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专题02 三角函数的图象与性质综合
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】三角函数的图象与性质 【知能解读02】函数 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】三角函数的图象 【重难点突破02】根据三角函数图象求解析式 【重难点突破03】三角函数的周期性 【重难点突破04】三角函数的单调性 【重难点突破05】三角函数的最值与值域 【重难点突破06】三角函数的零点问题 【重难点突破07】三角函数的极值点问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】利用图象求三角函数解析式时选点不当 【易混易错02】函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢 【易混易错03】单调性概念理解不准确 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】＂w＂的求解 【方法技巧02】整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【方法技巧03】代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心 【方法技巧04】图像法求三角函数最值或值域 【方法技巧05】换元法求三角函数最值或值域 【方法技巧06】利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值 【方法技巧07】五点法求三角函数解析式 【方法技巧08】利用图像平移求函数解析式或参数值
01 三角函数的图象与性质
1.正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线
由诱导公式一可知，函数且的图象与的图象形状完全一致．因此将函数的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数的图象（如图）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条＂波浪起伏＂的连续光滑曲线．
1．作正弦函数的图象时，自变量的取值要用弧度制，以保证自变量的取值与函数值都为实数。
2．不能说函数 ， 的图象就是正弦曲线，它是正弦曲线的一部分．
2.五点法作正弦函数的图像
在精确度要求不高时,常常先找出五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0).再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图
1．关键的五个点可以分为两类记忆：
1）图象与 轴的交点： ， ;
2）图象的最高点 和最低点 ．
2．五个关键点最后要用平滑的曲线连接，而不能用折线连接。
3．被这五个点分隔的区间上函数值变化情况，在 附近函数值增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在 附近，函数值变化慢一些，曲线变得＂平缓＂．
【真题实战1】（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【知识点】五点法画余弦（型）函数的图象
【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.
【详解】与在上的函数图象如图所示，
由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.
故选：B.
【真题实战2】（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数图象的应用、对数函数图象的应用、五点法画正弦（型）函数的图象
【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数.
【详解】
通过五点法作出周期函数的图象，
再通过两点法作出单调函数的图象，
因为，所以通过图象可判断它们有个交点，
故选：A.
3.余弦函数的图象
将正弦函数的图象向左平移个单位长度可以得到余弦函数的图象
余弦函数y=cos x，x∈ 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状，但位置不同的＂波浪起伏＂的连续光滑曲线．
类似于正弦函数图象的作法，要作出 在 上的图象，起关键作用的五个点是（ 0 ， ， ．描出这五个点，然后用光滑的曲线连接就得到了 在 上的简图，再通过向左、向右平移（每次移动 个单位长度）即可得到余弦函数 的图象．
4.函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在一个非零常数 ，使得对每一个 都有 ，且 ，那么函数 就叫做周期函数．非零常数 叫做这个函数的周期．
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期。
（3）正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期都是 且 ，最小正周期都是 ．
（4）函数 及 （其中 为常数，且 的最小正周期为 ．
不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数 （ 为常数）没有最小正周期．
函数 y=sin x y=cos x
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 Z）上单调递增； 上单调递减 在 上单调递增； 在 上单调递减
最值
对称性 对称轴：直线 ；对称中心： 对称轴：直线 ； 对称中心：
最小正周期
【真题实战1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】设，利用求出，由求出，得到，再求即可.
【详解】设，则，
由得，，
所以，即，解得，所以，
由得，
可得，
所以，
当是偶数时，，
所以，由图知，而所以不符合题意；
当是奇数时， ，
，由图知，，所以符合题意，
所以.
综上，.
故选：D.
【真题实战2】（2025·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用
【分析】先求出整体角的范围，根据题意，结合函数的图象，即可确定的范围，继而求出的取值范围.
【详解】
对于，因，则，
作出函数在上的图象，
要使原函数在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，需使，
解得.
故选：A.
5.正弦函数和余弦函数的图象与性质
1．正、余弦函数的周期是 ，因此，只要记住它们在 内的图象形状，就可以画出正弦曲线和余弦曲线。
2．由图象可看出对称性与周期性具有如下关系：
1）两相邻对称轴（对称中心）之间的水平距离为半个周期；
2）对称轴与相邻对称中心之间的水平距离为 个周期．
3．对称轴过最高点或最低点．
4．单调性与周期的关系：单调增区间（减区间）的长度占所在周期的一半，反之不成立．
【真题实战1】（2025·北京·三模）已知函数，则函数（ ）
A．值域为 B．在区间上单调递增
C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称
【答案】D
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性
【分析】先利用同角三角函数平方关系和二倍角公式化简函数，再结合三角函数的性质计算判断各个选项；
【详解】函数，
则函数
对于A，因为，所以，A错误；
对于B，因为，此时有增有减，B错误；
对于C，根据周期公式，C错误；
对于D，由，得，
当时，函数对称中心为，D正确；
故选：D.
【真题实战2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解.
【详解】当时，，依题意，，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
6.正切函数的图象与性质
函数 y=tan x
定义域
值域
图象
最小正周期
奇偶性 奇函数
单调性
对称性 对称中心：没有对称轴
1． 无单调递减区间．
2． 在每段开区间 内单调递增，不能写成闭区间，也不能说在整个定义域内单调递增。
3．直线 为 的图象的渐近线，的图象与直线 无限接近，但不相交．
【真题实战】（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】求正切（型）函数的对称中心
【分析】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值.
【详解】由曲线的一个对称中心为，得，
解得，所以的最小值为2.
故答案为：2
02 函数
1.探索对函数的图像的影响
函数 的图象可以看作是把正弦曲线 上的所有点向左（当 时）或向右 （当 时）平移 个单位长度而得到的（可简记为＂左加右减＂）．如图：
1． 与 的图象形状是完全一样的， 的图象可由 的图象左右平移得到，此变换称为左右平移变换。
2．左右平移是对 本身而言的，如果 前面有系数，那么应提取系数，然后进行左右平移．
2.探索对函数的图像的影响
一般地，函数 ，且 的周期是 ，把 图象上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长.
：所有点的纵坐标不变,横坐标缩短或伸长到原来的倍
的图像
1． 影响函数 的周期．
2． 与 的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换。
3．推广到一般：函数 的图象可以由函数 的图象上所有点的横坐标缩短 或伸长 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3.探索对函数的图象的影响
一般地，函数 ，且 的图象，可以看作是把 图象上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．从而，函数 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．
的图像：所有点的横坐标不变,纵坐标伸长或缩短到原来的A倍
的图像.
1 .|A| 的大小反映了曲线 波动幅度的大小．
2． 与 的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换．
3．推广到一般：函数 ，且 的图象可以由函数 的图象上所有点的纵坐标伸长 或缩短 到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
4.由的图象得到的图象的过程
途径1 先平移后伸缩
的图像：各点向左或向右平移个单位长度 的图像
各点的横坐标伸长或缩短为原来的倍,纵坐标不变 的图像
各点的纵坐标伸长或缩短为原来的倍,横坐标不变 的图像
途径2 先伸缩后平移
的图像：各点的横坐标伸长或缩短为原来的倍,纵坐标不变 的图像
各点向左或向右平移个单位长度 的图像
各点的纵坐标伸长或缩短为原来的倍,横坐标不变 的图像
两种途径的区别
这两种途径的关键差别在＂相位变换＂这一步骤上，其实质是要看自变量 的变化情况．
第一种途径，在相位变换这一步中是由 变到 ，故应为 ＂将函数 的图象上所有点向左（当 时）或向右（当 时）平移 个单位长度得到函数 的图象＂；
第二种途径，在相位变换这一步中是由 变到 ，实质是 变到 ，故应为＂将函数 ）的图象上所有点向左（当 0 时）或向右（当 时）平移 个单位长度得到函数 的图象＂．
【真题实战】（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
【答案】D
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式
【分析】由题意先求，再逐项验证即可.
【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴，
所以，
又在上单调递增，所以，
所以当时，，故A正确；所以，
由为奇函数，故B正确；
由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，
令，解得，，故C正确；
由，所以，当，即时，故D错误；
故选：D.
5.函数和的性质
函数
定义域
值域
单调性 当 且 时，将 视为一个整体，利用 或 相应的单调区间求解；当 或 时，注意单调区间的变化
奇偶性 当时为奇函数； 当时为偶函数 当时为偶函数； 当时为奇函数
周期性
对称性 将 视为一个整体，利用 或 图象的对称轴、对称中心求解
函数 图象的对称问题
1．过函数图象中的波峰或波谷且与 轴垂直的直线为图象的对称轴．
2．函数图象与 轴的交点是图象的对称中心，即平衡位置点．
【真题实战】（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题．
条件①：；
条件②：当时，取到最小值；
条件③：．
(1)求、的值；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）借助二倍角公式化简，根据不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果.
（2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得，
.
