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专题02 三角函数图象与性质
题型1 五点作图法
(1)图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)； (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
1.(2023·安徽合肥·模拟预测)用“五点法”画函数(，，)在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是( )
x
0
0 2 0 0
A． B．不等式的解集为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增
2.(2024·云南曲靖·模拟预测)已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
3.(2024·上海长宁·二模)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 1 0
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)设，求函数的值域；
4．(2024·上海·一模)(1)在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
0
0
1
(2)设实数且，求证：；(可以使用公式：)
(3)证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是
5．(2025·湖北武汉·三模)已知函数，
0
0 0 0
(1)若，(ⅰ)根据如上表格，直接写出的值；
(ⅱ)利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象；
(2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围.
6．(23-24高一下·河南南阳·期中)已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
x 0
0 0
(3)当时，求的值域．
题型2 三角函数的图象变换
1.(2024·福建厦门·三模)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则( )
A． B． C． D．
2.(2024·全国·模拟预测)将函数的图象向右平移()个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为( )
A． B． C． D．
3.(23-24高三上·广东湛江·期末)已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4.(2023·全国·模拟预测)若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为( )
A． B． C． D．
5.(23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为( )
A． B． C． D．
6.(2024·河南·模拟预测)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为( )
A． B． C． D．
7．(2022·天津·一模)将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为( )
A． B． C．0 D．
8．(2024·陕西安康·模拟预测)将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则( )
A． B． C． D．
9．(2024·云南楚雄·一模)将函数()的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．5
10.(2024·云南·一模)为得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
11.(2025·上海浦东新·模拟预测)把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 .
题型3 三角函数的奇偶性
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： (1)若为奇函数，则； (2)若为偶函数，则； (3)若为奇函数，则； (4)若为偶函数，则； (5)若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数
1．(2025·全国·二模)函数是上的偶函数，则( )
A．0 B． C． D．
2．(2024·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( )
A． B． C． D．2
3．(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( )
A． B． C． D．
4．(2024·浙江杭州·一模)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2024·贵州铜仁·模拟预测)将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为( )
A． B． C． D．
6．(2025·四川广安·模拟预测)已知函数为偶函数，则的值为( )
A． B． C． D．
7．(2025·云南红河·模拟预测)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为( )
A． B． C． D．
8．(2025·湖北·模拟预测)已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则满足条件且最小的的值为( )
A．3 B． C．15 D．2
9．(2025·四川德阳·三模)已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，若是奇函数，则( )
A． B． C． D．
10.(2024·辽宁·模拟预测)将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
11．(2024·内蒙古赤峰·三模)将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 .
12．(2025·四川绵阳·模拟预测)若函数为奇函数，则 ．
13．(2025·甘肃白银·模拟预测)函数是偶函数，则的最小正值为 ．
题型4 三角函数的单调性
将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调性转化为解一元一次不等式． (1)函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． (2)函数与的单调性相反. (3)对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
1．(2025·天津·二模)已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是( )
A． B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
2．(2025·山西·三模)已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则( )
A． B． C． D．
4．(2025·山东·二模)已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则( )
A． B． C． D．
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．(2025·甘肃白银·三模)将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．(2025·天津河北·二模)已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为( )
A． B． C． D．
8．(2025·内蒙古包头·二模)已知在上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
9．(2025·四川泸州·模拟预测)已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为( )
A． B．1 C． D．2
10．(2025·贵州·模拟预测)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为( )
A． B． C． D．
11.(2025·湖北武汉·模拟预测)若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
12．(2025·陕西汉中·二模)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 .
13．(2025·山东·模拟预测)已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．(2025·湖南郴州·三模)已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
题型5 三角函数的周期性
关于三角函数周期的几个重要结论： (1)函数的周期分别为T＝，T＝． (2)函数，的周期均为T＝ (3)函数的周期均T＝．
1.(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( )
A． B． C． D．
2.(2025·浙江温州·三模)已知函数，则存在实数，使得( )
A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的最大值为0
3．(2025·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为；
④在区间上单调递增.
其中真命题的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.(2025·湖北武汉·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称
5．(2025·四川成都·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．曲线关于直线对称 D．在上单调递减
6.(2025·河南·三模)函数的最小正周期为 ．
题型6 三角函数的对称性
关于三角函数对称的几个重要结论； (1)函数的对称轴为，对称中心为； (2)函数的对称轴为，对称中心为； (3)函数函数无对称轴，对称中心为； (4)求函数的对称轴的方法；令，得； 对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为. (5)求函数的对称轴的方法； 令得，即对称中心为
1．(2025·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( )
A．1 B． C． D．
2．(2025·河北秦皇岛·一模)已知函数，若在区间上单调，则( )
A． B． C． D．
3．(2025·福建漳州·一模)已知，若在区间上不单调，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数，其最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，的图象关于点对称，则当时，的最大值为( )
A．1 B．2 C． D．
题型7 三角函数的定义域、值域
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． (1)，设，化为一次函数在上的最值求解． (2)，引入辅助角，化为，求解方法同类型(1) (3)，设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． (4)，设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． (5)与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． (6)导数法
1．(2025·安徽芜湖·模拟预测)已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．(2025·山东青岛·模拟预测)已知函数，，且，则当时，的值域为( )
A． B． C． D．
3．(2025·内蒙古呼和浩特·二模)已知函数，则下列结论正确的是( )
A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称
C．若函数在上单调递增，则的取值范围为
D．若，则的最小正周期为
4.(2025·四川巴中·二模)已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 .
题型8 三角函数中的求解
1.对于函数或，其周期公式为。 若题目直接给出函数的周期(T)的值，可通过该公式直接求解。 2.已知单调性求及范围 (1)已知函数在某区间([a,b])上单调递增， 则在[a,b]上恒成立； (2)已知函数在某区间([a,b])上单调递减， 则在[a,b]上恒成立。 (3)已知函数的单调递增区间为([m,n])，给定区间。 单调递增区间，解出(x)的范围为。 若，则，通过解这两个不等式组可得到的取值范围。 4.利用函数零点 (1)对于函数，其零点满足，即。 (2)若已知函数的两个零点和，那么，， 两式相减得，则。 例如，已知两个相邻零点为，，则， 即，解得，因为相邻零点，，所以。 5.利用对称性 函数的对称轴方程为，即。 若已知函数的两条对称轴和，则，， 两式相减得，进而可求出的值。 比如，已知函数的两条相邻对称轴分别为，，那么，即，可得，因为相邻对称轴，，所以。
1.(2025高三上四川德阳阶段练习)函数在上单调递减，则的最大值为( )
A． B． C． D．1
2.(2025高三上广西梧州阶段练习)函数的图象关于直线对称，则的取值可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3.(2025辽宁二模)已知函数在区间上单调，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
4.(2025·江西·模拟预测)定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；
②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 .
