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专题02 复数及其应用
题型1 复数的概念
1 虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定： ① 可与实数进行四则运算； ② ，这样方程就有解了，解为，. ③ 以为周期，即. 2 复数的概念 ① 定义 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做实部，叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即. ② 分类 【注意】的虚部是，不是.
1（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．3
2（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（ ）
A． B． C． D．
3（2025·湖北·模拟预测）已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（ ）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
4（2024·福建·模拟预测）已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
5（2025·湖南娄底·模拟预测）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）复数实数；
（2）复数纯虚数；
（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.
题型2 复数的运算
1 运算法则 设， 2 复数的运算，最终的结果写出的形式。
1（2025·河北保定·三模）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．-1 B． C．1 D．i
2（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）若（其中i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高二下·河北承德·期末）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（ ）.
A．的虚部为
B．的最小值为
C．的实部为
D．当时，为纯虚数
5（2024·河北保定·二模）已知为虚数单位.
(1)若复数满足，求；
(2)计算.
题型3 复数的几何意义
1 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系相等的向量表示同一个复数. 2 复数可看成个向量，求向量的运算也可以用平面向量的平行四边形法则或三角形法则。
1（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（ ）．
A． B． C．或2 D．或2
4（2025·河南·模拟预测）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C．(6.5) D．
5（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6（2025·广东·模拟预测）设复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．1
7(多选)（2025高三·全国·专题练习）已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
题型 4 复数相等与共轭复数
1 复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等. 2 共轭复数 的共轭复数记作，且. 3对于含共轭复数的等式，常常用待定系数法，设，再根据题意得到关于的方程，求出最后结果； 3 关于共轭复数，满足，。 【注意】只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.
1（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2（2025·河南·模拟预测）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3（2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称
B．
C．必为实数，必为纯虚数
D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根
4（2025·山西·模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 B．z的虚部为
C．z的共轭复数 D．z的模为
5(多选)（2025·江苏盐城·模拟预测）复数 满足 ，则（ ）
A． B．为纯虚数
C． D．
6(多选)（2025·甘肃定西·模拟预测）关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则为实数或纯虚数
题型 5 复数的模
1 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 . 2 求含复数模的等式，常常用待定系数法，设，再根据题意得到关于的方程，求出最后结果； 3 对于复数的模，满足，.
1（2025·河南·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2（2024·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A． B． C．2 D．
3（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
4（2025·河南·模拟预测）已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足的点Z的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5（2024·宁夏·二模）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
6(多选)（2025·湖北黄冈·三模）已知复数，下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 .
题型 6 复数的三角形式
1 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式. 规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即. 2 复数的代数形式与三角形式的互换 3 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则，
1（2023·湖北·二模）复数与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
2（2023·辽宁·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．
3（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（ ）
A． B． C． D．
4（2025·河北·模拟预测）已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
5（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．为虚数 B．函数不是周期函数
C．若，则 D．的共轭复数是
6（2024·山东·模拟预测）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型 7 与复数有关的最值问题
1 根据复数的几何意义，理解与复数有关的轨迹是求最值的关键 若， (1) 表示到的距离，即 (2) 表示以为圆心，为半径的圆. 2 求与复数有关的最值问题，可采取几何法，先掌握复数满足的轨迹，再强调所求式子所含的几何意义，结合几何模型求出最值； 3 采取代数法，往往是三角换元.
1（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3（2024·广东·模拟预测）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4(多选)（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（ ）
A．复数的共轭复数
B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足，则的最小值为2
D．若，且，则
5（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 .
题型 8 复数方程
1 复数方程，也可用初中学的求根公式； 2 是方程的根，则； 是方程的两个根，则 ， 4 n次整式方程有n个解。
1（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3（2025·广东·一模）若是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B．
C． D．
4（2025·甘肃白银·模拟预测）若复数z为方程的根，则（ ）
A． B．3 C． D．2
5（2025·河南新乡·二模）已知，则下列结论正确的个数是（ ）
①存在实数解；
②共有个不同的复数解；
③复数解的模长都等于；
④存在模长大于的复数解．
A． B． C． D．
6（2025·河南新乡·模拟预测）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7(多选)（2025·江苏泰州·模拟预测）已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，为实系数方程的两虚根，则
8(多选)（2025·江西·三模）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 复数及其应用
题型1 复数的概念
1 虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定： ① 可与实数进行四则运算； ② ，这样方程就有解了，解为，. ③ 以为周期，即. 2 复数的概念 ① 定义 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做实部，叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即. ② 分类 【注意】的虚部是，不是.
1（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前
的系数.
【详解】因为，
代入原式得：，
所以复数标准形式中，虚部为3.
故选：D.
2（2025高三·全国·专题练习）若复数的实部、虚部互为相反数，则z的实部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的概念列方程即可求解.