若选条件①：因为是图象的对称轴，所以，不可能满足，
所以不能选择条件①；
若选条件②：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，当时，取到最小值，
所以的最小正周期，且，
因为，所以，
所以，故，
所以，，即，，
因为，所以.
若选条件③：因为在区间上单调递增，是图象的对称轴，，
所以的最小正周期，且，
因为，所以，
所以，故，
所以，，即，，
因为，所以.
（2）由（1）知，，
因为，所以，
因为函数在区间上单调递减，
所以，解得，
故实数m的最大值为
01 三角函数的图象
由的图象变换得到的图象的方法：
变换方法一
1．画出的图象
2．向左（右）平移个单位长度，得到的图象
3．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象
4．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到的图象
变换方法二
1．画出的图象
2．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象
3．向左（右）平移个单位长度，得到的图象
4．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到的图象
两种方法核心都是通过＂平移、伸缩＂变换，依据三角函数图象变换规律，分步实现从到的图象推导，实际应用中可根据等参数特点灵活选择。
【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是
【答案】
【分析】将平移后的图象解析式写出来，利用图象关于轴对称，从而当时函数取最值，得到，化简为，即可求出的最小值．
【详解】记曲线C对应的函数为，
则.
因为函数的图象关于y轴对称，所以，得.
因为，所以的最小值为．
故答案为：．
【典例2】（2025·江苏南通·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解.
【详解】因为
，
所以，
因为与关于y轴对称，则，，
，得，，
所以的最小值为.
故选：C.
【典例3】（2025·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先用到函数图象平移的规律,求出的表达式. 然后根据正弦函数的性质,则在处取得对称轴，由此可列出关于的方程，进而求出的最小值.
【详解】根据函数图象平移规律，将函数的图象向左平移个单位长度，可得：.
因为的图象关于轴对称，所以是偶函数，对于正弦函数，当时函数图象关于轴对称.
那么在中，当时，，
即，可得.
当时，，此时.
故选：B.
02 根据三角函数图象求解析式
1、已知函数图象求解析式中的参数的步骤：
（1）$A, k$由最值确定，在一个周期内（或者从最高点到相邻的最低点），若最大值为，最小值为，则。特别地，当时，。
（2）由最小正周期确定，即由求出，的值的判断：（1）当时，相邻的零点与极值点横坐标之差的绝对值为；（2）当时，相邻的两个零点之间的距离为；（3）相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为；（4）相邻的两个最高（低）点之间的距离为。典例见主书$P 59 T 5$
（3）可由五点法确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点。利用零点时，通常把＂五点法＂中的第一个点（初始点）作为突破口，由＂第一个点＂（图象上升时与轴的交点）可得等式；由＂第三个点＂（图象下降时与轴的交点）可得等式。再由已知条件中的具体范围确定相应的值.
【典例1】（2025·福建泉州模拟）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ．
【答案】
【分析】根据B、D点横坐标可确定周期得出，再把代入可求的值，利用得到A即可求解.
【详解】由题干图象可知，则，所以，所以，
由，得，，即，，
因为，所以，则．
又，则，又，，
，解得（负根舍去），
所以，所以．
故答案为：.
【典例2】（2025·河北邢台模拟）若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为 ，在上的零点个数为 ．
【答案】 350
【分析】对于求函数的最小正周期，有公式，我们需要根据已知条件求出的值.再令，即，解出，再根据区间确定个数.
【详解】令，得，则．
令，得，则．
令，得，则．
因为，所以，解得．
所以的最小正周期为．
当时，，
令，得，
所以在上的零点个数为350．
故答案为：
【典例3】（2025·黑龙江大庆模拟）函数的部分图象如图所示，已知，若其解析式为，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用图象可得一条对称轴，再利用图象可得对应相位的取值，再通过一个函数值，再结合图象再得到对应相位的取值，最后联立可解得，从而问题得以解决.
【详解】由图可得，是的一条对称轴，
所以，则根据图象可取，
又，则根据图象可取，
联立解得：，满足，
所以，即，
故选：B.
【典例4】（2025·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值.
【详解】由图知，则，
由，则，可得，
又，则，故，
由题意，故.
故选：B
03 三角函数的周期性
核心方法：求三角函数周期的方法
（1）定义法．
（2）公式法：和的最小正周期的最小正周期.
（3）图象法：作出函数图象，通过观察图象得到最小正周期.
【典例1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解.
【详解】函数的最小正周期，
故选：C．
【典例2】（多选）（2025·四川雅安·二模）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
【答案】ACD
【分析】对于A选项：用周期公式计算判断.
对于B选项：先求对称轴方程，令解出，再看取整数时能否得到，判断.
对于C选项：先找出余弦函数单调递增区间，当时，该范围包含，判断.
对于D选项：根据“左加右减”原则，得，再用诱导公式得出，判断即可.
【详解】对于选项A，在函数中， 的最小正周期，故选项A正确.
对于选项B，对于余弦函数，其对称轴方程为.
令，解得.令，解得，故选项B错误.
对于选项C，对于余弦函数，其单调递增区间为.
令，解不等式得：
当时，，所以在上单调递增，故选项C正确.
对于选项D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.化简.
根据诱导公式，可得，故选项D正确.
故选：ACD.
【典例3】（多选）（24-25高三下·山西大同·期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于y轴对称
B．在区间上单调递减
C．的最小正周期为
D．的图象关于点对称
【答案】AB
【分析】根据奇偶性判断A，然后作出函数的图象，结合图象判断BCD．
【详解】的定义域为R，因为，
所以为偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；
当时，，作出函数在y轴右侧的图象，再把图象关于y轴对称到左侧，得到的函数图象，
由函数图象可知，函数在区间上单调递减，不具有周期性，不关于点对称，
所以B正确，C错误，D错误．
故选：AB．
【典例4】（2025·广东·一模）已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若时，的最小值为4，求的值．
【答案】(1)；单调递增区间为
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程．
【详解】（1），
．
由，，求得，，
函数的单调递增区间为．
（2）由时，，，
，
解得．
04 三角函数的单调性
核心方法：求三角函数单调区间的方法
（1）求形如的函数的单调区间时，一般利用复合函数的单调性原理＂同增异减＂.
①先观察解析式，分清内函数，外函数，其中内函数为增函数；
②在中，若，则此函数的增区间可通过求得，减区间可通过求得；若，增区间可通过求得，减区间可通过求得。注意两者的不同之处.
（2）在函数中，若，则需要利用诱导公式将函数解析式转化为，则的增区间为原相应函数的减区间，减区间为原相应函数的增区间.
（3）对于函数和，其单调区间的讨论与（1）（2）类似.
【典例1】（2025·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C．在上的值域为 D．在上单调递增
【答案】C
【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断BCD.
【详解】由题意知不是奇函数，故A错误．
不关于直线对称，故B错误．
由，得，则，故C正确．
当时，，而在上不单调，
所以在上不单调，故D错误．
故选：C
【典例2】（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数性质对选项中的函数周期、单调性逐一判断可得结论.
【详解】对于A，易知的最小正周期为，但在区间上单调递减，即A错误；
对于B，易知的最小正周期为，所以B错误；
对于C，的最小正周期为，且在区间上单调递增，即C正确；
对于D，显然的最小正周期为，即D错误.
故选：C
【典例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，利用辅助角公式得，其中.根据题设知，为图象的一条对称轴，结合可求得，，，再根据关于轴对称，得到，，从而求得的最小值.
【详解】由题意，知，其中.
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以为图象的一条对称轴，所以，.
又，所以，，解得，，，
所以.将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象.
由的图象关于轴对称，得，，
所以，，
所以的最小值为.
故选：C.
【典例4】（2025·陕西汉中·二模）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据正弦函数的单调性求出的单调递增区间，然后列不等式，按照、、分类讨论求解.
【详解】令，则，
因在区间上单调递增，则，
即且且，
若，则不等式组的解集为空集；
若，则；
若，则不等式组的解集为空集，
则的最大值为.
故答案为：
05 三角函数的最值与值域
核心方法：求三角函数的值域（最值）的方法
求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：
（1）形如的函数，使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数的图象或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域（最值）．
（2）形如的函数，化为的形式，此时可设，根据自变量的范围确定的范围，然后再利用三角函数的图象或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域 （最值）。
（3）形如的函数，即与的复合函数，通常可先将解析式化简为一个角的同名三角函数的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元将解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可，如求形如函数的值域（最值）。
（4）形如的三角函数，可先设，转化为关于的二次函数求值域（最值）．
（5）一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
【典例1】（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦函数的性质，即可得到结果.
【详解】若，则，
由正弦函数的性质可知，
当时，函数取得最小值，即，
当时，函数取得最大值，即，
所以.
故选：B
【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值.
【详解】函数的图象向左平移个单位，
得到函数,
由为奇函数，则，
因为，所以的最小值是，
故选：B.