5.(2025·北京大兴·三模)已知函数()，，，且的最小值为，则 ， ．
题型9 由图象研究三角函数性质
1.由图象求解析式：由最值确定A，由周期确定，由特殊点确定. 2.求对称性： 对y＝Asin(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出x即得对称轴；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标； 对y＝Acos(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出x即得对称轴；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标； 对y＝Atan(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标；无对称轴。 3.单调性 对y＝Asin(ωx＋φ)：解即得增区间；解即得减区间； 对y＝Acos(ωx＋φ)：解即得增区间；解即得减区间； 对y＝Atan(ωx＋φ)：解即得增区间；无减区间； 4.最值 对，当ωx＋φ＝2kπ＋时有最大值A+m；当ωx＋φ＝2kπ＋时有最小值 -A+m； 对，当ωx＋φ＝2kπ时有最大值A+m；当ωx＋φ＝2kπ+π时有最小值 -A+m； 而无最值。
1.(2025·浙江·三模)如图是函数的图象，则的值为( )
A． B．1 C．2 D．3
2．(2025·河北秦皇岛·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则( )

A．当最小时， B．的图象关于直线对称
C．不等式解集为 D．若在上有三个零点，则
3．(2025·广西柳州·模拟预测)已知函数的部分图像如图所示，则( )
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为
4．(2025·山东泰安·模拟预测)函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是( )
A． B．当，函数的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若，且，则
题型10 三角函数有关的零点问题
结合图象来解三角函数的零点问题。 1.对于函数，令，，解出(x)，即，，这些(x)的值就是函数的零点。 2.对于函数，令，，解出(x)，即，，这些(x)的值就是函数的零点。 3.对于函数，令，，解出(x)，即，，这些(x)的值就是函数的零点。
1.(2025·山东·模拟预测)已知函数，，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在上的零点个数为 ．
2.(多选) (2024全国模拟预测)函数；
满足：，恒成立，且在上有且仅有2个零点，则( )
A．周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数的一条对称轴为 D．函数的对称中心为
3.(2025·北京顺义·一模)已知函数.
(1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围.
条件①：在上是单调函数；条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：对任意的，都有成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
题型11 三角函数图象综合
三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性． (1)对称性奇偶性 (若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数)； (2)对称性周期性 (相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为)； (3)对称性单调性 (在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)
1.(多选)(2025·安徽·模拟预测)已知函数的最大值为1，则( )
A． B．
C．在区间上单调递减 D．不等式的解集
2.(多选)(2024山西朔州一模)将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是( )
A．的最小正周期为 B．是的一个对称中心
C．的单调递增区间为 D．在上恰有3个零点
3.(多选)(2025·江西新余·模拟预测)下列关于函数的相关命题，叙述正确的有( )
A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为
C．的单调增区间为
D．若时，函数有两个不同零点，则
4．(多选)(2025·四川广安·模拟预测)已知实数满足，则下列命题正确的是( )
A．若时，则 B．若，，则是的减函数
C．若，，则是的周期函数 D．若，，则是的偶函数
5.(多选)(2025·吉林·三模)已知函数，则下列说法正确的是( )
A．的周期为 B．的图象关于对称
C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为
6．(多选)(2024·湖北襄阳·二模)已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是( )
A．为偶函数 B．不等式的解集为
C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则
7.(2024·浙江杭州·模拟预测)设，函数
(1)是否存在使得为奇函数，说明理由；(2)若方程有解，求的取值范围
题型12 三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
1．(2025·陕西榆林·模拟预测)交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度(安)随时间(秒)变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是( )
A．安 B．5安 C．安 D．安
2．(2024·浙江·一模)古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，( )

A． B． C． D．4
3．(2024·河南驻马店·二模)已知甲 乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是的图象，某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为，小红行走轨迹的点记为，且满足，函数，则的一个单调递减区间为( )
A． B． C． D．
4．(多选)(2025·河北廊坊·模拟预测)“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为(其中(单位)为港口水深，(单位)为时间，).若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是( )
时间 1 4 7 10 13 16 19 22
水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5
A． B．
C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时
5．(多选)(24-25高三上·湖北·开学考试)受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y(单位：米)与时间x(单位：时)的关系都符合函数(，，，).根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水(即船底到水面的距离)6米，计划于5月10日进港卸货(该船进港立即可以开始卸货)，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米(不计船停靠码头和驶离码头所需时间).下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7
以下选项正确的有( )
A．水深y(单位：米)与时间x(单位：时)的函数关系为，
B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
6．(多选)(2025·安徽池州·二模)某弹簧振子(简称振子)在完成一次简谐运动的过程中，时间(单位：秒)与位移(单位：毫米)之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是( )
A．当时间时，该简谐运动的位移 B．该简谐运动的初相为
C．该函数的一个极值点为 D．该函数在上单调递增
7．(多选)(2025·重庆·一模)声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反(即相位差为的奇数倍)的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有( )
A． B． C． D．
8．(多选)(2025·河南开封·二模)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，则下列说法正确的是( )
A．小球在开始振动(即)时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次
C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是
9．(2025·上海浦东新·三模)著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
10．(24-25高三上·贵州·阶段练习)如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．
(1)求的值和两点间的距离；(2)若，求折线段赛道的长度．中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 三角函数图象与性质
题型1 五点作图法
(1)图象的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)； (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
1.(2023·安徽合肥·模拟预测)用“五点法”画函数(，，)在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是( )
x
0
0 2 0 0
A． B．不等式的解集为
C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增
【答案】AC【难度】0.65【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、解正弦不等式【分析】根据表格数据求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一分析即可.
【解】由表可知，且，解得，所以，故A正确；
令，即，即，，解得，，
所以不等式的解集为，，故B错误；
又，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
由可得，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故D错误.故选：AC
2.(2024·云南曲靖·模拟预测)已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
【难度】0.65【知识点】五点法画正弦(型)函数的图象、求图象变化前(后)的解析式【分析】(1)由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数在上的图象；
(2)函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，由图象的平移变换得到的解析式，进而得到三角不等式，由正弦函数的图象和性质解得答案.
【解】(1)表格如下：
0
0
0 1 0
函数在上的图象如下：
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，
则，所以，即，
则，得，
所以不等式的解集为.
3.(2024·上海长宁·二模)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0 1 0
(1)请在答题卷上将上表处的数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
(2)设，求函数的值域；
【难度】0.65【知识点】辅助角公式、由图象确定正(余)弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、五点法画正弦(型)函数的图象
【分析】(1)由表得，解方程组即可得，进一步可据此完成表格；(2)由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.
【解】(1)由题意，解得，所以函数的解析式为，
令时，解得，当时，，
将表中处的数据补充完整如下表：
0
0 1 0 0
(2)若，
则，
因为，所以，进而，
所以函数的值域为.