【详解】因为复数的实部、虚部互为相反数，所以，解得，
故的实部是．
故选：D.
3（2025·湖北·模拟预测）已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数．则是的（ ）条件．
A．充要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由必要不充分条件的定义、复数的概念即可判断.
【详解】若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；
当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，
故选：C.
4（2024·福建·模拟预测）已知，．若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．不存在
【答案】C
【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或．
故选：C
5（2025·湖南娄底·模拟预测）当实数取什么值时，复数分别满足下列条件？
（1）复数实数；
（2）复数纯虚数；
（3）复平面内，复数对应的点位于直线上.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【解析】（1）由虚部为0，求解值；
（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值；
（3）由实部与虚部的和为0，列式求解值．
【详解】解：由题可知，复数，
（1）当为实数时，则虚部为0，
由，解得：或；
（2）当纯虚数时，实部为0且虚部不为0，
由，解得：；
（3）当对应的点位于直线上时，则，
即：实部与虚部的和为0，
由，解得：或．
题型2 复数的运算
1 运算法则 设， 2 复数的运算，最终的结果写出的形式。
1（2025·河北保定·三模）已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．-1 B． C．1 D．i
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得虚部.
【详解】由可得，其虚部为.
故选：A.
2（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）若（其中i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知等式化简即可求出复数.
【详解】由，得，
得，
所以.
故选：A
3（24-25高二下·河北承德·期末）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算求解即可.
【详解】.
故选：C.
4（2025·甘肃金昌·三模）已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（ ）.
A．的虚部为
B．的最小值为
C．的实部为
D．当时，为纯虚数
【答案】B
【分析】根据复数的乘法及复数的概念判断ACD，根据复数的模及基本不等式判断B.
【详解】由题意，，实部为，虚部为，故A，C错误；
|z1|=≥=(当且仅当，即时取等号)，故B正确；
当时，，为实数，故D错误.
故选：B
5（2024·河北保定·二模）已知为虚数单位.
(1)若复数满足，求；
(2)计算.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）证明，求出即可求解；
（2）根据复数的四则运算法则即可求解.
【详解】（1）由题可得，
所以，
则；
（2）原式.
题型3 复数的几何意义
1 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数. 2 复数可看成个向量，求向量的运算也可以用平面向量的平行四边形法则或三角形法则。
1（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】通过复数乘法法则计算出复数，再根据复数与复平面内点的对应关系确定其坐标，最后根据坐标判断所在象限.
【详解】因为．所以该复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故选：A.
2（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】，
所以．
故选：B
3（24-25高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（ ）．
A． B． C．或2 D．或2
【答案】D
【分析】由题意得点，，，在以原点为圆心、半径为的圆上，进一步列方程即可求解.
【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为，
得到对应的以原点为始点的向量依次为，
则，
可得，同理可得，
因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，
所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上，
所以，解得.
故选：D.
4（2025·河南·模拟预测）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C．(6.5) D．
【答案】D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【详解】由题图可知，，则，
解得（舍去），
所以，，则向量在向量上的投影向量为，
所以其坐标为．
故选：D
5（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设复数，结合复数的模长运算和几何意义可得.
【详解】设复数，则，
所以，
所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆，
故选：D．
6（2025·广东·模拟预测）设复数满足，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值.
【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示：
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，又，
故选：A.
7(多选)（2025高三·全国·专题练习）已知复数和在复平面内对应点和，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据复数模长的运算公式判断A正确；然后设，则，则，，然后根据根据复数的运算和向量的模长与坐标运算即可判断CBD的正误.
【详解】对于A，，所以A正确；
设，则，则，
对于B，因为
，所以B正确；
对于C，因为，
，所以，所以C错误；
对于D，因为，
所以，所以D正确；
故选：ABD．
题型 4 复数相等与共轭复数
1 复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等. 2 共轭复数 的共轭复数记作，且. 3对于含共轭复数的等式，常常用待定系数法，设，再根据题意得到关于的方程，求出最后结果； 3 关于共轭复数，满足，。 【注意】只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.
1（2025·山东·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，再根据复数的运算及相等的条件求解即可.
【详解】设，
则，
，即，
故选：A.
2（2025·河南·模拟预测）复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设（），由条件等式，应用复数相等求，得到复数.
【详解】设（），则，，
因为，所以，
所以解得
即．
故选：D.
3（2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称
B．
C．必为实数，必为纯虚数
D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确.
【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误：
对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误；
对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意；
若，则方程的两个复数根为和，
此时两根互为共轭复数，因此D正确.
故选：D
4（2025·山西·模拟预测）已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 B．z的虚部为
C．z的共轭复数 D．z的模为
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简求出，即可依次判断每个选项.