【典例3】（2025·四川三模）将函数的图象向右平移个单位长度（为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】平移得，结合诱导公式得. 分别求、单调区间，可得，由此可求得最大值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
因为，
所以，
所以，，解得，
又，所以.
对于，由，，得，.
当时，的单调递增区间为，
因为在区间上单调递增，所以.
对于，由，，解得，.
当时，的单调递减区间为，所以.
由得，，
要使最大，取，，代入得.
故选：C.
【典例4】（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】D
【分析】由余弦函数的周期和最值点的分布，以及区间内包含最值点的条件逐项判断即可.
【详解】由题意可得函数的周期为，
最大值点满足，解得，
最小值点满足，解得，
因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9，
对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确；
对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确；
对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确；
对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误.
故选：D
06 三角函数的零点问题
求三角函数的零点问题的三种方法：
1．利用三角函数图象
步骤：先将三角函数化为（或余弦、正切等形式）的标准式，确定其振幅、周期（正切函数周期）、相位等特征，画出函数大致图象，根据图象与轴交点确定零点。
2．利用三角函数性质转化方程
步骤：对于，令，即（余弦、正切类似），然后利用三角函数的周期性、单调性等性质求解。先确定的取值范围，再结合正弦函数（的图象与性质，求解，进而得到。
3．结合导数（针对涉及极限、切线斜率等情况）
步骤：导数的定义为，所以典例1中B选项就是求。先求出函数的导数，再代入计算。这需要先根据函数图象求出的解析式 （确定等），再求导计算。
【典例1】（多选）（2025·浙江·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数在上恰有5个零点，则实数的取值范围为
【答案】AD
【分析】对于A，首先求得，由结合求出即可判断；对于B，求导代入即可判断；对于C，由对称中心的纵坐标为即可判断；对于D，通过换元法即可判断.
【详解】对于A，由图可知，，，
解得，
所以，
而，从而，
解得，又因为，所以只能，
所以，故A正确；
对于B，对求导得，
所以，故B错误；
对于C，的对称中心的纵坐标应该是，故不是函数的对称中心，故C错误；
对于D，，，
将方程的根从小到大排列可得：，
因为函数在上恰有5个零点，
所以有五个根，
所以，解得，故D正确.
故选：AD.
【典例2】（2025·上海·三模）函数的零点个数为
【答案】3
【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案.
【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，
时，函数取最大值，
时函数的值为，
又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以的零点个数为个.
故答案为：.
【典例3】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小值为
C．在内有3个零点
D．在内有3个零点
【答案】BC
【分析】由三角恒等变换化简即可判断AB，由平移变换得和求出零点即可判断CD.
【详解】对于A，由，显然不恒等于，即不是的周期，故A错误；
对于B，因，，则，故B正确；
对于C，，因，
则由可得，即零点有3个，故C正确；
对于D，，因，
则由有，即零点有4个，故D错误.
故选：BC.
07 三角函数的极值点问题
三角函数用导数确定极值点的解题步骤
1．求导化简：根据求导公式，复合函数求导法则
，计算，并利用三角恒等变换（如二倍角、两角和差公式）化简导数表达式.
2．找导数零点：令，求解方程的根（即可能的极值点）.
3．判断极值类型：
若在左侧，右侧，则是极大值点；
若在左侧，右侧，则是极小值点.
4．求极值：将极值点代入原函数，计算即为极值.
【典例1】（2025·河北·模拟预测）函数在区间上所有极值点的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数进行求导，根据导数为得，再根据余弦值相等的角的关系求得的值，利用二阶导验证所求是否都是极值点，再加和即可得解.
【详解】，
由或，
①对于，当且仅当时，此时符合题意.
②对于，时符合题意，此时，，.
当或或时，，
当或时，
则是的一个极大值点； 是的一个极小值点；
是的一个极大值点；是的一个极小值点.
故所有极值点的和为.
故选：C.
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数单调性得到函数的对称轴，由函数单调区间得到周期的范围，从而得到的值得到函数解析式，由图像得到距离最大和距离最小的点，则可以求出半径的范围.
【详解】由已知在处取得最小值，
，，解得，
∵函数在上单调递减，
，即，，
当时，，，符合条件，
.
由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，
的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即，
故选：B.
【典例3】（2025·安徽·模拟预测）已知函数为其导函数．
(1)求在上极值点的个数；
(2)若对恒成立，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论 的符号，由此得函数的单调性与极值；
（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调性，结合（1）结论可证.
【详解】（1）
①当时，，
所以，，则，
所以在单调递增；
②当时，则，
设，则，
且，，则，
所以在单调递减，
又，
故存在，使得，即，
且在上，，在上，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，则，
所以，又，
所以，故在上单调递减；
④当时，则，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增；
⑤当时，则，，
所以，在上单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
（2）当时，恒成立，
即.
令，
若对恒成立，
由，，
所以当时，取得最小值.
由，
则为函数的极小值点，故，解得.
下面证明：当时，为函数的最小值点，
，
令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又，且，
所以当时，的最小值为，则恒成立，
即在上恒成立，
所以即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，即恒成立，符合题意.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩，如等．
【典例3】（2025·湖北荆州·二模）已知函数，且相邻两个极值点的差的绝对值为．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据条件得到，得到函数解析式，利用整体法得到函数单调递减区间；
（2）代入化简得到，得到，再利用二倍角公式，化弦为切，代入求值.
【详解】（1）因为
，
由题意得的最小正周期为，，所以，即，
所以，
当时，，
由的单调减区间可知：，解得，
所以函数的单调减区间为．
（2）由得，
，
即，故，所以，
所以．
01 利用图象求三角函数解析式时选点不当
在利用图象求三角函数的解析式时，选点不当是一个常见的易错点。为了避免这个问题，我们应该优先选择图象上的最高点或最低点，若无法选取最高点或最低点，则选取函数零点求解，此时务必注意零点所在的单调区间，如果忽视其所在的单调区间，直接根据公式求，则容易错选．
【典例1】（2025·广东佛山·期中）已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据振幅可确定根据周期可确定，进而根据最高点确定，代入中化简即可求解.
【详解】由图可知：,
经过最高点，故,故，
所以．
故选：A．
【典例2】（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．的解析式可以为
B．将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则
C．的对称中心为
D．若，则
【答案】AD
【分析】由正弦函数图象求正弦函数解析式的方法可判断；利用三角函数的图象变换可判断；根据正弦函数的对称中心的求法可判断；利用换元法，结合三角函数的性质可判断.
【详解】对于：由图知，，所以，
过点，所以，
可取，则，故正确；
对于：由知，
将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得，
再向左平移个单位，得到的图象，
则，
,
二者不相等，故错误；
对于：由知，所以，
解得，所以的对称中心为，故错误；
对于：，令，
则，因为，
则，，所以，
即，即，
所以，故正确.
故选：.
【典例3】（2025·广东广州·三模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由三角函数的性质得出的周期，求出的值，再根据题意代入自变量求解
【详解】由题意可得，所以最小正周期，所以，解得，
所以，由图象过点，所以，
所以，所以，所以，
又，所以，所以，
因为A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，
所以，所以，所以，
所以.
故答案为：B.
02 函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢
三角函数图象平移时，确定平移方向和单位长度遵循以下核心规则：
①水平平移：遵循＂左加右减＂原则，针对进行操作。但要注意，若有系数，需先将提取，保证的系数为 1 ，此时平移单位为，向左平移则加，向右平移则减。水平平移的本质是根据与（或）的关系，通过调整的取值，实现图象在水平方向的移动，平移方向由＂加＂（左）或＂减＂（右）决定，单位长度由确定。
②垂直平移：按照＂上加下减＂原则，直接对函数整体进行操作，向上平移则函数值加平移量，向下平移则函数值减平移量，平移方向和单位长度直观对应＂加＂＂减＂及所加减的数值。
【典例1】（24-25高三上·江西·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平移得出函数的解析式，再结合函数为奇函数且即可求出.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后得到
因为是奇函数，所以，
又因为，所以.
故选：B.
【典例2】（2025·云南红河·模拟预测）将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据变换规律得到图象变换后的函数解析式，再结合偶函数的特征，列式求解.
【详解】将图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来倍，得
然后再向左平移个单位长度后，得，
又因为的图象关于轴对称，所以，
所以，当时，.
故选：B.
【典例3】（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】B
【分析】利用三角函数平移规律得到函数，由函数图象关于轴对称，推出函数为偶函数，求得，结合选项即得.
【详解】函数的图象向左平移个单位得到的函数为：，
依题意，函数是偶函数，故，
解得，又，结合选项，可得可以取1．
故选：B.
03 单调性概念理解不准确
三角函数单调区间解题方法（核心：整体代换法）
1．化形：用辅助角公式将＂和角型＂（如）化为或（单一三角函数可直接用）。
2．代换：令，转化为或的单调区间问题。
3．套公式：依据正弦、余弦的单调区间列不等式：
①若为，递减区间满足；
②若为，递减区间满足。
4．限范围：解不等式得通式，结合题目定义域或选项筛选有效区间。
【典例1】（2025·天津滨海区模拟）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将函数用辅助角公式化简为，
然后根据正弦函数的单调递减区间，求出的单调递减区间. 最后结合给定的这个区间，确定最终的单调递减区间.