4．(2024·上海·一模)(1)在用“五点法”作出函数的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
0
0
1
(2)设实数且，求证：；(可以使用公式：)
(3)证明：等式对任意实数恒成立的充要条件是
【难度】0.65【知识点】五点法画正弦(型)函数的图象、简单复合函数的导数、充要条件的证明
【分析】(1)根据给定条件，结合“五点法”作图完善表格.
(2)根据给定条件，利用复合函数求导法则计算即得.
(3)根据给定条件，利用恒等式成立的充要条件推理即得.
【解】(1)“五点法”作函数的图象的5个关键点的横坐标为，
所以表格如下：
0
0 0 1 0
1 0 1 2 1
(2)实数且，则，
因此，所以.
(3)
，
依题意，对任意实数恒成立，
因此，
所以等式对任意实数恒成立的充要条件是.
5．(2025·湖北武汉·三模)已知函数，
0
0 0 0
(1)若，(ⅰ)根据如上表格，直接写出的值；
(ⅱ)利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象；
(2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围.
【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、五点法画余弦(型)函数的图象
【分析】(1)(i)根据表格数据求；(ii)应用五点法画出函数图象；(2)由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得.
【解】(1)(ⅰ)由表格，，，；
(ⅱ)五点法画出函数图象如下，
(2)当时，，
当在取得最小值时，，解得，
当在取得最小值时，，解得，
当分别在取得最小值时，，解得，
综上：的取值范围为.
6．(23-24高一下·河南南阳·期中)已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
x 0
0 0
(3)当时，求的值域．
【难度】0.65【知识点】五点法画正弦(型)函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)【分析】(1)根据题意，结合的图象，得到最小正周期，求得，结合最高点为，求得的值，即可求解；(2)完善表格，结合描点、连线，即可求得函数在上的大致图象；(2)由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【解】(1)由的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，
可得函数最小正周期，所以，
又由一个最高点为，可得的，
因为，即，
可得，解得，
又因为，可得，所以．
(2)由(1)知，函数，完善表格如下：
x 0
1 2 0 0 1
则函数在上的大致图象如图：
(3)因为，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最大值为，
所以函数的值域为．
题型2 三角函数的图象变换
1.(2024·福建厦门·三模)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.85【知识点】辅助角公式、相位变换及解析式特征
【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【解】因为，所以.故选：A
2.(2024·全国·模拟预测)将函数的图象向右平移()个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、相位变换及解析式特征、三角恒等变换的化简问题【分析】利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解.
【解】因为，，
所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，则的最小值为，故选：B．
3.(23-24高三上·广东湛江·期末)已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D【难度】0.65【知识点】相位变换及解析式特征、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式【分析】先把，的解析式都化成或的形式，再用图象的平移解决问题.
【解】，
，
故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象.故选：D
4.(2023·全国·模拟预测)若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】相位变换及解析式特征、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质
【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可.
【解】由题可得的图象与函数的图象重合，
则，即，，
解得，，故的值可以为.故选：D．
5.(23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】相位变换及解析式特征、求图象变化前(后)的解析式
【分析】先根据条件变换得到，再根据列式计算求出的值.
【解】由已知得，
所以，解得，又，所以.故选：D.
6.(2024·河南·模拟预测)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】相位变换及解析式特征、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】首先利用平移规律求函数的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解的值.
【解】由题意可知，，
因为函数关于原点对称，所以，
则，,得，且，所以.故选：D
7．(2022·天津·一模)将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个奇函数的图象，则的一个可能取值为( )
A． B． C．0 D．
【答案】A【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、相位变换及解析式特征
【分析】首先求平移后的解析式，再根据函数的性质，求的一个可能取值.
【解】函数向左平移个单位后，得到函数，函数关于奇函数，
所以当时，，解得：，当时，.故选：A
8．(2024·陕西安康·模拟预测)将函数的图象向右平移φ个单位长度得到函数的图象，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.85【知识点】辅助角公式、求图象变化前(后)的解析式、描述正(余)弦型函数图象的变换过程、相位变换及解析式特征【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.
【解】因为，其中，
因为的图象向右平移φ个单位长度得到函数，
所以，所以.故选：A.
9．(2024·云南楚雄·一模)将函数()的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D【难度】0.65【知识点】结合三角函数图象变换研究性质、求图象变化前(后)的解析式、相位变换及解析式特征【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解.
【解】由题意可得，
∴，，解得，，
又，∴当时，取得最小值为5．故选：D.
10.(2024·云南·一模)为得到函数的图象，只需要将函数的图象( )
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】诱导公式一、相位变换及解析式特征
【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.
【解】A选项，向左平行移动个单位，有，A正确；
B选项，向左平行移动个单位，有，B错误；
C选项，向右平行移动个单位，有，
，C正确；
D选项，向右平行移动个单位，有，
，D正确；故选：ACD
11.(2025·上海浦东新·模拟预测)把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 .
【答案】【难度】0.85【知识点】求图象变化前(后)的解析式、周期变换及解析式特征、相位变换及解析式特征【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.
【解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，可得，
再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得，
即；故答案为：
题型3 三角函数的奇偶性
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： (1)若为奇函数，则； (2)若为偶函数，则； (3)若为奇函数，则； (4)若为偶函数，则； (5)若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数
1．(2025·全国·二模)函数是上的偶函数，则( )
A．0 B． C． D．
【答案】D【难度】0.94【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可.
【解】是上的偶函数，即关于对称，则，
则，则，解得.
，则.故选：D.
2．(2024·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( )
A． B． C． D．2
【答案】B【难度】0.85【知识点】辅助角公式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数、特殊角的三角函数值
【分析】利用辅助角公式得到，，从而得到的表达式，根据函数为偶函数得到方程，求出，求出答案.
【解】，其中，，
为偶函数，故，解得，则.故选：B
3．(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.65【知识点】辅助角公式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可.
【解】因为函数为奇函数，即，且函数的定义域为，
所以，，可得，解得，
所以，，则为奇函数，合乎题意.
因此，.故选：A.
4．(2024·浙江杭州·一模)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、由正弦(型)函数的奇偶性求参数、求图象变化前(后)的解析式【分析】由三角函数的奇偶性，分别验证命题的充分性以及必要性，即可得到结果.
【解】由题意可得，由是偶函数可得，
且，当时，，当时，，
所以由是偶函数可得或，故充分性不满足；
当时，可得为偶函数，故必要性满足；
所以"是偶函数"是""的必要不充分条件.故选：B
5．(2024·贵州铜仁·模拟预测)将函数的图象向右平移，个单位长度后，所得函数为偶函数，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】求图象变化前(后)的解析式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得.