【详解】 ，
的共轭复数为，故C错误，共轭复数对应的点在第一象限，故A错误；
的虚部为，故B错误；z的模为，故D正确.
故选：D.
5(多选)（2025·江苏盐城·模拟预测）复数 满足 ，则（ ）
A． B．为纯虚数
C． D．
【答案】AC
【分析】根据复数的模、纯虚数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，其中.
其模，已知，则，两边同时平方可得 ①.
，所以，
两边同时平方可得，即 ②.
将①代入②可得：，化简可得，解得.
把代入①可得：，即，，
解得，所以.
选项A： 根据共轭复数的模的性质，对于复数，，已知，所以，故A正确；
选项B： 纯虚数是指实部为，虚部不为的复数，而的实部，
所以不是纯虚数，故B错误；
选项C： 当时，，则；
当时，，则，故C正确；
选项D： 当时，，则；
当时，，则.
所以，故D错误.
故选：AC
6(多选)（2025·甘肃定西·模拟预测）关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则为实数或纯虚数
【答案】BD
【分析】对于A，举反例说明即可；对于B，假设，根据复数的乘法运算及共轭复数判断即可；对于C，举反例说明即可；对于D，根据复数的模的求法列出方程，化简判断即可.
【详解】对于A，当时，，因为，所以，故A错误；
设，且，
对于B，，
所以，故B正确；
对于C，取，满足0，但不满足，故C错误；
对于D，因为，，，
所以，化简可得，则且，
此时为实数或纯虚数，故D正确.
故选：BD.
题型 5 复数的模
1 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 . 2 求含复数模的等式，常常用待定系数法，设，再根据题意得到关于的方程，求出最后结果； 3 对于复数的模，满足，.
1（2025·河南·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的几何意义，结合圆的面积公式求解即可.
【详解】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，
则其面积为.
故选：B.
2（2024·青海·一模）已知复数，且，若z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先根据求出或，再结合z在复平面内对应的点位于第二象限排除即可.
【详解】由题意，得，得或，
因z在复平面内对应的点位于第二象限，所以，故，故，
故选：A
3（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z；
方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部.
【详解】方法一、设，，
所以，
，，所以的虚部为，
故选：A．
方法二、，得，则有，
所以的虚部为，
故选：A．
4（2025·河南·模拟预测）已知复数z的实部和虚部均为自然数，在复平面内z对应的点为Z，那么满足的点Z的个数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】设，得到，再依次列举得到答案.
【详解】设，，，即，
当时，或；
当时，；
当时，，或；
当时，.
综上所述：共有个点满足条件.
故选：C
5（2024·宁夏·二模）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项.
【详解】由可得，可得，解得或，
由韦达定理可得，，
对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对；
对于B选项，，所以，，B对；
对于C选项，，
所以，C错；
对于D选项，，D对.
故选：C.
6(多选)（2025·湖北黄冈·三模）已知复数，下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】设出，，，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项判断.
【详解】设，，且，则，，；
对A：，
，故A正确；`
对B：，
`
，
所以不能恒成立，B错误.
对C：，
，故C错误；
对D：
，故，故D正确.
故选：AD.
7（2025·辽宁·一模）设复数满足，则 .
【答案】
【分析】利用，计算可求.
【详解】因为对任意复数，都有，
又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
题型 6 复数的三角形式
1 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式. 规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即. 2 复数的代数形式与三角形式的互换 3 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则，
1（2023·湖北·二模）复数与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
【详解】由题设，，故A、C、D错误；
而，故B正确.
故选：B
2（2023·辽宁·模拟预测）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案.
【详解】
，
故选：A.
3（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解．
【详解】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转，
所以旋转后的向量所对应的复数为，
所以旋转后的向量，
又因为，，
所以向量在上的投影向量是，即对应复数是.
故选：.
4（2025·河北·模拟预测）已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据已知条件结合复数的几何意义确定所对应点的轨迹方程，然后确定，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.
【详解】设（），则，
即所对应点在以为圆心，1为半径的圆上，
设该圆与轴交点，
因为模为1的纯虚数对应复平面内的点为，即，
若，则为的中点，故对应的点不合题意，舍去，
因此，由圆的切割线定理可得，
设，则，则，则.
故选：B.
5（2023·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．为虚数 B．函数不是周期函数
C．若，则 D．的共轭复数是
【答案】D
【分析】
A选项，根据题意计算出，A错误；B选项，由是周期函数，得到答案；C选项，根据欧拉公式得到，C错误；D选项，计算出，得到共轭复数.
【详解】A选项，，为实数，A错误；
B选项，，由于是最小正周期为的函数，所以是周期函数，B错误；
C选项，由题意得，所以，
又时，，故C错误；
D选项，
，
故共轭复数是，D正确.