【详解】对于，根据辅助角公式，得到.
令，因为的单调递减区间得.
解这个不等式：得到的单调递减区间是.
因为，当时，.
而，即函数的单调递减区间是，
故选：A.
【典例2】（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.
【详解】由，得，
故的单调减区间为，
对比各选项，只有C符合.
故选：C.
【典例3】（2025·广西柳州·一模）已知函数，其中，，．若对一切的恒成立，且，则函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式结合正弦型函数的性质计算可得，再利用正弦型函数的单调性计算即可得解.
【详解】根据题意，可得，其中，
∵对一切恒成立，
∴当时，函数有最大值或最小值，
因此，，解得，，
∵，∴，
从而取得到，由此可得，
令，得，，
当时，可得的一个单调递减区间是．
故选：D．
一、＂w＂的求解
1．正弦型函数的性质
对于正弦型函数是常数，来说：
（1）函数的零点（图象的对称中心）：
满足，因此可得：
①函数的零点为；②函数图象的对称中心为.
（2）函数图象的对称轴（最值点或极值点）
满足，因此可得函数图象的 对称轴方程（最值点或极值点）为：.
（3）函数的最（极）大值点
满足，因此可得函数的 最（极）大值点 为：
（4）函数的最（极）小值点：满足，因此可得函数的最（极）小值点为
2．＂＂的求解问题的通法
对于三角函数中＂＂的求解问题，我们一般采用以下方法进行处理：
第一步：根据题目的条件，将看作整体，得到函数图象的对称轴、对称中心（零点）或函数的最 （极）值点所满足的关系，从而建立方程（组）或不等式（组）。
第二步：解这些方程（组）或不等式（组），得到答案。
【注意】当不等式（组）有些复杂时，我们可以先去压缩不等式中整数的取值范围，进而对整数的取值进行分类讨论，从而求得的取值范围.
【典例1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简解析式，解三角方程可得前四个正数解，再根据集合有三个元素列不等式求解即可.
【详解】
令，得，
则或，
解得①或②，
①②中，分别取，因为，从小到大排列得，
因为集合恰有3个元素，
所以需满足：，解得：.
故选：D.
【典例2】（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可．
【详解】由题可知，，
当时，，
因为函数在上有两个零点，
所以，解得，
故选：A．
【典例3】（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意求出，再根据求出
，再根据的范围约束出和范围，最后结合正弦函数图象即可求出的范围.
【详解】由题意可知，则，
因，则，
则，，
因在上单调递增，
结合正弦函数图象性质可得，解得，
故的取值范围是.
故选：B
二、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
这类题型围绕三角函数（正切、正弦、余弦型）的对称中心、单调区间、图象变换及零点展开，核心方法是整体代换 + 性质复用，按以下步骤解题：
1．函数化简：用辅助角公式，将＂和角型＂（如）化为单一正弦／余弦型（或，简化分析。
2．整体代换：把看作整体，套正弦、余弦、正切的对称中心、单调区间、零点性质，转化为含的方程／不等式。
3．结合条件求解：依据题目给的范围、参数限制（如），代入）筛选，解出对称中心、单调区间等；涉及图象变换，用＂左加右减＂（注意提取）验证；零点问题转化为三角函数方程解的个数，结合区间列不等式求参数。
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足，
即的对称中心是，
即，
又，则时最小，最小值是，
即.
故选：B
【典例2】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为
【答案】C
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可.
【详解】，
由图可知，，可得，，
，，故正确；
，
解得，
所以函数在单调递增，故正确；
函数的图象向左平移个单位长度得，
，故错误；
，，
当时，，此时有两个零点，
即，可得，故正确.
故选：.
【典例3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
【典例4】（2025·湖北武汉·二模）函数，则下列关于的说法中正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是2
C．是区间上的减函数 D．图象关于点中心对称
【答案】AC
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】根据二倍角余弦公式和辅助角公式化简函数，利用正弦函数的周期求解判断A；根据正弦函数的性质判断B；利用正弦函数的单调性判断C；由正弦函数的对称中心判断D.
【详解】
，
则的最小正周期是，故选项A正确；
由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误；
时，，因为在上单调递减，
故是区间上的减函数，故选项C正确；
令，解得，
故的图象的对称中心为，，令得，
所以的图象不关于点中心对称，故选项D错误.
故选：AC
三、代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
代入检验法判断三角函数对称轴和对称中心的特殊值
1．对称轴关键值
对于，对称轴处函数取最值。代入，若，则是对称轴。比如，代入，得（取到最大值 2 ），可判断是对称轴.
从＂整体代换＂看，令（余弦对称轴条件），常用时的值（如），结合题目区间找特殊值验证.
2．对称中心关键值
对于，对称中心处函数值为 0 .代入，若，再结合＂（中心对称性质）验证.比如验证是否为对称中心，可代入算，再取看与是否互为相反数.
利用＂＂（余弦对称中心条件），取时的，作为优先验证的特殊值，快速判断对称中心.
3．周期性关联值
三角函数周期，常用周期的倍。比如验证对称轴，可代入，看函数值是否对称；验证对称中心，代入，利用周期性简化计算。像时，，代入后结合函数值快速判断对称性质.
4．区间端点／中点值
题目给区间（如）时，区间中点、端点 是特殊值。比如判断区间内单调性，代入端点和，看函数值变化；验证对称轴，若区间中点代入后取最值，大概率是对称轴。这些特殊值围绕＂三角函数性质（最值、零点、周期性）＂和＂题目区间限制＂设计，记住它们，代入检验时能直接抓关键，不用盲目试值，大幅提升解题效率，遇到余弦、正弦型函数对称问题，直接套这些值验证，又快又准.
【典例1】已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在单调递增
C．的一条对称轴为 D．在存在唯一零点
【答案】BC
【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求余弦（型）函数的奇偶性、求cosx型三角函数的单调性
【分析】利用奇偶性定义可判断A；利用余弦型函数的单调性可判断B；求出可判断C；令求出可判断D．
【详解】对于A，令，，定义域关于原点对称，
且，所以是非奇非偶函数，A错误；
对于B，当时，，
所以在单调递增，B正确；
对于C，，故的一条对称轴为，C正确；
对于D，令，得，
当时，得，
所以在有两个零点和，D错误．
故选：BC.
【典例2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为
【答案】ACD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A，B；将代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D.
【详解】由图象知 ， 解得 ，A正确；
将代入中得，则 ，
因为 ，B错误；
将代入中得，直线是函数图象的一条对称轴，C正确；
因为，所以，
即，D正确，
故选：ACD.
【典例3】（25-26高三上·云南·阶段练习）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．在上的值域为
B．是图象的一条对称轴
C．将图象上的所有点向右平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称
D．在区间上有6个零点
【答案】BC
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，整体代换法求值域判断A；代入检验法判断B；利用平移变换求出解析式判断C；求出所有零点，再根据范围即可求出个数.
【详解】由题意得，
，
对于A，，则，则，
则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，平移后的函数解析式为，是偶函数，故C正确；
对于D，令，则，
令，得，则，
则在区间上有4个零点，故D错误.
故选：BC
【典例4】（24-25高三上·天津·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可）
①．函数的图象关于直线对称
②．函数的图象关于对称
③．该图象向右平移个单位长度可得的图象
④．函数在上单调递增
【答案】①③
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】根据函数图象结合正弦函数图象性质求出函数的解析式，然后逐项分析即可.
【详解】由图可知，设函数的最小正周期为，
则，所以，由及，
又，所以，
又，所以，
所以，
对①：由，即，
令，则为函数的一条对称轴；故①正确；
对②：由，即，
令，
故函数的图象不关于点对称，故②不正确；
对③：的图象向右平移个单位长度可得：
，故③正确；
对④：因为，所以，
由函数在上不单调，
所以函数在上不单调；故④不正确；
故答案为：①③.
四、图像法求三角函数最值或值域
1.化简函数：用辅助角公式将函数化为或形式，明确振幅、周期等.
2．绘制或分析图像：根据三角函数性质（周期、最值、单调性），结合给定区间，确定关键点（零点、最值点）.
3．求最值／值域：利用图像的最高点、最低点确定最值；结合区间内函数单调性，判断值域范围，验证选项时代入特殊值（如区间端点、极值点）快速判断.
【典例1】函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
【典例2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）的图像是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．在区间内只有一个极值点
D．曲线与直线，，，（）所围成的封闭图形的面积为
【答案】ACD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、函数极值点的辨析
【分析】A选项，利用三角恒等变换和平移变换得到；B选项，利用导数和辅助角公式得到的最大值为；C选项，求出，由于在上只有一个极大值点，C正确；D选项，直线，，围成的矩形面积为，由对称性可知D正确.
