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专题01 集合与常用逻辑用语
题型1 判断元素与集合的关系问题
找到元素与集合关系的两个方法： 1、若集合中元素使直接给出的，直接判断元素在已知集合中是否出现即可； 2、若集合中元素没有直接给出，判断元素是否满足集合中元素所具有的特征即可； 注意：要先明确集合中的元素满足哪些条件．
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南新乡·三模）（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）
A．. B．.
C．若，则. D．若，则.
题型2 求集合中元素的个数问题
求集合中元素个数的三步法模型 （1）确定集合的类型，是数集，点集还是其他类型的集合； （2）看集合中元素满足什么限制条件； （3）根据条还能确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解．
5．（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知集合且，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型3 根据元素与集合的关系求参数
根据元素与集合的关系求参数问题的2个破题点 1、根据元素与集合的关系列出参数满足的方程或不等式求解； 2、注意校验集合中的元素是否满足互异性．
9．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
题型4 判断集合间的关系问题
判断集合间关系的三个方法 1、列举法：先根据题中限定条件把集合中元素列举出来，然后比较集合中元素的异同，从而判断集合之间的关系； 2、结构法：先对集合化简变形，然后从集合中元素的结构上找差异，再进行判断； 3、先用数轴或Venn图表示集合，然后通过数形结合判断集合之间的关系．
13．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知全集，集合，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型5 有限集合的子集个数问题
如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
17．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足 的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
18．（2025·河北保定·二模）已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．15
19．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）设集合，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合,，则集合的真子集个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．15
题型6 根据集合间的关系求参数
利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
21．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
22．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若 ，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型7 集合的交、并、补运算
集合运算的常用方法 1、若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； 2、若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
25．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
26．（2025·河北唐山·三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
27．（2025·辽宁·模拟预测）已知为全体实数，集合，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2025·山西忻州·模拟预测）已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型8 已知集合运算结果求参数
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 1、与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； 2、若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解．
29．（24-25高三上·河北沧州·期末）已知集合，集合，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．0
30．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
32．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型9 集合中的计数问题
关于集合中的计数问题，常借助Venn图或用公式，（表示有限集合中元素的个数）求解．
33．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
34．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
35．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45 B．48 C．53 D．43
36．（24-25高一上·湖北·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
题型10 集合中的新定义问题
解决集合新定义问题的关键：紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆．
37．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
38．（24-25高三上·四川成都·期中）给定集合，，定义且，若，，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
39．（2024·广东·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
40．（24-25高三上·北京·开学考试）已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足，则称集合I为“封闭集”．下列说法正确的是（ ）
A．集合为“封闭集”
B．集合为“封闭集”
C．若是“封闭集”，则A，B都是“封闭集”
D．若A，B都是“封闭集”，则也一定是“封闭集”
题型11 充分条件与必要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p q，q p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断 “x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
41．（2025·天津·二模）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
42．（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
43．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
44．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型12 根据充分与必要条件求参数
根据充分、必要条件求参数的思路方法 根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
45．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
46．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
47．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
48．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
题型13 含一个量词命题的否定
对全称(存在)量词命题进行否定的方法 全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时： （1）改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
49．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
50．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
51．（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
52．（2025·山东·二模）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型14 根据命题的真假求参数
利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围．
53．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
54．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
55．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
56．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
专题01 集合与常用逻辑用语
题型1 判断元素与集合的关系问题
找到元素与集合关系的两个方法： 1、若集合中元素使直接给出的，直接判断元素在已知集合中是否出现即可； 2、若集合中元素没有直接给出，判断元素是否满足集合中元素所具有的特征即可； 注意：要先明确集合中的元素满足哪些条件．
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，故A正确，BC错误，
集合不是集合的子集，故D错误.故选：A.
2．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
设,则：有理数部分：，无理数部分，
, ,符合条件，所以，故A错误；
设,则有理数部分，无理数部分:，
, ,符合条件，故，故B错误；
设,则：有理数部分，
无理数部分： ，故,故C正确；
设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，
故，故D错误．故选：C.
3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可得，所以.故选：A.
4．（2025·河南新乡·三模）（多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）
A．. B．.
C．若，则. D．若，则.
【答案】BC
【解析】对于，若，令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，
对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，
再根据性质②，得，进而，故正确，
对于，因为，所以，因为，所以，故正确，
对于，若，则，故错误，故选：.
