
【解析】（1）由，，
知当时，，
即，解得或（舍）．
当时，，
即，解得或（舍），
，，．
（2）数列为等差数列，理由如下：
由可知．
，，又，故（且）．
当时，．
又，是以0为首项，1为公差的等差数列．
（3）由（2）可知，，
．
05 等差数列性质的应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【典例1】（24-25高三下·山东·月考）已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．72 B．108 C．120 D．144
【答案】D
【解析】在等差数列中，，解得，
所以．故选：D.
【典例2】（24-25高三上·广东深圳·月考）设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．32 B．64 C．80 D．128
【答案】B
【解析】在等差数列中，，则；
，则，
所以.故选：B
06 等差数列前n项和性质的应用
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
2、数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列为等差数列．
3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
【典例1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【解析】方法一：由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，所以.
方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，
则，得，解得.故选：C
【典例2】（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为数列和均为等差数列，
所以.故选：D.
07 求解等比数列基本量的策略
1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．
2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）记为数列的前项和，若为等比数列，则（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】A
【解析】为等比数列，的首项为，第二项为，
第三项为，
的公比为当时，，
显然当时也符合，
．故选：A.
【典例2】（24-25高三下·河南·月考）记等比数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【解析】设的公比为q，则，即，
，
因为，所以，
所以，故选：D.
08 等比数列判断与证明的方法
1、定义法：为常数且数列是等比数列．
2、等比中项法：数列是等比数列．
3、通项公式法：数列是等比数列．
4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要.
【典例1】（24-25高三下·广东茂名·月考）已知正项数列，令，则“为等差数列”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】因为正项数列，，若为等差数列，
则，所以，即为等比数列；
若为等比数列，则，
所以，即为等差数列．故选：C.
【典例2】（25-26高三上·安徽肥东·联考）已知数列满足，，．
(1)判断数列是否为等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)是；(2)
【解析】（1）由题意得，
且，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是．
（2）由于，
把，，，，代入，得
，，，…，
把以上各式相加，得．
所以．
09 等比数列性质的应用
1、等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
2、应用等比数列性质解题时的2个注意点
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，
特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【典例1】（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．2014 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【解析】等比数列的各项均为正数，且，
.故选：C
【典例2】（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为，
又，即，所以，解得.故选：D.

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