【详解】A选项，，
图象向右平移个单位长度，得到，
结合，可得，A正确；
B选项，，
其中，故的最大值为，B错误；
C选项，，，
由于在上只有一个极大值点，
故在内只有一个极值点，C正确；
D选项，的最小正周期为，最大值为2，最小值为-2，
而，的距离为，
直线，，围成的矩形面积为，
又在围成的矩形内部（或边界），且将此矩形平均分为全等的两部分，
故与直线，，（）所围成的封闭图形的面积为，D正确.
故选：ACD
【典例3】（2025·河北衡水·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的最大值为3
C．函数在区间上有2个极值点
D．函数在点处的切线方程为
【答案】ACD
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】根据中的几何意义，结合图象，求得的解析式，再结合正弦函数的性质及导数的几何意义、直线的点斜式方程，逐项分析即可.
【详解】由图可知，，，即，
又有，因此，，即，
又有，因此，，综上，.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，，，故的最大值为2，B错误；
对于C，令，则，，
当时，，当时，，当时，（舍），当时，（舍），
故函数在区间上有2个极值点，一个是，一个是，C正确；
对于D，，，斜率，
根据直线的点斜式方程，函数在点处的切线方程为，即，故D正确；
故选：ACD.
五、换元法求三角函数最值或值域
换元法求三角函数最值／值域解题策略
1．换元转化：观察函数，令等（结合等倍角，利用关联），将原函数化为关于的代数函数.
2．确定新元范围：由范围（如），求的取值区间（利用三角函数值域或单调性）.
3．求函数值域：将新函数（如分式、二次函数）结合范围，用单调性、不等式法求值域；验证选项时，代特殊值（如对称轴、区间端点）快速判断.
【典例1】已知函数，，求函数的值域.
【答案】
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】通过换元法，将设为新变量，从而将原函数转化为关于的函数，再通过进一步换元转化为关于的函数，最后利用函数性质求出值域.
【详解】令，即，
已知，那么，
即，所以，
由，得
则，
所以，
再令，则，
故 ,
对于函数，根据对勾函数的性质：
对于，当时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，
当时，，
当，
所以，则，
那么，
所以函数的值域为.
【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数为偶函数
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若，则的值域为
D．是函数的一个单调递减区间
【答案】BC
【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域
【分析】首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，所以.
对于A：，
因为，所以函数为奇函数，故A不正确；
对于B: ，
所以当时，函数有最小值，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
对于C: ，由，则，，
所以，故C正确；
故于D：当时，，
因为函数在上单调递增，所以在上也单调递增，
所以是函数的一个单调递增区间，故D不正确.
故选：BC
【典例3】（2025·山东青岛·一模）已知，则（ ）
A．是偶函数 B．一个周期是
C．的最大值是2 D．的最小值是0
【答案】ABD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、函数的周期性的定义与求解、函数奇偶性的定义与判断
【分析】A选项，先得到函数的定义域，再得到，故A正确；B选项，计算得到，B正确；C选项，化简得到，由于函数定义域，故取不到，C错误；D选项，在C基础上，得到的最小值，D正确.
【详解】A选项，的定义域为，
又，
故为偶函数，A正确；
B选项，，
故的一个周期为，B正确；
C选项，，
由于函数定义域为，故取不到，
故取不到2，C错误；
D选项，由C可知，当时，取得最小值0，D正确.
故选：ABD
【典例4】（2025·广东·一模）已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若时，的最小值为4，求的值．
【答案】(1)；单调递增区间为
(2)
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式
【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程．
【详解】（1），
．
由，，求得，，
函数的单调递增区间为．
（2）由时，，，
，
解得．
六、利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值
利用三角函数性质求参数解题策略
1．性质与参数的关联：
周期性：，最值点间距（如相邻最大、最小值点距为）、对称轴与对称中心间距 （为奇数倍）可构建与的关系。
单调性：单调区间长度不超，结合已知单调区间范围，列不等式限制。
对称性：对称轴满足，对称中心满足，联立方程解、。
2．解题步骤：
第一步：分析条件，关联性质：判断题目涉及的性质（周期、对称、单调），从最值点、对称点间距找，或从单调区间长度限制。
第二步：列方程（组）求解：用周期公式、对称条件列关于、的方程（组），结合、范围 （如），代入筛选。
第三步：验证参数：将求得参数代回原函数，验证单调性、对称性是否符合题意，确保解的准确性。
通过＂抓性质－列方程－验参数＂，利用三角函数特殊点、间距与周期的关联，精准求解、等参数。
【典例1】（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
【典例2】（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解.
【详解】设的最小正周期为，根据题意有，，
由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
【典例3】（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式
【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，可得，或，结合即可求解.
【详解】函数为偶函数，需满足.
将函数化简：.
由偶函数性质得：
即
利用正弦函数的性质，可得：
（舍去，因为不恒成立），
或
解得：，即
结合，得.
故选：B.
【典例4】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，其中，若将其图象向左平移个单位，此时图象正好关于坐标原点对称，则以下结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上的最小值为
C．函数的一个对称中心为
D．若时，方程有两个不同的解，则
【答案】BC
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
【分析】先化简，根据平移后为奇函数可求得，再根据的相关性质逐项验证即可.
【详解】由于，
将其图象向左平移个单位，得到函数解析式，
则，即，
所以，又，解得．
所以，最小正周期为，故A错误：
当时，，所以，
可得，所以的最小值为，故B正确；
，
当时，，
所以是函数的一个对称中心，故C正确；
当时，，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，则函数图像如下，

又方程有两个不同的解，所以，故D错误．
故选：BC．
七、五点法求三角函数解析式
五点法求三角函数解析式解题方法
1．明确＂五点＂：正弦型函数的＂五点＂为：
零点（与轴交点）：（对应图象上升、下降过轴的点）；
最值点：（对应图象最高点、最低点）。
2．步骤拆解：
第一步：求、: A是振幅（最高点与最低点纵坐标差的一半），是平衡位置（最高点与最低点纵坐标和的一半）。
第二步：求：通过图象中＂五点＂的间距算周期（如相邻零点间距为），再由计算。
第三步：求：选一个＂关键点＂（如已知零点、最值点）代入对应角度（等），解出，优先取最小的解。
3．验证调整：将求得的代入函数，用另一＂关键点＂验证（如用最高点验证），确保解析式准确。
通过＂定振幅一算周期代点求相位＂，利用＂五点＂的特殊角度对应关系，可精准求出三角函数解析式。
【典例1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数图像如图所示，分别为图像的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为．则下列说法正确的有（ ）．
A．函数的解析式为
B．函数的一个极大值点为
C．函数的对称中心为
D．函数在区间上单调递增
【答案】ACD
【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、函数极值点的辨析
【分析】根据图象和已知条件可求出函数的解析式，然后根据正弦函数的极大值点、对称中心、单调性等性质对选项逐一计算即可.
【详解】由题意，因为，所以，
根据勾股定理，解得．所以，
又与轴的交点为，可得，且图象在点是单调递减的，
解得（舍）或，所以，故A正确．
B中，令，，解得，，所以B不正确；
C中，令，，解得，，
即函数的对称中心为，，所以C正确；
D中，，可得，即函数在给定区间内单调递增，所以D正确．
故选：ACD．
【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，函数的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若，且，则
【答案】ABD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式
【分析】根据三角函数图象结合周期，特殊值得出函数解析式，再结合值域奇偶性及诱导公式判断各个选项即可.
【详解】对于选项A，由于的高为，则，所以函数的周期，即，所以.
又图象过点，结合五点作图法可知，
所以，所以，故A正确.
对于选项B，当，，所以函数的值域为，故B正确.
对于选项C，将函数的图象向右平移个单位长度后得到是一个奇函数，故C错误.
对于选项D，因为，，
由，所以，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
【典例3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数，
0
0 0 0
(1)若，
（ⅰ）根据如上表格，直接写出的值；
（ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象；
(2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围.
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）图象见解析；
(2).
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、五点法画余弦（型）函数的图象
【分析】（1）（i）根据表格数据求；（ii）应用五点法画出函数图象；
（2）由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得.
【详解】（1）（ⅰ）由表格，，，；
（ⅱ）五点法画出函数图象如下，
（2）当时，，
当在取得最小值时，，解得，
当在取得最小值时，，解得，
当分别在取得最小值时，，解得，
综上：的取值范围为.