题型2 求集合中元素的个数问题
求集合中元素个数的三步法模型 （1）确定集合的类型，是数集，点集还是其他类型的集合； （2）看集合中元素满足什么限制条件； （3）根据条还能确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解．
5．（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】当时，可能取值为，
当时，可能取值为，
当时，可能取值为.
故可能取值为，共6个.故选：A
6．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【解析】，共6个元素.故选：C.
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由中元素的互异性，得，即且，
而，则当且时，与均互异，
因此中至少有元素，取，此时，有4个元素，
∴ 中的元素个数至少为4个.故选：C
8．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知集合且，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在集合中且，有三个元素，
所以，则的元素个数为3.故选：C
题型3 根据元素与集合的关系求参数
根据元素与集合的关系求参数问题的2个破题点 1、根据元素与集合的关系列出参数满足的方程或不等式求解； 2、注意校验集合中的元素是否满足互异性．
9．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，时，，
解得或，即．故选：D．
10．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知且解得.故选：C.
11．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以.故选：C
12．（2024·北京·三模）已知集合，若，则可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由，得，则，或，
由，得，显然选项ABC不满足，D满足.故选：D
题型4 判断集合间的关系问题
判断集合间关系的三个方法 1、列举法：先根据题中限定条件把集合中元素列举出来，然后比较集合中元素的异同，从而判断集合之间的关系； 2、结构法：先对集合化简变形，然后从集合中元素的结构上找差异，再进行判断； 3、先用数轴或Venn图表示集合，然后通过数形结合判断集合之间的关系．
13．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
错误，错误，错误，
，
所以，D正确，故选：D
14．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，则.故选：B.
15．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
因为奇数集，为整数集，
则 ，故 .故选：B
16．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知全集，集合，，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由题意可得，
由可得或，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，不包含，故C错误；
对于D，，，故D错误.故选：B
题型5 有限集合的子集个数问题
如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
17．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足 的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】A
【解析】解：由题意可得，共3个.故选：A
18．（2025·河北保定·二模）已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．15
【答案】D
【解析】因为的对称轴为，顶点为，且过点,
当时，上的点为，
作，的图象，如图，
由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点，
则有4个元素，从而的真子集的个数为.故选：D
19．（24-25高三下·广东东莞·阶段练习）设集合，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，，则，即，，
由，，，，则，
所以，共有个元素，
所以集合的非空真子集的个数为.故选：B.
20．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合,，则集合的真子集个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．15
【答案】C
【解析】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，
∴集合的真子集个数为：.故选：C
题型6 根据集合间的关系求参数
利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围． 常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
21．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】①当时，解得，此时，满足题意，
②当时，解得，此时，满足题意，故选：C.
22．（2025·山西·三模）已知集合，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得．所以的取值范围是．故选：A.
23．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若 ，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，，
因为 ，所以，解得，
所以实数的取值范围为.故选：C.
24．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以或，
所以或，所以，
当时，，解得，满足；
当时，要使，则，解得，
综上，，即的取值范围是.故选：D
题型7 集合的交、并、补运算
集合运算的常用方法 1、若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解； 2、若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
25．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于集合，，解得.
对于集合，，解得.
所以集合，集合.
所以.故选：B.
26．（2025·河北唐山·三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
，
故，故选：D.
27．（2025·辽宁·模拟预测）已知为全体实数，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
则或．故选：C．
28．（2025·山西忻州·模拟预测）已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以．故选：．
题型8 已知集合运算结果求参数
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 1、与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到； 2、若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解．
29．（24-25高三上·河北沧州·期末）已知集合，集合，若，则实数（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】C
【解析】由得到，由子集的性质可知．
对于任意的实数，,不能等于，由集合元素的互异性，不成立，
故只能是；求出.故选：C
30．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以实数 的取值范围是.故选：A.
31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，所以，
由于，所以.故选：A.
32．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以或，
所以，所以，
因为，所以，所以实数的取值范围为.故选：.