故选：D
6（2024·山东·模拟预测）著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解.
【详解】因为，则，
又，所以，
由，得到，又，且，
则，所以，
故选：D.
题型 7 与复数有关的最值问题
1 根据复数的几何意义，理解与复数有关的轨迹是求最值的关键 若， (1) 表示到的距离，即 (2) 表示以为圆心，为半径的圆. 2 求与复数有关的最值问题，可采取几何法，先掌握复数满足的轨迹，再强调所求式子所含的几何意义，结合几何模型求出最值； 3 采取代数法，往往是三角换元.
1（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值.
【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为，
复数在复平面对应的点为：，
由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，
而，所以点在线段上，故，
则，
当时，的最大值为.
故选：B.
2（2024·河南信阳·模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值．
【详解】设（），则．
已知，根据复数的模的计算公式可得．
等式两边同时平方可得，
这表示复平面上以点为圆心，半径的圆．
因为，所以，则，
它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离．
根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为：
．
因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上，
所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即．
的最大值为．
故选：A．
3（2024·广东·模拟预测）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可．
【详解】设在复平面内对应的点分别为，
因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示.
故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值，
故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1.
故选：A.
4(多选)（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（ ）
A．复数的共轭复数
B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足，则的最小值为2
D．若，且，则
【答案】BC
【分析】A选项，利用复数除法法则和共轭复数的概念得到A正确；B选项，利用复数乘方法则得到，得到对应点坐标，得到所在象限；C选项，由模长的几何意义得到对应的点在虚轴（加上原点）上，由几何意义得到最小值为1；D选项，，又，则.
【详解】A.复数，则共轭复数，正确：
B.，对应点为，在第三象限，B错：
C.复数满足，则对应的点在是以对应点为端点的线段的中垂线上，即虚轴（加上原点）上，
表示虚轴（加上原点）上的点到点的距离，最小值为1，C错误.
D.若，则，又，则，故D正确：
故选：BC
5（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）若复数满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围.
【详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为2的圆上，
设圆上任意一点的坐标为，表示圆上的点到和两点距离之和，
即①，
①式平方得，由于，所以，所以，
所以，所以
.
故答案为：.
题型 8 复数方程
1 复数方程，也可用初中学的求根公式； 2 是方程的根，则； 是方程的两个根，则 ， 4 n次整式方程有n个解。
1（2025·河北邯郸·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用求根公式和复数模的公式求解可得.
【详解】由求根公式可得，所以.
故选：B
2（2025·河南新乡·模拟预测）已知，是虚数单位，方程有解，则正实数（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据复数相等列式计算求解，再代入计算求解判断.
【详解】由复数相等的充要条件得，
解得或，
当时，解得，
当时，解得舍；
故选：C.
3（2025·广东·一模）若是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用韦达定理可得答案.
【详解】由题意可得关于的方程的另一个根为，
则，解得．
故选：D.
4（2025·甘肃白银·模拟预测）若复数z为方程的根，则（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】法一：根据实系数一元二次方程的性质，结合复数模的公式进行求解即可；
法二：设，代入方程，列出方程组求解，再根据复数模的公式即可求解．
【详解】法一：由，得，故．
法二：设，代入，得，
所以，即，
所以，解得或，
所以．
故选：A．
5（2025·河南新乡·二模）已知，则下列结论正确的个数是（ ）
①存在实数解；
②共有个不同的复数解；
③复数解的模长都等于；
④存在模长大于的复数解．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用换元法可求得，从而可判断的个复数解的模都是.
【详解】设，则，可得，
则，
于是，
这两个的取值都在区间内．
故有解，因此有个不同的复数解．
当时，由于，
因此的复数解的模长都等于．
因此，②③正确，
故选：C.
6（2025·河南新乡·模拟预测）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项.
【详解】根据题意，，
令，其中，
由于为虚数，故为的两个根，且为，
不妨设，
则，，
则，
故只有B正确.
故选：B
7(多选)（2025·江苏泰州·模拟预测）已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，为实系数方程的两虚根，则
【答案】ACD
【分析】对A，根据复数的乘方运算求解，判断；对B，根据复数的乘法运算和复数模计算判断；对C，根据复数的除法运算求解判断；对D，根据实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，可判断.
【详解】对于A，由，得，故A正确；
对于B，由，，得，故B错误；
对于C，由，得，所以为纯虚数，故C正确；
对于D，若为实系数方程的两虚根，则，
所以，，故D正确.
故选：ACD.
8(多选)（2025·江西·三模）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断A，再由韦达定理判断B，根据复数的乘法运算判断C，再由复数除法及周求判断D．
【详解】对于A，因为且实系数一元二次方程的两根为，
所以，可得，因为，故A正确；
对于B，又，所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以，故D正确．
故选：ACD

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