八、利用图像平移求函数解析式或参数值
寻找三角函数图像平移的关键点的方法
1．抓＂特殊点＂
最值点：正弦、余弦型函数的最高点（值为）、最低点（值为）是关键。比如平移，最高点平移后坐标易算，能快速对应新函数的最值位置。
零点：函数与轴交点（如的），平移后零点位置变化规律清晰，代入平移公式（左加右减）可快速定位。
对称中心／对称轴点：若已知原函数对称中心、对称轴，平移后用＂替换为（为平移量）＂，能直接关联新函数的对称性质。
2．用＂整体代换＂
把平移后的函数看作整体，找原函数中对应特殊角度的值。比如是左移，将视为原函数的，则，原函数零点对应新函数，快速找到平移后零点。
3．结合＂周期＂辅助
先算函数周期，平移量若为等特殊比例，对应特殊点平移。比如周期，平移就是半个周期，原函数零点平移后会对应新函数的最值点，利用周期规律快速匹配。
像周期，平移（半周期），原最高点会移到，变成新函数的最低点，结合周期特性辅助找关键点。
【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角函数图象的综合应用、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、函数极值点的辨析
【分析】根据伸缩变换规则可得，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.
【详解】由题可知，
当时，，
若在上只有一个极大值点，
则由的图像可得，
解得，
因为，所以的最大值为3.
故选：B.
【典例2】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、正弦函数图象的应用
【分析】根据平移变换得到，且，结合函数零点个数得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
【典例3】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的一个对称中心为
B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．在区间上单调递增
D．若在区间上与有且只有6个交点，则
【答案】BD
【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、三角函数图象的综合应用、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式
【分析】代入即可验证A，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B，利用整体法即可判断C，由求解所以根，即可求解D.
【详解】对于A，由，故A错误；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得：
，为奇函数，故B正确；
对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误；
对于D，由，得，解得或，
在区间上与有且只有6个交点，
其横坐标从小到大依次为：，
而第7个交点的横坐标为，
，故D正确.
故选：BD
【典例4】（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式
【分析】（1）根据图象易得和周期，结合可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得，进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，
即，由，得，
即，，而，则，
所以函数的解析式是.
（2）将的图象向左平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，则，
当时，，
则，即，
因此在上的值域为.中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 三角函数的图象与性质综合
目录 01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。 【知能解读01】三角函数的图象与性质 【知能解读02】函数 03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。 【重难点突破01】三角函数的图象 【重难点突破02】根据三角函数图象求解析式 【重难点突破03】三角函数的周期性 【重难点突破04】三角函数的单调性 【重难点突破05】三角函数的最值与值域 【重难点突破06】三角函数的零点问题 【重难点突破07】三角函数的极值点问题 04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。 【易混易错01】利用图象求三角函数解析式时选点不当 【易混易错02】函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢 【易混易错03】单调性概念理解不准确 05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类 【方法技巧01】＂w＂的求解 【方法技巧02】整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【方法技巧03】代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心 【方法技巧04】图像法求三角函数最值或值域 【方法技巧05】换元法求三角函数最值或值域 【方法技巧06】利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值 【方法技巧07】五点法求三角函数解析式 【方法技巧08】利用图像平移求函数解析式或参数值
01 三角函数的图象与性质
1.正弦函数的图象
正弦函数的图象叫做正弦曲线
由诱导公式一可知，函数且的图象与的图象形状完全一致．因此将函数的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数的图象（如图）．
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条＂波浪起伏＂的连续光滑曲线．
1．作正弦函数的图象时，自变量的取值要用弧度制，以保证自变量的取值与函数值都为实数。
2．不能说函数 ， 的图象就是正弦曲线，它是正弦曲线的一部分．
2.五点法作正弦函数的图像
在精确度要求不高时,常常先找出五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0).再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图
1．关键的五个点可以分为两类记忆：
1）图象与 轴的交点： ， ;
2）图象的最高点 和最低点 ．
2．五个关键点最后要用平滑的曲线连接，而不能用折线连接。
3．被这五个点分隔的区间上函数值变化情况，在 附近函数值增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在 附近，函数值变化慢一些，曲线变得＂平缓＂．
【真题实战1】（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【真题实战2】（2025·河南郑州·二模）函数与函数的图象交点个数为（ ）
A． B． C． D．
3.余弦函数的图象
将正弦函数的图象向左平移个单位长度可以得到余弦函数的图象
余弦函数y=cos x，x∈ 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状，但位置不同的＂波浪起伏＂的连续光滑曲线．
类似于正弦函数图象的作法，要作出 在 上的图象，起关键作用的五个点是（ 0 ， ， ．描出这五个点，然后用光滑的曲线连接就得到了 在 上的简图，再通过向左、向右平移（每次移动 个单位长度）即可得到余弦函数 的图象．
4.函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在一个非零常数 ，使得对每一个 都有 ，且 ，那么函数 就叫做周期函数．非零常数 叫做这个函数的周期．
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期．今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期。
（3）正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期都是 且 ，最小正周期都是 ．
（4）函数 及 （其中 为常数，且 的最小正周期为 ．
不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数 （ 为常数）没有最小正周期．
函数 y=sin x y=cos x
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 Z）上单调递增； 上单调递减 在 上单调递增； 在 上单调递减
最值
对称性 对称轴：直线 ；对称中心： 对称轴：直线 ； 对称中心：
最小正周期
【真题实战1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，A，B是直线与函数图象的两个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【真题实战2】（2025·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.正弦函数和余弦函数的图象与性质
1．正、余弦函数的周期是 ，因此，只要记住它们在 内的图象形状，就可以画出正弦曲线和余弦曲线。
2．由图象可看出对称性与周期性具有如下关系：
1）两相邻对称轴（对称中心）之间的水平距离为半个周期；
2）对称轴与相邻对称中心之间的水平距离为 个周期．
3．对称轴过最高点或最低点．
4．单调性与周期的关系：单调增区间（减区间）的长度占所在周期的一半，反之不成立．
【真题实战1】（2025·北京·三模）已知函数，则函数（ ）
A．值域为 B．在区间上单调递增
C．最小正周期为 D．图象关于点成中心对称
【真题实战2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 .
6.正切函数的图象与性质
函数 y=tan x
定义域
值域
图象
最小正周期
奇偶性 奇函数
单调性
对称性 对称中心：没有对称轴
1． 无单调递减区间．
2． 在每段开区间 内单调递增，不能写成闭区间，也不能说在整个定义域内单调递增。
3．直线 为 的图象的渐近线，的图象与直线 无限接近，但不相交．
【真题实战】（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ．
02 函数
1.探索对函数的图像的影响
函数 的图象可以看作是把正弦曲线 上的所有点向左（当 时）或向右 （当 时）平移 个单位长度而得到的（可简记为＂左加右减＂）．如图：
1． 与 的图象形状是完全一样的， 的图象可由 的图象左右平移得到，此变换称为左右平移变换。
2．左右平移是对 本身而言的，如果 前面有系数，那么应提取系数，然后进行左右平移．
2.探索对函数的图像的影响
一般地，函数 ，且 的周期是 ，把 图象上所有点的横坐标缩短（当 时）或伸长.
：所有点的纵坐标不变,横坐标缩短或伸长到原来的倍
的图像
1． 影响函数 的周期．
2． 与 的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换。
3．推广到一般：函数 的图象可以由函数 的图象上所有点的横坐标缩短 或伸长 到原来的 倍（纵坐标不变）而得到．
3.探索对函数的图象的影响
一般地，函数 ，且 的图象，可以看作是把 图象上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 时）到原来的 倍（横坐标不变）而得到．从而，函数 的值域是 ，最大值是 ，最小值是 ．
的图像：所有点的横坐标不变,纵坐标伸长或缩短到原来的A倍
的图像.
