资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 二次函数与一元二次方程、不等式
题型1 不等式的性质及应用
判断不等式是否成立的常用方法 （1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件； （2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项； （3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断．
1．（24-25高三上·山东·月考）下列选项说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，反例，，则，故A错误；
对于B，反例，即，而，故B错误；
对于C，若，则，所以，故C错误；
对于D，，，则，所以，即，故D正确.故选：D.
2．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，若，则，，故A错误；
对于B，因为，故，故B正确；
对于C、D，若，，，故C、D错误，故选：B．
3．（24-25高三上·广东江门·月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，由，得，则，A错误；
对于B，由，得，而，则，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，由，得，因此，D正确.故选：D
4．（24-25高三上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】对选A，若，满足，此时无意义，故A错误，
对选项B，若，满足，不满足，故B错误，
对选项C，若，，
所以，故C正确.
对选项D，若，，则.故选：C
题型2 利用不等式求代数式范围
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下： 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围．
5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，得，，
所以．故选：B．
6．（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则有，
即，解得，
所以由，可得,
两同向不等式相加得：
化简得故选：C.
7．（24-25高三上·江苏南通·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，故且，
所以，故，
由于，，所以，即，
故最小值为，此时，故选：B.
8．（24-25高三上·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27 B．24 C．12 D．32
【答案】A
【解析】由，得，
又，所以，
所以，即，
所以的最大值为27.故选：A
题型3 比较两个数（式）的大小
1、作差法： （1）原理：设，则；；； （2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。 （3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形． 2、作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形．
9．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，则与大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.故选：C.
10．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因由可得，
又，由可得，
故得，.故选：D.
11．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，且可得，即，
则，
又，即，化简可得，
即，其中，
所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
综上所述，.故选：A
12．（2025高三下·全国·专题练习）已知，，则，的大小关系为 ．
【答案】
【解析】法一：，
，
．
法二：令，
显然是上的减函数，
，即．
故答案为：
题型4 解不含参一元二次不等式
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集．
13．（24-25高三下·江苏宿迁·月考）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
所以，所以或.
所以不等式的解集为.故选：B.
14．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
.故选：B.
15．（2025·湖北武汉·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
，
所以，故选：D.
16．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】B
【解析】在集合中，因为，所以，
则，解得，所以，
因为，故.故选：B．
题型5 解含参一元二次不等式
对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类； （2）根据判别式与0的关系判断根的个数； （3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论．
17．（24-25高三上·安徽·月考）设实数满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以不等式的解集为或.故选：A.
18．（24-25高三上·福建厦门·月考）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，故选：ACD
19．（24-25高三上·甘肃天水·月考）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于的不等式可化为，
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得；
当时，不等式化为，此时无解；
当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得.
综上，实数的取值范围是.
20．（24-25高三上·北京·月考）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，，，，
则，即，
即，解得：，
所以不等式的解集为.
题型6 三个“二次”关系的应用
1、一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值； 2、给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与轴的交点，可以代入根或利用根于系数的关系求待定系数．
21．（24-25高三上·安徽·月考）关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
【答案】B
【解析】不等式的解集是，
故且，则的根为-1，
故的解集为.故选：B
22．（24-25高三下·广东深圳·月考）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为关于的不等式的解集是，所以可知，
所以原不等式可化为
显然是方程的两根，
所以只须，解得，
所以的取值范围是.故选：A
23．（24-25高三下·江苏宿迁·月考）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意可知：，m是方程的两根，且，
则，可得，，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.故选：C.
24．（24-25高三上·甘肃陇南·期中）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】D
【解析】因为不等式的解集为，
和2是方程的两个根，且，
所以，可得，
则不等式化为，
由，则可整理得，解得，
故不等式的解集为.故选：D.
题型7 一元二次不等式恒成立问题
1、一元二次不等式正在R上恒成立，可以利用判别式判断； 2、一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论； 3、一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况，求谁的范围，谁就是参数．
25．（25-26高三上·河北衡水·月考）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，此时当时，即满足，故符合题意，
当时，此时为开口向下的二次函数，
一定存在实数使得成立，故符合题意，
当时，此时为开口向上的二次函数，
要使存在实数使得成立，则，解得，
综上可得，故选：A
26．（24-25高三上·山西·月考）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】B
【解析】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求，
当时，开口向下，不满足题意，
所以，
令，得，
当时，不等式对任意的恒成立，
所以，即，且，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.故选：B.
27．（24-25高三下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】因对任意恒成立，
则对任意恒成立，
因在上单调递减，在上单调递增，且，，
则在上的最大值为，则，
故实数a的取值范围为.