【解】函数的图象向右平移，得到，
由于偶函数，所以，
由于，所以取，得.故选：D
6．(2025·四川广安·模拟预测)已知函数为偶函数，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，
可得，或，结合即可求解.
【解】函数为偶函数，需满足.将函数化简：.
由偶函数性质得：即
利用正弦函数的性质，可得：(舍去，因为不恒成立)，
或；解得：，即；
结合，得.故选：B.
7．(2025·云南红河·模拟预测)将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】求图象变化前(后)的解析式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数
【分析】首先根据变换规律得到图象变换后的函数解析式，再结合偶函数的特征，列式求解.
【解】将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，得
然后再向左平移个单位长度后，得，
又因为的图象关于轴对称，所以，
所以，当时，.故选：B.
8．(2025·湖北·模拟预测)已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则满足条件且最小的的值为( )
A．3 B． C．15 D．2
【答案】A【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、求图象变化前(后)的解析式
【分析】根据平移得出偶函数计算求得，再计算得出最小值求参.
【解】由题设，函数为偶函数，
所以，得，要最小，取，得，故选：A.
9．(2025·四川德阳·三模)已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，若是奇函数，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质【分析】根据函数图象的平移，得到，再由是奇函数，得到，再根据，即可求值.
【解】由题意知，
因为是奇函数，则，所以，
因为，所以.故选：C
10.(2024·辽宁·模拟预测)将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
【答案】/【难度】0.65【知识点】由余弦(型)函数的奇偶性求参数、相位变换及解析式特征、三角恒等变换的化简问题【分析】根据题意可得，并图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，可得，从而结合题意可得的最小值.
【解】，
图像向右平移个单位长度后得到是偶函数，
，的最小值为.故答案为：.
11．(2024·内蒙古赤峰·三模)将函数的图象向左平移个单位后， 所得图象关于y轴对称，则实数 m的值为 .
【答案】/【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、求图象变化前(后)的解析式、辅助角公式【分析】运用辅助角公式化简函数的表达式为正弦型函数，再利用正弦型函数的奇偶性和图象变换的性质进行求解即可.
【解】，将函数的图象向左平移个单位后，
解析为，而的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，因此有，
因为，所以，即，故答案为：
12．(2025·四川绵阳·模拟预测)若函数为奇函数，则 ．
【答案】【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质列式求解.
【解】依题意，，其中锐角由确定，
由为奇函数，得，即，
所以.故答案为：
13．(2025·甘肃白银·模拟预测)函数是偶函数，则的最小正值为 ．
【答案】/【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的奇偶性求参数【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值.
【解】由于是偶函数，所以，，
故，，所以当时，取最小正值，最小正值为．故答案为：.
题型4 三角函数的单调性
将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调性转化为解一元一次不等式． (1)函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． (2)函数与的单调性相反. (3)对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
1．(2025·天津·二模)已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是( )
A． B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
【答案】D【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、求图象变化前(后)的解析式【分析】由题意先求，再逐项验证即可.
【解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴，
所以，
又在上单调递增，所以，
所以当时，，故A正确；所以，
由为奇函数，故B正确；
由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，
令，解得，，故C正确；
由，所以，当，即时，故D错误；故选：D.
2．(2025·山西·三模)已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】利用函数图象的特征，可得，，求解即可.
【解】原函数为，相当于把位于轴下方的图象翻折到上方，
则有，，
当时，.故选：D．
3．(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知函数，在区间上单调递增，在上单调递减，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数
【分析】根据题设有，进而求得、，再求函数值.
【解】由题设或，，所以或，则(舍)或，
所以，，又，则，所以，故.
故选：A
4．(2025·山东·二模)已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】求函数值、利用正弦型函数单调性、正弦函数对称性求参数
【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出，进而求出函数值.
【解】由函数在上单调递增，得，
解得，由的图象关于点对称，得，
解得，于是，，
所以.故选：C
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.4【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案.
【解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增，
所以，解得，所以.
令，则当时，.
因为在区间上单调递增且存在零点，
所以，解得，
又，时，得，时，得，其他值，均不合要求，
所以或，所以的取值范围是.故选：C
6．(2025·甘肃白银·三模)将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前(后)的解析式
【分析】利用三角函数图像变换，得到函数解析式，然后利用三角函数的性质直接求解即可.
【解】将已知函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
则可得，则.
设函数的最小正周期为，则，
所以，由，得，
因为，，
所以根据单调性可得且，解得，则的取值范围是.故选：B
7．(2025·天津河北·二模)已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.4【知识点】求图象变化前(后)的解析式、利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数【分析】根据已知的一条对称轴为，一个对称中心为，结合已知区间的单调性得到，进而求得、，根据图象变换得，由单调性列不等式求参数范围即可得.
【解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为，
又在上单调递减，则，故，可得，
所以，可得，，则，
所以，则，
又在区间上单调递增，则，
所以，显然，故t的最大值为.故选：C
8．(2025·内蒙古包头·二模)已知在上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】先根据题意求出，再根据求出，
再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围.
【解】由题意可知，则，
因，则，则，，
因在上单调递增，结合正弦函数图象性质可得，解得，
故的取值范围是.故选：B

9．(2025·四川泸州·模拟预测)已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为( )
A． B．1 C． D．2
【答案】A【难度】0.85【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数
【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性可得，得到，进而得到答案.
【解】将代入，得，
所以，得．
因为函数在上为增函数，此时，
所以，解得，所以当时，，故选：A.
10．(2025·贵州·模拟预测)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数【分析】先求在上的单增区间，结合题意，可得关于与的不等式组，分，，三种情况得出的取值范围.
【解】令，则，
因在区间上单调递增，则，即且且，
若，则不等式组的解集为空集；若，则；若，则不等式组的解集为空集，
则的最大值为.故选：C
11.(2025·湖北武汉·模拟预测)若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解.
【解】当时，，依题意，，解得，
所以的取值范围为.故答案为：
12．(2025·陕西汉中·二模)已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数【分析】根据正弦函数的单调性求出的单调递增区间，然后列不等式，按照、、分类讨论求解.
【解】令，则，
因在区间上单调递增，则，即且且，
若，则不等式组的解集为空集；若，则；若，则不等式组的解集为空集，
则的最大值为.故答案为：
13．(2025·山东·模拟预测)已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、利用正弦型函数的单调性求参数、正弦函数图象的应用【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
【解】
，
由，可得，则或
由可得，
由恰有5个根，可得，解得.
由，得，即函数在上单调递增，
所以，，
即，且，解得.
所以，实数的取值范围为.故答案为：.
14．(2025·湖南郴州·三模)已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】【难度】0.85【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】求得的单调递增区间，根据题目要求求得的取值范围.