1 .|A| 的大小反映了曲线 波动幅度的大小．
2． 与 的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换．
3．推广到一般：函数 ，且 的图象可以由函数 的图象上所有点的纵坐标伸长 或缩短 到原来的 倍（横坐标不变）而得到．
4.由的图象得到的图象的过程
途径1 先平移后伸缩
的图像：各点向左或向右平移个单位长度 的图像
各点的横坐标伸长或缩短为原来的倍,纵坐标不变 的图像
各点的纵坐标伸长或缩短为原来的倍,横坐标不变 的图像
途径2 先伸缩后平移
的图像：各点的横坐标伸长或缩短为原来的倍,纵坐标不变 的图像
各点向左或向右平移个单位长度 的图像
各点的纵坐标伸长或缩短为原来的倍,横坐标不变 的图像
两种途径的区别
这两种途径的关键差别在＂相位变换＂这一步骤上，其实质是要看自变量 的变化情况．
第一种途径，在相位变换这一步中是由 变到 ，故应为 ＂将函数 的图象上所有点向左（当 时）或向右（当 时）平移 个单位长度得到函数 的图象＂；
第二种途径，在相位变换这一步中是由 变到 ，实质是 变到 ，故应为＂将函数 ）的图象上所有点向左（当 0 时）或向右（当 时）平移 个单位长度得到函数 的图象＂．
【真题实战】（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ）
A．
B．为奇函数
C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为，
D．在上的最小值为
5.函数和的性质
函数
定义域
值域
单调性 当 且 时，将 视为一个整体，利用 或 相应的单调区间求解；当 或 时，注意单调区间的变化
奇偶性 当时为奇函数； 当时为偶函数 当时为偶函数； 当时为奇函数
周期性
对称性 将 视为一个整体，利用 或 图象的对称轴、对称中心求解
函数 图象的对称问题
1．过函数图象中的波峰或波谷且与 轴垂直的直线为图象的对称轴．
2．函数图象与 轴的交点是图象的对称中心，即平衡位置点．
【真题实战】（2025·北京海淀·三模）已知函数（，）．在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求解下列问题．
条件①：；
条件②：当时，取到最小值；
条件③：．
(1)求、的值；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数的最大值．
01 三角函数的图象
由的图象变换得到的图象的方法：
变换方法一
1．画出的图象
2．向左（右）平移个单位长度，得到的图象
3．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象
4．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到的图象
变换方法二
1．画出的图象
2．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象
3．向左（右）平移个单位长度，得到的图象
4．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到的图象
两种方法核心都是通过＂平移、伸缩＂变换，依据三角函数图象变换规律，分步实现从到的图象推导，实际应用中可根据等参数特点灵活选择。
【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是
【典例2】（2025·江苏南通·三模）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·山东·二模）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
B． C． D．
02 根据三角函数图象求解析式
1、已知函数图象求解析式中的参数的步骤：
（1）$A, k$由最值确定，在一个周期内（或者从最高点到相邻的最低点），若最大值为，最小值为，则。特别地，当时，。
（2）由最小正周期确定，即由求出，的值的判断：（1）当时，相邻的零点与极值点横坐标之差的绝对值为；（2）当时，相邻的两个零点之间的距离为；（3）相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为；（4）相邻的两个最高（低）点之间的距离为。典例见主书$P 59 T 5$
（3）可由五点法确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点。利用零点时，通常把＂五点法＂中的第一个点（初始点）作为突破口，由＂第一个点＂（图象上升时与轴的交点）可得等式；由＂第三个点＂（图象下降时与轴的交点）可得等式。再由已知条件中的具体范围确定相应的值.
【典例1】（2025·福建泉州模拟）已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则 ．
【典例2】（2025·河北邢台模拟）若函数的部分图象如图所示，且，则的最小正周期为 ，在上的零点个数为 ．
【典例3】（2025·黑龙江大庆模拟）函数的部分图象如图所示，已知，若其解析式为，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【典例4】（2025·安徽·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A． B． C．1 D．0
03 三角函数的周期性
核心方法：求三角函数周期的方法
（1）定义法．
（2）公式法：和的最小正周期的最小正周期.
（3）图象法：作出函数图象，通过观察图象得到最小正周期.
【典例1】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2025·四川雅安·二模）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
【典例3】（多选）（24-25高三下·山西大同·期末）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于y轴对称
B．在区间上单调递减
C．的最小正周期为
D．的图象关于点对称
【典例4】（2025·广东·一模）已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若时，的最小值为4，求的值．
04 三角函数的单调性
核心方法：求三角函数单调区间的方法
（1）求形如的函数的单调区间时，一般利用复合函数的单调性原理＂同增异减＂.
①先观察解析式，分清内函数，外函数，其中内函数为增函数；
②在中，若，则此函数的增区间可通过求得，减区间可通过求得；若，增区间可通过求得，减区间可通过求得。注意两者的不同之处.
（2）在函数中，若，则需要利用诱导公式将函数解析式转化为，则的增区间为原相应函数的减区间，减区间为原相应函数的增区间.
（3）对于函数和，其单调区间的讨论与（1）（2）类似.
【典例1】（2025·广东佛山·三模）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于直线对称
C．在上的值域为 D．在上单调递增
【典例2】（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2025·陕西汉中·二模）已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 .
05 三角函数的最值与值域
核心方法：求三角函数的值域（最值）的方法
求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：
（1）形如的函数，使用换元法，设，根据的范围确定的范围，然后再利用三角函数的图象或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域（最值）．
（2）形如的函数，化为的形式，此时可设，根据自变量的范围确定的范围，然后再利用三角函数的图象或单位圆求出的三角函数值，进而得到值域 （最值）。
（3）形如的函数，即与的复合函数，通常可先将解析式化简为一个角的同名三角函数的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元将解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可，如求形如函数的值域（最值）。
（4）形如的三角函数，可先设，转化为关于的二次函数求值域（最值）．
（5）一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
【典例1】（2025·山西·模拟预测）设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（ ）
A．2 B． C． D．
【典例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【典例3】（2025·四川三模）将函数的图象向右平移个单位长度（为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2025·上海闵行·二模）已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
06 三角函数的零点问题
求三角函数的零点问题的三种方法：
1．利用三角函数图象
步骤：先将三角函数化为（或余弦、正切等形式）的标准式，确定其振幅、周期（正切函数周期）、相位等特征，画出函数大致图象，根据图象与轴交点确定零点。
2．利用三角函数性质转化方程
步骤：对于，令，即（余弦、正切类似），然后利用三角函数的周期性、单调性等性质求解。先确定的取值范围，再结合正弦函数（的图象与性质，求解，进而得到。
3．结合导数（针对涉及极限、切线斜率等情况）
步骤：导数的定义为，所以典例1中B选项就是求。先求出函数的导数，再代入计算。这需要先根据函数图象求出的解析式 （确定等），再求导计算。
【典例1】（多选）（2025·浙江·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数图象的一个对称中心为
D．函数在上恰有5个零点，则实数的取值范围为
【典例2】（2025·上海·三模）函数的零点个数为
【典例3】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小值为
C．在内有3个零点
D．在内有3个零点
07 三角函数的极值点问题
三角函数用导数确定极值点的解题步骤
1．求导化简：根据求导公式，复合函数求导法则
，计算，并利用三角恒等变换（如二倍角、两角和差公式）化简导数表达式.
2．找导数零点：令，求解方程的根（即可能的极值点）.
3．判断极值类型：
若在左侧，右侧，则是极大值点；
若在左侧，右侧，则是极小值点.
4．求极值：将极值点代入原函数，计算即为极值.
【典例1】（2025·河北·模拟预测）函数在区间上所有极值点的和为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·安徽·模拟预测）已知函数为其导函数．
(1)求在上极值点的个数；
(2)若对恒成立，求的值．
【典例3】（2025·湖北荆州·二模）已知函数，且相邻两个极值点的差的绝对值为．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)若，求的值．
01 利用图象求三角函数解析式时选点不当
在利用图象求三角函数的解析式时，选点不当是一个常见的易错点。为了避免这个问题，我们应该优先选择图象上的最高点或最低点，若无法选取最高点或最低点，则选取函数零点求解，此时务必注意零点所在的单调区间，如果忽视其所在的单调区间，直接根据公式求，则容易错选．
【典例1】（2025·广东佛山·期中）已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．的解析式可以为
B．将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则
C．的对称中心为
D．若，则
【典例3】（2025·广东广州·三模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C是直线与函数图象的从左至右相邻的三个交点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
02 函数图象平移、伸缩变换法则掌握不牢
三角函数图象平移时，确定平移方向和单位长度遵循以下核心规则：
①水平平移：遵循＂左加右减＂原则，针对进行操作。但要注意，若有系数，需先将提取，保证的系数为 1 ，此时平移单位为，向左平移则加，向右平移则减。水平平移的本质是根据与（或）的关系，通过调整的取值，实现图象在水平方向的移动，平移方向由＂加＂（左）或＂减＂（右）决定，单位长度由确定。
②垂直平移：按照＂上加下减＂原则，直接对函数整体进行操作，向上平移则函数值加平移量，向下平移则函数值减平移量，平移方向和单位长度直观对应＂加＂＂减＂及所加减的数值。
【典例1】（24-25高三上·江西·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·云南红河·模拟预测）将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·湖南长沙·三模）将函数的图象向左平移个单位得到的函数图象关于轴对称，则的值可以为（ ）
A． B．1 C．2 D．5
03 单调性概念理解不准确
三角函数单调区间解题方法（核心：整体代换法）
1．化形：用辅助角公式将＂和角型＂（如）化为或（单一三角函数可直接用）。
2．代换：令，转化为或的单调区间问题。
3．套公式：依据正弦、余弦的单调区间列不等式：
①若为，递减区间满足；
②若为，递减区间满足。
4．限范围：解不等式得通式，结合题目定义域或选项筛选有效区间。
【典例1】（2025·天津滨海区模拟）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·陕西汉中·三模）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·广西柳州·一模）已知函数，其中，，．若对一切的恒成立，且，则函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
一、＂w＂的求解
1．正弦型函数的性质
对于正弦型函数是常数，来说：
（1）函数的零点（图象的对称中心）：
满足，因此可得：
①函数的零点为；②函数图象的对称中心为.
（2）函数图象的对称轴（最值点或极值点）
满足，因此可得函数图象的 对称轴方程（最值点或极值点）为：.