28．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】原不等式等价于，
当时，对，不等式恒成立；
当时，则有，解得：
综上所述，实数的取值范围是
题型8 利用基本不等式求最值
法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系． 法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式． 法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况． 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值．
29．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正数、满足，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为．故选：C.
30．（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为,
所以且,
故且，所以,
故，,
所以,
所以,故选：A．
31．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，解得，
所以，令，
则，
等号成立当且仅当，此时，，
所以的最小值为.
32．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于，故，且，
故
，
当且仅当，结合，
故当时等号取到，
故答案为：
题型9 基本不等式恒成立问题
1、，使得，等价于； 2、，使得，等价于； 3、，都有，等价于； 4、，都有，等价于．
33．（24-25高三上·湖南·开学考试）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为正数，满足，
则，因为，
所以，则，当且仅当即时等号成立.
因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立.
，所以，即对任意实数恒成立.
令，
因为，所以，所以.故选：D.
34．（24-25高三上·江西上饶·月考）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，因为，则，
所以原不等式等价于在上恒成立；
令，
在时单调递减，在时单调递增，
所以当时， ，
若在上恒成立，则，所以.故选：A
35．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
【答案】B
【解析】，，则，
不等式 恒成立，即恒成立，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即实数m的最大值为.故选：B.
36．（24-25高三上·河北承德·月考）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
又因为，可得，
则，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为，所以，可得，即，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为.故选：C.
题型10 基本不等式的实际应用
解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
37．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】由可知，故，
当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选：B.
38．（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（ ）后池水中药品的浓度达到最大．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，当且仅当 且，即时取等号，
因此经过后池水中药品的浓度达到最大．故选：B．
39．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，行车的总费用为，其中，
由基本不等式可得（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，经济的车速是.故选：C.
40．（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（ ）
A．2km B．3km C．4km D．5km
【答案】B
【解析】由题意设，仓库到车站的距离，
由于在距离车站6km处建仓库，则，即，
两项费用之和为，
当且仅当，即时等号成立，
即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 二次函数与一元二次方程、不等式
题型1 不等式的性质及应用
判断不等式是否成立的常用方法 （1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件； （2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项； （3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断．
1．（24-25高三上·山东·月考）下列选项说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·广东江门·月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
4．（24-25高三上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型2 利用不等式求代数式范围
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下： 已知，，求的取值范围 第一步：设； 第二步：经过恒等变形，求得待定系数； 第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围．
5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江苏南通·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27 B．24 C．12 D．32
题型3 比较两个数（式）的大小
1、作差法： （1）原理：设，则；；； （2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。 （3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形． 2、作商法： （1）原理：设，则；； （2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。 （3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形．
9．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，则与大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高三下·全国·专题练习）已知，，则，的大小关系为 ．
题型4 解不含参一元二次不等式
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； 第二步：写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 第三步：根据不等式，写出解集．
13．（24-25高三下·江苏宿迁·月考）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·湖北武汉·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
题型5 解含参一元二次不等式
对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类； （2）根据判别式与0的关系判断根的个数； （3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论．
17．（24-25高三上·安徽·月考）设实数满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．
18．（24-25高三上·福建厦门·月考）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25高三上·甘肃天水·月考）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ．
20．（24-25高三上·北京·月考）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
题型6 三个“二次”关系的应用
1、一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值； 2、给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与轴的交点，可以代入根或利用根于系数的关系求待定系数．
21．（24-25高三上·安徽·月考）关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．或
22．（24-25高三下·广东深圳·月考）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25高三下·江苏宿迁·月考）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
24．（24-25高三上·甘肃陇南·期中）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．或
C．或 D．
题型7 一元二次不等式恒成立问题
1、一元二次不等式正在R上恒成立，可以利用判别式判断； 2、一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论； 3、一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况，求谁的范围，谁就是参数．
25．（25-26高三上·河北衡水·月考）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25高三上·山西·月考）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
27．（24-25高三下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 .
28．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ．
题型8 利用基本不等式求最值
法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系． 法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式． 法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况． 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题． 法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值．
29．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
30．（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
31．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 .
32．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ．
题型9 基本不等式恒成立问题
1、，使得，等价于； 2、，使得，等价于； 3、，都有，等价于； 4、，都有，等价于．
33．（24-25高三上·湖南·开学考试）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．（24-25高三上·江西上饶·月考）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64 B．25 C．13 D．12
36．（24-25高三上·河北承德·月考）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A． B．
C． D．
题型10 基本不等式的实际应用
解实际应用题的三个注意点： 1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； 2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； 3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
37．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
38．（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（ ）后池水中药品的浓度达到最大．
A． B． C． D．
39．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（ ）.
A． B． C． D．
40．（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（ ）
A．2km B．3km C．4km D．5km

展开更多......

收起↑