【解】由解得，，令，得，
依题意，在区间上单调递增，则实数的取值范围为.故答案为：
题型5 三角函数的周期性
关于三角函数周期的几个重要结论： (1)函数的周期分别为T＝，T＝． (2)函数，的周期均为T＝ (3)函数的周期均T＝．
1.(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( )
A． B． C． D．
【答案】D【解】利用周期公式可得．
2.(2025·浙江温州·三模)已知函数，则存在实数，使得( )
A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的最大值为0
【答案】AC【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、辅助角公式【分析】取，可验证AC的真假；假设函数为偶函数，根据偶函数的性质，判断B的真假；结合二倍角公式和辅助角公式，求函数的最大值，判断D的真假.
【解】当时，，为奇函数，且，故AC正确；
若为偶函数，则，恒成立，矛盾，故B错误；
因为，所以，无解，故D错误．
故选：AC
3．(2025·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为；
④在区间上单调递增.
其中真命题的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【难度】0.65【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题.
【解】设，，
则，
函数的图象如下所示：
对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确；
对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确；
对于③，，由图知，函数的值域为，③错误；
对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误.
所以真命题的个数为2个.故选：B
4.(2025·湖北武汉·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称
【答案】ABC【难度】0.85【知识点】求sinx的函数的单调性、求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求图象变化前(后)的解析式【分析】由周期公式可判断A，通过代入可判断B，通过整体代入可判断C，通过平移结合诱导公式可判断D.
【解】对于A，由周期公式可得最小正周期为，A正确，
对于B，由，则，由正弦函数的单调性可知在区间上单调递增，B正确；
对于C，当时，，C正确；
对于D，图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到，显然图像关于轴不对称，D错误，故选：ABC
5．(2025·四川成都·三模)已知函数，则( )
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．曲线关于直线对称 D．在上单调递减
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】判断或证明函数的对称性、求sinx的函数的单调性、求正弦(型)函数的最小正周期、二倍角的余弦公式【分析】利用周期函数的定义判断A；利用奇函数定义判断B；利用对称性定义判断C；由复合函数的单调性即可判断D.
【解】对于A，设(是不为0的常数)是的周期，则对于，有，
可得，即，解得或.
由，可得，
若，因，即不是的周期，
又由，得，
若，因，故不是的周期，
同理不是的周期，
又因，因此函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，，函数不是奇函数，B错误；
对于C，，
即曲线关于直线对称，C正确；
对于D，，
函数在上单调递增，且，
函数在上单调递减，
因此在上单调递减，D正确.故选：ACD
6.(2025·河南·三模)函数的最小正周期为 ．
【答案】【难度】0.85【知识点】求正弦(型)函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题
【分析】由诱导公式、二倍角公式化简函数表达式，结合周期公式即可求解.
【解】的定义域为，
，
所以的最小正周期．故答案为：.
题型6 三角函数的对称性
关于三角函数对称的几个重要结论； (1)函数的对称轴为，对称中心为； (2)函数的对称轴为，对称中心为； (3)函数函数无对称轴，对称中心为； (4)求函数的对称轴的方法；令，得； 对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为. (5)求函数的对称轴的方法； 令得，即对称中心为
1．(2025·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( )
A．1 B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦(型)函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可.
【解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以.
因为是函数图像的对称轴，所以，
解得，又因为，所以.
所以，则.故选：B.
2．(2025·河北秦皇岛·一模)已知函数，若在区间上单调，则( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求函数值
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调区间列出不等式求出，进而求出函数值.
【解】当时，，，
由在区间上单调，则，
于是，解得，
由，得，因此或，
又，则，，所以.故选：C
3．(2025·福建漳州·一模)已知，若在区间上不单调，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】结合函数图像，根据函数单调性，分析和的取值范围，最后解不等式组即可.
【解】画出函数的部分图象如图所示，
因为，所以
因为在区间上不单调，所以解得故选：B.
4．(2025·河北·模拟预测)已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、点与圆的位置关系求参数、根据极值点求参数【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围.
【解】由已知在处取得最小值，，，
解得，
∵函数在上单调递减，，即，，
当时，，，符合条件，.
由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，
的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，
小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即，故选：B.
5．(2025高三·全国·专题练习)已知函数，其最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，的图象关于点对称，则当时，的最大值为( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、求图象变化前(后)的解析式、利用正弦函数的对称性求参数【分析】根据正弦函数的图象与性质以及三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数性质计算即可求解.
【解】由题意可得，，,所以，所以．
将的图象向左平移个单位长度得的图象，则．
因为的图象关于点对称，所以，解得．
又，当时，，所以．
当时，，
根据正弦函数性质，在上单调递增，在上单调递减，
所以当，即时，取得最大值2.故选：B．
题型7 三角函数的定义域、值域
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理． (1)，设，化为一次函数在上的最值求解． (2)，引入辅助角，化为，求解方法同类型(1) (3)，设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型． (4)，设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解． (5)与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围． (6)导数法
1．(2025·安徽芜湖·模拟预测)已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D【难度】0.85【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数
【分析】根据题意得到或，计算得到答案.
【解】由题意，函数，既有最小值也有最大值，
①当函数最值取得1，最小值为时，结合函数图象可得，即；
②当取得最大值为，最小值为－1时，结合函数图象可得，解得，
综上所述，实数的取值范围为或．故选：D.
2．(2025·山东青岛·模拟预测)已知函数，，且，则当时，的值域为( )
A． B． C． D．
【答案】C【难度】0.65【知识点】和差化积公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值【分析】由题及积化和差公式可得，然后由，
可得，最后由正弦函数单调性可得值域.
【解】，
由和差化积公式可得：.
因，则，因，则，
则，又，则.
则.注意到时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
则，即的值域为.故选：C
3．(2025·内蒙古呼和浩特·二模)已知函数，则下列结论正确的是( )
A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称
C．若函数在上单调递增，则的取值范围为
D．若，则的最小正周期为
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题【分析】通过三角恒等变换将化为，根据正弦函数的性质依次判断各个选项的正误即可.
【解】，
对于A，值域，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，在上单调递增，所以，解得，所以.故C正确；
对于D，因为的最小正周期都是，
所以的最小正周期为，故D正确.故选：ACD.
4.(2025·四川巴中·二模)已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 .
【答案】【难度】0.65【知识点】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数
【分析】由得的范围，因此在这个范围内，从而可得的范围.
【解】由题意，在区间上的最小值为，
当时，；
当时，.
则的取值范围为或.故答案为：.