（3）函数的最（极）大值点
满足，因此可得函数的 最（极）大值点 为：
（4）函数的最（极）小值点：满足，因此可得函数的最（极）小值点为
2．＂＂的求解问题的通法
对于三角函数中＂＂的求解问题，我们一般采用以下方法进行处理：
第一步：根据题目的条件，将看作整体，得到函数图象的对称轴、对称中心（零点）或函数的最 （极）值点所满足的关系，从而建立方程（组）或不等式（组）。
第二步：解这些方程（组）或不等式（组），得到答案。
【注意】当不等式（组）有些复杂时，我们可以先去压缩不等式中整数的取值范围，进而对整数的取值进行分类讨论，从而求得的取值范围.
【典例1】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
B． C． D．
二、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
这类题型围绕三角函数（正切、正弦、余弦型）的对称中心、单调区间、图象变换及零点展开，核心方法是整体代换 + 性质复用，按以下步骤解题：
1．函数化简：用辅助角公式，将＂和角型＂（如）化为单一正弦／余弦型（或，简化分析。
2．整体代换：把看作整体，套正弦、余弦、正切的对称中心、单调区间、零点性质，转化为含的方程／不等式。
3．结合条件求解：依据题目给的范围、参数限制（如），代入）筛选，解出对称中心、单调区间等；涉及图象变换，用＂左加右减＂（注意提取）验证；零点问题转化为三角函数方程解的个数，结合区间列不等式求参数。
【典例1】（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为
【典例3】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【典例4】（2025·湖北武汉·二模）函数，则下列关于的说法中正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是2
C．是区间上的减函数 D．图象关于点中心对称
三、代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
代入检验法判断三角函数对称轴和对称中心的特殊值
1．对称轴关键值
对于，对称轴处函数取最值。代入，若，则是对称轴。比如，代入，得（取到最大值 2 ），可判断是对称轴.
从＂整体代换＂看，令（余弦对称轴条件），常用时的值（如），结合题目区间找特殊值验证.
2．对称中心关键值
对于，对称中心处函数值为 0 .代入，若，再结合＂（中心对称性质）验证.比如验证是否为对称中心，可代入算，再取看与是否互为相反数.
利用＂＂（余弦对称中心条件），取时的，作为优先验证的特殊值，快速判断对称中心.
3．周期性关联值
三角函数周期，常用周期的倍。比如验证对称轴，可代入，看函数值是否对称；验证对称中心，代入，利用周期性简化计算。像时，，代入后结合函数值快速判断对称性质.
4．区间端点／中点值
题目给区间（如）时，区间中点、端点 是特殊值。比如判断区间内单调性，代入端点和，看函数值变化；验证对称轴，若区间中点代入后取最值，大概率是对称轴。这些特殊值围绕＂三角函数性质（最值、零点、周期性）＂和＂题目区间限制＂设计，记住它们，代入检验时能直接抓关键，不用盲目试值，大幅提升解题效率，遇到余弦、正弦型函数对称问题，直接套这些值验证，又快又准.
【典例1】已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在单调递增
C．的一条对称轴为 D．在存在唯一零点
【典例2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C．直线是函数图象的一条对称轴 D．在的值域为
【典例3】（25-26高三上·云南·阶段练习）已知函数，则下列正确的是（ ）
A．在上的值域为
B．是图象的一条对称轴
C．将图象上的所有点向右平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称
D．在区间上有6个零点
【典例4】（24-25高三上·天津·期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ．（写出下列选项的序号即可）
①．函数的图象关于直线对称
②．函数的图象关于对称
③．该图象向右平移个单位长度可得的图象
④．函数在上单调递增
四、图像法求三角函数最值或值域
1.化简函数：用辅助角公式将函数化为或形式，明确振幅、周期等.
2．绘制或分析图像：根据三角函数性质（周期、最值、单调性），结合给定区间，确定关键点（零点、最值点）.
3．求最值／值域：利用图像的最高点、最低点确定最值；结合区间内函数单调性，判断值域范围，验证选项时代入特殊值（如区间端点、极值点）快速判断.
【典例1】函数在上的最大值是 ．
【典例2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）的图像是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．在区间内只有一个极值点
D．曲线与直线，，，（）所围成的封闭图形的面积为
【典例3】（2025·河北衡水·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的最大值为3
C．函数在区间上有2个极值点
D．函数在点处的切线方程为
五、换元法求三角函数最值或值域
换元法求三角函数最值／值域解题策略
1．换元转化：观察函数，令等（结合等倍角，利用关联），将原函数化为关于的代数函数.
2．确定新元范围：由范围（如），求的取值区间（利用三角函数值域或单调性）.
3．求函数值域：将新函数（如分式、二次函数）结合范围，用单调性、不等式法求值域；验证选项时，代特殊值（如对称轴、区间端点）快速判断.
【典例1】已知函数，，求函数的值域.
【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数为偶函数
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．若，则的值域为
D．是函数的一个单调递减区间
【典例3】（2025·山东青岛·一模）已知，则（ ）
A．是偶函数 B．一个周期是
C．的最大值是2 D．的最小值是0
【典例4】（2025·广东·一模）已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若时，的最小值为4，求的值．
六、利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值
利用三角函数性质求参数解题策略
1．性质与参数的关联：
周期性：，最值点间距（如相邻最大、最小值点距为）、对称轴与对称中心间距 （为奇数倍）可构建与的关系。
单调性：单调区间长度不超，结合已知单调区间范围，列不等式限制。
对称性：对称轴满足，对称中心满足，联立方程解、。
2．解题步骤：
第一步：分析条件，关联性质：判断题目涉及的性质（周期、对称、单调），从最值点、对称点间距找，或从单调区间长度限制。
第二步：列方程（组）求解：用周期公式、对称条件列关于、的方程（组），结合、范围 （如），代入筛选。
第三步：验证参数：将求得参数代回原函数，验证单调性、对称性是否符合题意，确保解的准确性。
通过＂抓性质－列方程－验参数＂，利用三角函数特殊点、间距与周期的关联，精准求解、等参数。
【典例1】（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【典例3】（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，其中，若将其图象向左平移个单位，此时图象正好关于坐标原点对称，则以下结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上的最小值为
C．函数的一个对称中心为
D．若时，方程有两个不同的解，则
七、五点法求三角函数解析式
五点法求三角函数解析式解题方法
1．明确＂五点＂：正弦型函数的＂五点＂为：
零点（与轴交点）：（对应图象上升、下降过轴的点）；
最值点：（对应图象最高点、最低点）。
2．步骤拆解：
第一步：求、: A是振幅（最高点与最低点纵坐标差的一半），是平衡位置（最高点与最低点纵坐标和的一半）。
第二步：求：通过图象中＂五点＂的间距算周期（如相邻零点间距为），再由计算。
第三步：求：选一个＂关键点＂（如已知零点、最值点）代入对应角度（等），解出，优先取最小的解。
3．验证调整：将求得的代入函数，用另一＂关键点＂验证（如用最高点验证），确保解析式准确。
通过＂定振幅一算周期代点求相位＂，利用＂五点＂的特殊角度对应关系，可精准求出三角函数解析式。
【典例1】（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数图像如图所示，分别为图像的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为．则下列说法正确的有（ ）．
A．函数的解析式为
B．函数的一个极大值点为
C．函数的对称中心为
D．函数在区间上单调递增
【典例2】（2025·山东泰安·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 为图象与轴的交点，点，且为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当，函数的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．若，且，则
【典例3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数，
0
0 0 0
(1)若，
（ⅰ）根据如上表格，直接写出的值；
（ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象；
(2)若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围.
八、利用图像平移求函数解析式或参数值
寻找三角函数图像平移的关键点的方法
1．抓＂特殊点＂
最值点：正弦、余弦型函数的最高点（值为）、最低点（值为）是关键。比如平移，最高点平移后坐标易算，能快速对应新函数的最值位置。
零点：函数与轴交点（如的），平移后零点位置变化规律清晰，代入平移公式（左加右减）可快速定位。
对称中心／对称轴点：若已知原函数对称中心、对称轴，平移后用＂替换为（为平移量）＂，能直接关联新函数的对称性质。
2．用＂整体代换＂
把平移后的函数看作整体，找原函数中对应特殊角度的值。比如是左移，将视为原函数的，则，原函数零点对应新函数，快速找到平移后零点。
3．结合＂周期＂辅助
先算函数周期，平移量若为等特殊比例，对应特殊点平移。比如周期，平移就是半个周期，原函数零点平移后会对应新函数的最值点，利用周期规律快速匹配。
像周期，平移（半周期），原最高点会移到，变成新函数的最低点，结合周期特性辅助找关键点。
【典例1】（24-25高三上·浙江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的一个对称中心为
B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C．在区间上单调递增
D．若在区间上与有且只有6个交点，则
【典例4】（23-24高三上·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．

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