题型9 集合中的计数问题
关于集合中的计数问题，常借助Venn图或用公式，（表示有限集合中元素的个数）求解．
33．（2025·江苏·一模）我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【答案】C
【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为，
原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即，
所以，解得.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为.故选：C
34．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，
只参加球类比赛的人数为z，
只参加游泳比赛的有人，
作出韦恩图，
由韦恩图得，解得，，
只参加田径一项比赛的人数为
所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，
则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为故选：A
35．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45 B．48 C．53 D．43
【答案】C
【解析】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，
集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，
表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素，
表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C．
36．（24-25高一上·湖北·阶段练习）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
【答案】B
【解析】赞成A的人数为，赞成B的人数为.
记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，
赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为，
赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得.
所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，
对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人.故选：B
题型10 集合中的新定义问题
解决集合新定义问题的关键：紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义混淆．
37．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
故中的元素个数为3.故选：C.
38．（24-25高三上·四川成都·期中）给定集合，，定义且，若，，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知当时，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，即，A选项正确；
又，则，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项正确；故选：C.
39．（2024·广东·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】设，，
则，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是.故选：B
40．（24-25高三上·北京·开学考试）已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足，则称集合I为“封闭集”．下列说法正确的是（ ）
A．集合为“封闭集”
B．集合为“封闭集”
C．若是“封闭集”，则A，B都是“封闭集”
D．若A，B都是“封闭集”，则也一定是“封闭集”
【答案】B
【解析】设，，,；
则，即可得，则点在线段上，
由题意可得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为“封闭集”，
对于A，集合，，若对于任意的，，，满足，则，
函数如下图，显然线段上任意一点,，不一定满足，
图中所示，即；
故集合,不为“封闭集”，即A错误；
对于B，若,，对于任意的,，,满足，，则，
函数如下图，显然线段上任意一点,，都有，即；
故可得集合,为“封闭集”，即B正确；
对于C，由选项A可知集合,不是“封闭集”，
根据对称性，如图1可知,不是“封闭集”，
则表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2，显然任意的，
则线段上任意一点，都有,故是“封闭集”，故C错误，

对于D，若，都是“封闭集”，不妨取,，,；
对于任意的,，,满足，，则，
函数如下图，显然线段上任意一点,都有，即；
故,为“封闭集”，同理可得,也为“封闭集”；
而的图象如下：显然，但线段上任意一点不满足，
也不满足，即，
即不一定是“封闭集”，即D错误．故选：B．
题型11 充分条件与必要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法 （1）定义法：根据p q，q p进行判断． （2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． （3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断 “x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
41．（2025·天津·二模）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】令，在上都为增函数，
在单调递增，
又a，，所以，
即“”是“”的充要条件，故选：C
42．（2025·重庆·三模）已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，，则可能有，或者与相交，不能推出，
若，，则有，
所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C
43．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，则，，此时，
当时，也能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
44．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当成立时，对任意的正整数，对任意的，，
都有，则，
所以当时，，对任意的，都成立，
所以是等差数列，故.
当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为，
则，，，
∴，
即恒成立，∴.
综上得，是的充要条件.故选：C.
题型12 根据充分与必要条件求参数
根据充分、必要条件求参数的思路方法 根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
45．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由解得，故，
因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以 ，所以有，解得，故选：A.
46．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集,
可得，等号不同时成立，结合，解得，
所以的取值范围为，故选：B
47．（2025·河南·模拟预测）已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由可得，即，
由可得，
即，
又因为是的充分不必要条件，所以，
所以(等号不同时成立)，解得，
故答案为：.
48．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】甲：，设此范围对应集合；
由，则乙：，设此范围对应集合，
因为甲是乙的必要不充分条件，则是的真子集，
则，所以的取值范围是：.
题型13 含一个量词命题的否定
对全称(存在)量词命题进行否定的方法 全称(存在)量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时： （1）改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； （2）否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 【注意】对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．
49．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“”的否定是“”.故选：D
50．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题“”的否定是“”.故选:D.
51．（2025·贵州黔东南·三模）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由全称量词命题的否定可知，
命题的否定是，故选：D
52．（2025·山东·二模）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】命题“，”的否定为“，”，故选：D．
题型14 根据命题的真假求参数
利用含量词的命题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围．
53．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，命题“”的否定，
即命题“”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有，解得.故选：C.
54．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】命题“，”等价于有两个不等的实数根，
所以，即，解得或，故选：D.
55．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，解得：，
所以实数的取值范围为，故选：A
56．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】命题“”是假命题，
则 是真命题，
∴，解得：或，
即a的范围是故选：D.

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