题型8 三角函数中的求解
1.对于函数或，其周期公式为。 若题目直接给出函数的周期(T)的值，可通过该公式直接求解。 2.已知单调性求及范围 (1)已知函数在某区间([a,b])上单调递增， 则在[a,b]上恒成立； (2)已知函数在某区间([a,b])上单调递减， 则在[a,b]上恒成立。 (3)已知函数的单调递增区间为([m,n])，给定区间。 单调递增区间，解出(x)的范围为。 若，则，通过解这两个不等式组可得到的取值范围。 4.利用函数零点 (1)对于函数，其零点满足，即。 (2)若已知函数的两个零点和，那么，， 两式相减得，则。 例如，已知两个相邻零点为，，则， 即，解得，因为相邻零点，，所以。 5.利用对称性 函数的对称轴方程为，即。 若已知函数的两条对称轴和，则，， 两式相减得，进而可求出的值。 比如，已知函数的两条相邻对称轴分别为，，那么，即，可得，因为相邻对称轴，，所以。
1.(2025高三上四川德阳阶段练习)函数在上单调递减，则的最大值为( )
A． B． C． D．1
【答案】B【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围.
【解】令，故，
所以函数的减区间为，
因为在上为减函数，故存在，使得，因为，
所以，所以，故，则的最大值为.故选：B.
2.(2025高三上广西梧州阶段练习)函数的图象关于直线对称，则的取值可能是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C【分析】依题意可知取最值，由此列出不等式求解即可.
【解】，由题意可得，
解得，当时，.故选：C
3.(2025辽宁二模)已知函数在区间上单调，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可.
【解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调，
所以，则，解得，
当时，，且，，
所以，解得，结合，得的取值范围为．故选：D．
4.(2025·江西·模拟预测)定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得；
②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 .
【答案】【难度】0.4【知识点】利用正弦函数的对称性求参数
【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出
【解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值，
而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，
因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，
所以，解得，所以.不妨设，如图所示：

依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且，
若对应为点(或点之后)，则，即，不合题意；
若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大，
若对应为点，则直线为图象的对称轴，
又是函数图象的一个对称中心，且，
则，解得，则.所以取值的最大值为.故答案为：.
5.(2025·北京大兴·三模)已知函数()，，，且的最小值为，则 ， ．
【答案】/1.5；【难度】0.65【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正弦(型)函数的周期性求值
【分析】根据两角和的正弦公式化简，求出，根据零点与极值点求出周期得出.
【解】，
所以，因为，，且的最小值为，
所以，即，解得.故答案为：；
题型9 由图象研究三角函数性质
1.由图象求解析式：由最值确定A，由周期确定，由特殊点确定. 2.求对称性： 对y＝Asin(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出x即得对称轴；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标； 对y＝Acos(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出x即得对称轴；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标； 对y＝Atan(ωx＋φ)：由ωx＋φ＝(k∈Z)解出x即得对称中心的横坐标；无对称轴。 3.单调性 对y＝Asin(ωx＋φ)：解即得增区间；解即得减区间； 对y＝Acos(ωx＋φ)：解即得增区间；解即得减区间； 对y＝Atan(ωx＋φ)：解即得增区间；无减区间； 4.最值 对，当ωx＋φ＝2kπ＋时有最大值A+m；当ωx＋φ＝2kπ＋时有最小值 -A+m； 对，当ωx＋φ＝2kπ时有最大值A+m；当ωx＋φ＝2kπ+π时有最小值 -A+m； 而无最值。
1.(2025·浙江·三模)如图是函数的图象，则的值为( )
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C【难度】0.94【知识点】由正弦(型)函数的周期性求值、利用正弦函数的对称性求参数
【分析】由对称性可知到间隔半个周期即可求解.
【解】由三角函数对称性可得，因此，故选：C.
2．(2025·河北秦皇岛·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则( )

A．当最小时， B．的图象关于直线对称
C．不等式解集为 D．若在上有三个零点，则
【答案】BCD【难度】0.65【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的定义域、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】对于选项，根据图象求出周期，再根据周期公式求出，再根据图像中的点将代入解析式，即可求得求得的表达式，同时可求出的解析式；选项，令，可求得的对称轴；选项，求，结合正弦函数的性质可得；选项，求出零点的表达式，将大于0的零点依次写出即可.
【解】对于选项，由图象可知： ，即，根据周期的公式可得，
因为，所以可得，将代入解析式，可得：，
即，得到，所以当最小时，，所以选项错误；
对于选项，，所以的对称轴方程为，
即，当时，，所以的图象关于直线对称，所以选项正确；
对于选项,由可得，即，解不等式可得：，所以不等式的解集为，所以选项正确；
对于选项，令，所以，解得，
的零点可以依次为：，，，，若在上有三个零点，
所以在上的三个零点为：，，， 所以，所以选项正确.
故选：
3．(2025·广西柳州·模拟预测)已知函数的部分图像如图所示，则( )
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D.
【解】由图象知 ， 解得 ，A正确；
将代入中得，则 ，
因为 ，B错误；
将代入中得，直线是的一条对称轴，C正确；
因为，所以，即，D正确，
故选：ACD.
4．(2025·山东泰安·模拟预测)函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是( )
A． B．当，函数的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若，且，则
【答案】ABD【难度】0.85【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正(余)弦型函数解析式、求图象变化前(后)的解析式、二倍角的余弦公式【分析】根据三角函数图象结合周期，特殊值得出函数解析式，再结合值域奇偶性及诱导公式判断各个选项即可.
【解】对于选项A，由于的高为，则，所以函数的周期，即，所以.又图象过点，结合五点作图法可知，
所以，所以，故A正确.
对于选项B，当，，所以函数的值域为，故B正确.
对于选项C，将函数的图象向右平移个单位长度后得到是一个奇函数，故C错误.
对于选项D，因为，，
由，所以，
故 ，故D正确.故选：ABD．
题型10 三角函数有关的零点问题
结合图象来解三角函数的零点问题。 1.对于函数，令，，解出(x)，即，，这些(x)的值就是函数的零点。 2.对于函数，令，，解出(x)，即，，这些(x)的值就是函数的零点。 3.对于函数，令，，解出(x)，即，，这些(x)的值就是函数的零点。
1.(2025·山东·模拟预测)已知函数，，当时，取得最值，且当时，单调递增，则在上的零点个数为 ．
【答案】4【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、求函数零点或方程根的个数【分析】根据性质得到时，取得最小值，且，结合，得到方程组，求出，，从而，故或0或或，求出零点，得到零点个数.
【解】当时，取得最值，且当时，单调递增，故当时，取得最小值，
设的最小正周期为，则，解得，故，解得，
又，故，
又，；所以，①，，②
联立①②得，，故，，则，
故或0或或，解得或或或，
故在上的零点个数为4.故答案为：4
2.(多选) (2024全国模拟预测)函数；
满足：，恒成立，且在上有且仅有2个零点，则( )
A．周期为 B．函数在区间上单调递增
C．函数的一条对称轴为 D．函数的对称中心为
【答案】BCD【分析】由可得的最大值为，则得，再由在上有且仅有2个零点，可得，再结合的范围可出的值，从而可求出的解析式，然后逐个分析判断即可.
【解】因为，恒成立，所以的最大值为，
所以，即，当时，，
因为在上有且仅有2个零点，所以，
所以，即，得，所以，
因为，所以，所以，
对于A，的周期为，若，则，所以A错误，
对于B，由，得，
所以的递增区间为，
当时，的递增区间为，而是的真子集，
所以函数在区间上单调递增，所以B正确，
对于C，令，则，所以的对称轴为，
当时，的一条对称轴为，所以C正确，
对于D，由，得，
所以函数的对称中心为，所以D正确，故选：BCD.
3.(2025·北京顺义·一模)已知函数.
(1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定.当在区间上仅有一个零点时，求的取值范围.
条件①：在上是单调函数；条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：对任意的，都有成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【难度】0.4【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、三角恒等变换的化简问题【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解；(2)关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制求出的取值范围；关于条件②求出函数对称中心表达式，将代入，确定的取值；关于条件③根据已知条件确定，从而确定的取值；再从选条件①②、①③、②③三种情况分别确定的值，再利用函数的性质即可求解.
【解】(1)因为，
所以，
所以.
(2)对于条件①：在上是单调函数，所以，所以，
又因为，解得，
因为，解得，
所以函数的单调单调递增区间为：，
若函数在上单调递增，则，整理有，
当时，，解得，
当时，无解，得其他值时不等式无解；
因为，解得，
所以函数的单调单调递减区间为：，
若函数在上单调递减，则，整理有，
当时，，解得，
当时，无解，得其他值时不等式无解；
对于条件②：图象的一个对称中心为，
因为，解得，
所以函数的对称中心为，
若是图象的一个对称中心，则，解得；
对于条件③：对任意的，都有成立，
则时，函数取得最大值，有，解得；
若选条件①②，则有，方程无解，
或，时，，
所以，因为，所以，
因为在区间上仅有一个零点，
所以，，解得；
若选条件①③，则有有，方程无解，
或，时，，
所以，因为，所以，
因为在区间上仅有一个零点，
所以，，解得；
若选条件②③，则有，
即，方程解不唯一，
此时取值不唯一，所以函数不唯一，不合要求.
题型11 三角函数图象综合
三角函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性． (1)对称性奇偶性 (若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数)； (2)对称性周期性 (相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为)； (3)对称性单调性 (在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)
1.(多选)(2025·安徽·模拟预测)已知函数的最大值为1，则( )
A． B．
C．在区间上单调递减 D．不等式的解集
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】解正弦不等式、由正弦(型)函数的值域(最值)求参数、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用三角恒等变换将转化为正弦型三角函数，根据正弦函数的单调性、对称性、三角不等式即可得逐项判断得结论.
【解】
所以函数，则，故A正确；
所以，，，
所以，故B错误，
当，，又正弦函数在单调递减，
由复合函数单调性可知：在区间上单调递减，C正确；
，可得，
即，即，D正确，故选：ACD
2.(多选)(2024山西朔州一模)将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是( )
A．的最小正周期为 B．是的一个对称中心
C．的单调递增区间为 D．在上恰有3个零点
【答案】AC【分析】先求出，再逐项计算后可得正确的选项.
【解】对于A，由题设可得，故其最小正周期为，故A正确.
对于B，，故不是的一个对称中心，故B错误.
对于C，令，解得，
故的单调递增区间为，故C正确.
对于D， 由可得，
而时，，故即或，故D错误.故选：AC.
3.(多选)(2025·江西新余·模拟预测)下列关于函数的相关命题，叙述正确的有( )
A．的最小正周期为 B．的一条对称轴为
C．的单调增区间为
D．若时，函数有两个不同零点，则
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性
【分析】根据三角恒等变换化简得，利用最小正周期公式求解判断A，根据正弦函数对称性求对称轴判断B，根据正弦函数单调性求解单调区间判断C，将问题转化为曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，画出函数图象数形结合即可求解判断D.
【解】由于
，
故最小正周期，故A正确；
令，解得，令得，
所以直线不是函数图像的对称轴，故B错误；
令，所以，
所以函数的单调递增区间为，故C正确；
若有两个不同的零点，即曲线与直线在区间上有且仅有两个交点，
由，得，设，则，作出函数图象如图所示，
由图可知：，故D正确.故选：ACD.
4．(多选)(2025·四川广安·模拟预测)已知实数满足，则下列命题正确的是( )
A．若时，则 B．若，，则是的减函数
C．若，，则是的周期函数 D．若，，则是的偶函数
【答案】BC【难度】0.4【知识点】诱导公式五、六、求cosx型三角函数的单调性、求含cosx的函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性【分析】对于A，根据的大小得到，即可得到的大小；对于B，利用已知条件得到关于的函数解析式，结合复合函数同增异减的原则判断即可；对于C，根据得到关于的函数解析式，结合余弦函数的周期判断即可；对于D，利用这一特例说明一个对应两个的值，即可判断.
【解】对于A，当时，，
可得或，故A错误；
对于B，若，，则由可得，
根据在上为减函数，在上是增函数，
可知在上为减函数，故B正确；
对于C，因为，，，
所以，其中，
所以，即，
结合余弦函数的周期为，可知是的周期函数，故C正确；
对于D，若，，，
则当时，，可得或，一个对应两个的值，
所以不是关于的函数，故D错误.故选：BC.
5.(多选)(2025·吉林·三模)已知函数，则下列说法正确的是( )
A．的周期为 B．的图象关于对称
C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为
【答案】ABD【难度】0.65【知识点】求函数零点或方程根的个数、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求正弦(型)函数的最小正周期、利用正弦型函数的单调性求参数【分析】对于A，根据周期函数的定义判断即可；对于B，通过计算判断方程是否成立即可；对于C，根据的函数解析式以及函数图象即可判断；对于D，根据的图象和单调性可求的最大值.
【解】①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
因此，，.
所以函数的图象，如图所示：
A选项：因为，
所以的周期为，故A正确；
B选项：因为
，
所以的图象关于对称，故B正确；
C选项：由的函数解析式以及函数图像可知：
当时，，当时，，当时，，
所以在上有无数个零点，故C错误；
D选项：由，，得，
因为在上单调递增，所以由的图象可知，
解得，则的最大值为，故D正确；故选：ABD.
6．(多选)(2024·湖北襄阳·二模)已知函数，将函数的图像横坐标缩短为原来的倍，再向左平移单位，得到函数.则下列结论中正确的是( )
A．为偶函数 B．不等式的解集为
C．在上单调递增 D．函数在的零点为且，则
【答案】BD【难度】0.85【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前(后)的解析式、解正弦不等式、三角函数的化简、求值——诱导公式
【分析】由三角恒等变换化简解析式，由解析式判断的奇偶性得A选项结果；由函数图像变换得函数解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选项BCD.
【解】，
，为奇函数，A选项错误；
函数的图像横坐标缩短为原来的倍，得函数的图像，
再向左平移单位，得到函数的图像，
若，即，
则有，解得，B选项正确；
时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
时，有，函数在的零点为，
则有，，，所以，D选项正确.故选：BD
7.(2024·浙江杭州·模拟预测)设，函数
(1)是否存在使得为奇函数，说明理由；(2)若方程有解，求的取值范围
【难度】0.65【知识点】辅助角公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、由正弦(型)函数的奇偶性求参数、函数与方程的综合应用【分析】(1)由奇函数可得，得出，代入化简可得，可得结果；(2)代入结合两角和与差的正弦公式化简可得，结合三角函数的有界性以及辅助角公式可得，解出即可.
【解】(1)若存在使得为奇函数，则有必要条件，
代入解得，即，
由于，
，满足要求
因此存在，使得为奇函数．
(2)方程有解，
即有解，
化简得，
注意到，
因而，
即，平方得，解得
题型12 三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
1．(2025·陕西榆林·模拟预测)交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度(安)随时间(秒)变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是( )
A．安 B．5安 C．安 D．安
【答案】D【难度】0.85【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、三角函数在物理学中的应用
【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度.
【解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得.
由周期得，再将点代入，得，
所以.因为，所以时， ，
所以.将代入得，.故选：D.
2．(2024·浙江·一模)古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，( )

A． B． C． D．4
【答案】A【难度】0.85【知识点】三角函数在生活中的应用【分析】由点坐标求得半径，再由周期是60秒，经过45秒，就是旋转了个周期，由计算出图中(小于平角的那个)，然后由勾股定理计算．
【解】由已知，， 经过45秒后，即旋转了个周期，
因此，如图，所以，故选：A．

3．(2024·河南驻马店·二模)已知甲 乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是的图象，某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为，小红行走轨迹的点记为，且满足，函数，则的一个单调递减区间为( )
A． B． C． D．
【答案】A【难度】0.65【知识点】求cosx型三角函数的单调性、三角函数在生活中的应用、二倍角的余弦公式【分析】依题意可得，，即可表示出，再换元，结合二次函数的性质计算可得.
【解】依题意可得，，且，解得，
所以，
令，则，因为在区间内单调递减，在区间内单调递增，
又在上单调递减且，在上单调递减且，
在上单调递增且，在上单调递增且，
所以在区间，内单调递减.故选：A
4．(多选)(2025·河北廊坊·模拟预测)“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为(其中(单位)为港口水深，(单位)为时间，).若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是( )
时间 1 4 7 10 13 16 19 22
水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5
A． B．
C．该轮船9点可以进出港口 D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时
【答案】BC【难度】0.65【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用【分析】根据表中数据求出可判断A B C；求出时，轮船从0点到12点在港口可停留的时间，结合的单调性可判断时停留的时间比时停留的时间长可判断D.
【解】对于A，由表格数据可得，故A错误；
对于B，由数据得，解得，，所以，因为点在函数图象上，
所以，即，又因为，所以，故B正确；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，由，得，由得，
即，当时，，，因为
得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误.故选：BC.
5．(多选)(24-25高三上·湖北·开学考试)受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y(单位：米)与时间x(单位：时)的关系都符合函数(，，，).根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水(即船底到水面的距离)6米，计划于5月10日进港卸货(该船进港立即可以开始卸货)，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米(不计船停靠码头和驶离码头所需时间).下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7
以下选项正确的有( )
A．水深y(单位：米)与时间x(单位：时)的函数关系为，
B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
【答案】ABD【难度】0.65【知识点】由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)、三角函数在生活中的应用【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组，即可判断B；求出19时水的深度，即可判断C；求出函数与的图象的交点，即可判断D.
【解】解：依题意，，，解得，
显然函数的图象过点，即，
又，因此，所以函数表达式为，，故A对；
依题意，，整理得，即有，
即,解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对；
该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为，故C错；
该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，
该船符合安全条例的最小水深为
函数与的图象交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对.
故选：ABD.
6．(多选)(2025·安徽池州·二模)某弹簧振子(简称振子)在完成一次简谐运动的过程中，时间(单位：秒)与位移(单位：毫米)之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是( )
A．当时间时，该简谐运动的位移 B．该简谐运动的初相为
C．该函数的一个极值点为 D．该函数在上单调递增
【答案】ABD【难度】0.65【知识点】三角函数在生活中的应用、三角函数在物理学中的应用、求sinx型三角函数的单调性、函数极值点的辨析【分析】本题可根据三角函数初相的概念、极值点的判断以及单调性的相关性质，分别对选项中的内容进行分析判断.
【解】当时，将其代入函数中，可得：
则.所以选项A正确.
在函数中，，所以该简谐运动的初相为，选项B正确.
对函数求导，可得.
当时，.
因为极值点处导数为，所以不是该函数的极值点，选项C错误.
令，，解这个不等式求函数的单调递增区间.得到，.
当时，递增区间为，而，所以该函数在上递增，选项D正确. 故选：ABD.
7．(多选)(2025·重庆·一模)声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反(即相位差为的奇数倍)的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有( )
A． B． C． D．
【答案】AB【难度】0.65【知识点】三角函数在物理学中的应用、诱导公式五、六、诱导公式二、三、四
【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型.
【解】由题意知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，，
或，，AB选项满足题意，
故选：AB.
8．(多选)(2025·河南开封·二模)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，则下列说法正确的是( )
A．小球在开始振动(即)时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次
C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是
【答案】ACD【难度】0.65【知识点】三角函数在物理学中的应用【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D.
【解】当时，，故A正确；
小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误；
因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
由，又，，
所以小球从到时运动的路程是，故D正确.故选：ACD.
9．(2025·上海浦东新·三模)著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
【答案】12【难度】0.65【知识点】三角函数在物理学中的应用、三角恒等变换、三角函数新定义
【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的.
【解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，,，
两式相加得：，，
又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解；
经检验：的值为和；所以正整数的所有可能取值之和为.故答案为：.
10．(24-25高三上·贵州·阶段练习)如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．
(1)求的值和两点间的距离；(2)若，求折线段赛道的长度．
【难度】0.65【知识点】由图象确定正(余)弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用、余弦定理解三角形
【分析】(1)根据图形可得及周期，根据周期即可求出，再求出点的坐标，进而可得出答案；
(2)在中，利用余弦定理求出，即可得解.
【解】(1)由题可得，，
当时，，即，又，(千米)；
(2)在中，设，则，
，
，，，
(千米)，
折线段赛道的长度为千米.

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